Loi Binomiale
Sommaire
I. Successions d’´epreuves ind´ependantes . . . 2
II. La loi de Bernoulli . . . 2
III. La loi binomiale . . . 4
1. D´efinition de la loi binomiale . . . 4
2. Esp´erance, variance et ´ecart-type de la loi binomiale . . . 5
Capacit´es : Exercices : Non
Acquis Acquis Mod´eliser et repr´esenter une succession d’´epreuves
Calculer des probabilit´es dans le cadre d’une succession d’´epreuves ind.
Mod´eliser une situation par une loi binomiale Calculer une probabilit´e dans le cadre d’une loi
binomiale
Calculer une probabilit´e dans le cadre d’une loi binomiale
Simuler, avec Python, une loi binomiale
Introduction
Jaques BERNOULLI (1654 `a 1705) est le premier d’une grande dynastie de math´ematiciens suisses. Il voyage en France, Angleterre et dans les Flandres pour y rencontrer des scientifiques de renom. Il retourne en 1687 en Suisse jusqu’`a sa mort et c’est `a partir de l`a que ces principaux travaux datent.
Son p`ere s’acharna `a l’empˆecher d’´etudier les math´ematiques et l’astronomie : il choisit d’ailleurs l’embl`eme de Phaeton (fils du dieu Soleil dans la mythologie grecque).
I. Successions d’´ epreuves ind´ ependantes
Exercices 4, 5 et 8 p. 420 . Exercice(s) :
II. La loi de Bernoulli
Une ´epreuve de Bernoulli est une exp´erience ayant deux issues :
• La premi`ere issue est appel´ee succ`es (not´ee S) de probabilit´e p;
• La seconde issue est appel´ee ´echec (not´ee E ouS), de probabilit´eq = 1−p.
On r´esume une telle exp´erience par l’arbre pond´er´e suivant :
q E p S D´efinition 11.1 : Epreuve de Bernoulli
On consid`ere une exp´erience de Bernoulli.
A cette exp´erience, on associe la variable al´eatoire X qui prend comme valeur 0 en cas d’´echec et 1 lors d’un succ`es.
On dit alors que la variable al´eatoire X suit une loi de Bernoulli de param`etre p (probabilit´e du succ`es) et on note X ∼ B(p).
On donne la loi de probabilit´e de X dans le tableau ci-dessous :
k 0 1
P(X =k) 1−p p D´efinition 11.2 : la loi de Bernoulli
On souhaite r´epondre `a une question `a choix mul- tiple (QCM) ayant une seule bonne r´eponse parmi 4 propositions.
L’arbre pond´er´e mod´elisant le lancer d’une pi`ece est donn´e ci-contre :
0,75 E 0,25 S
La variable al´eatoire X associ´ee `a cette exp´erience de Bernoulli suit une loi de Bernoulli de param`etre p= 0,25 dont on donne la loi de probabilit´e dans le tableau ci-dessous :
k 0 1
P(X =k) 0,75 0,25 Exemple 11.3 :
L’esp´erance d’une variable al´eatoire X suivant une loi de Bernoulli de param`etre p est : E(X) =p.
Propri´et´e 11.4 :
On consid`ere une variable al´eatoire X suivant une loi de Bernoulli de param`etre p.
On donne alors la loi de probabilit´e de X dans le tableau ci-dessous :
k 0 1
P(X =k) 1−p p Ainsi, on a :
E(X) = 0×(1−p) + 1×p
=p.
D´emonstration 11.5 :
La variance d’une variable al´eatoireX suivant une loi de Bernoulli de param`etre pest :
V(X) = p(1−p).
L’´ecart-type est donc :
σ=p
p(1−p).
Propri´et´e 11.6 :
On consid`ere une variable al´eatoire X suivant une loi de Bernoulli de param`etre p= 0,45.
L’esp´erance de X est :
E(X) = 0,45.
La variance de la variable al´eatoireX est :
V(X) = 0,45(1−0,45)
= 0,45×0,55
= 0,2475.
L’´ecart type est alors :
σ =p V(X)
=p
0,2475
≈0,497.
Exemple 11.7 :
La r´ep´etition de n exp´eriences de Bernoulli identiques et ind´ependantes est un sch´ema de Bernoulli qui se repr´esente par un arbre pond´er´e ayantn niveaux.
D´efinition 11.8 : d’un sch´ema de Bernoulli
III. La loi binomiale
1. D´ efinition de la loi binomiale
Lors de la r´ep´etition den´epreuves de Bernoulli, qui sont identiques et ind´ependantes, on d´efinit la variable al´eatoire X comme le nombre de succ`es obtenus `a la fin des n ´epreuves.
On dit que X suit une loi binomiale de param`etres n et p (o`u p est la probabilit´e de succ`es de l’´epreuve de Bernoulli) et on peut ´ecrire :
X ∼ B(n;p).
D´efinition 11.9 : de la loi binomiale
On lance un d´e cubique ´equilibr´e dont les faces sont num´erot´ees de 1 `a 6 trois fois de suite.
On consid`ere comme succ`es l’´ev´enementS : La face obtenue est un multiple de 3.
Justifier que la variable al´eatoire X associ´e au nombre de succ`es suit une loi binomiale dont on pr´ecisera les param`etres.
Exemple 11.10 :
On consid`ere une variable al´eatoire X suivant une loi binomiale B(n;p).
Pour tout entier 06k6n, on a :
P(X =k) = n
k
pk(1−p)n−k. Propri´et´e 11.11 :
En utilisant un sch´ema de Bernoulli, un chemin aboutissant `a k succ`es parmi les n ´epreuves a bien pour probabilit´e pk·qn−k.
En effet, un tel chemin se compose de k branches pond´er´ees de p (pour les k succ`esS) et n−k branches pond´er´ees de q= 1−p(pour les n−k ´echecs E).
De plus, il y a n k
!
chemins aboutissant `a ce r´esultat.
On obtient alors le r´esultat suivant :
P(X =k) = n k
!
·pk·(1−p)n−k.
D´emonstration 11.12 :
Exemple 11.13 :
Pour calculer P(X =k) lorsque X ∼ B(n;p), on peut utiliser la calculatrice :
• Sur Texas Instrument : 2nde , puis var , puis dans le menu Distrib, choisir : BinomFdP.
On ´ecrit alors :
BinomFdp(n,p,k)
• Sur Casio : OPTN , puis STAT, DIST, BINOMIAL puis Bpd.
On ´ecrit alors :
BinomialPD(k,n,p) Compl´ement(s) :
Pour calculer P(X 6k) lorsqueX ∼ B(n;p), on peut utiliser la calculatrice :
• Sur Texas Instrument : 2nde , puis var , puis dans le menu Distrib, choisir : BinomFR´ep.
On ´ecrit alors :
BinomFR´ep(n,p,k)
• Sur Casio : OPTN , puis STAT, DIST, BINOMIAL puis BCD.
On ´ecrit alors :
BinomialCD(k,n,p) Compl´ement(s) :
On consid`ere lla variable al´eatoire X ∼ B(35; 0,62).
1. Calculer P(X = 30).
2. Calculer P(X 622).
3. Calculer P(X <17).
4. Calculer P(X >10).
Exemple 11.14 :
M´ethode 2 p. 411 D´eterminer une loi binomiale. Compl´ement(s) :
Exercices 11, 19, 22 p. 421 . Exercice(s) :
2. Esp´ erance, variance et ´ ecart-type de la loi binomiale
On consid`ere une variable al´eatoire X suivant une loi binomiale B(n;p).
• L’esp´erance de X est donn´ee par :
E(X) =np.
• La variance deX est donn´ee par :
V(X) =np(1−p).
• L’´ecart-type de X est donn´e par :
σ=p
np(1−p).
Propri´et´e 11.15 :
On consid`ere la variable al´eatoire X suivant une loi binomiale de param`etres n = 4 etp= 0,4.
On a :
E(X) = 4×0,4
= 1,6.
De plus, on a :
V(X) = 4×0,4×0,6
= 0,96.
Enfin, on a : σ=p
V(X)
=p 0,96.
Exemple 11.16 :
M´ethode 1 p. 411 Reconnaitre un sch´ema de Bernoulli. Compl´ement(s) :
M´ethode 3 p. 411 Etudier une situation avec une loi binomiale. Compl´ement(s) :
Exercices 26 et 34 p. 422/424.
. Exercice(s) :
Exercice Bilan : 86 p. 431.
. Exercice(s) :
