ECE1 TD - Lois usuelles à densité - EXERCICE1 -
SoientU,→U([0, 1]) etλ∈R∗+.
1. SoitX=1−U. Déterminer la loi deX, son espérance et sa variance.
2. SoitV= −1
λln(1−U). Déterminer la loi deV, son espérance et sa variance.
3. Déterminer une densité deZ=1 V. - EXERCICE2 (EDHEC 2002) -
Pour tout réelx, on note [x] la partie entière dex, c’est-à-dire l’unique entier vérifiant : [x]6x<[x]+1.
SoitXla variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètreλ(λ>0).
On poseY=[X],Yest donc la partie entière deXet on a :∀k∈Z (Y=k)=(k6X<k+1) 1. (a) Montrer queYprend ses valeurs dansN.
(b) Pour toutkdeN∗, calculerP(Y=k−1).
(c) En déduire que la variable aléatoireY+1 suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.
(d) Donner l’espérance et la variance deY+1. En déduire l’espérance et la variance deY. 2. On poseZ=X−Y.
(a) DéterminerZ(Ω).
(b) En utilisant le SCE (Y=k)k∈N, montrer que :
∀x∈[0, 1[, P(Z6x)=1−e−λx 1−e−λ. (c) En déduire une densitéfdeZ.
(d) Déterminer l’espéranceE(Z) deZ. Ce résultat était-il prévisible ? - EXERCICE3 -
Dans cet exercice, on utilisera la table de valeurs de la fonction de répartition de la loiN(0, 1).
Une machine fabrique des pièces cylindriques dont le diamètre exprimé en millimètres est une variable aléa- toireDsuivant la loi normaleN(m,σ2), oùmest réglable etσ2=0, 16.
1. On suppose quem=8. Calculer :
P([D<7, 5]) , P([D>9]) , P([7, 5<D<8, 5]) .
2. Toute pièce est vérifiée à l’aide de deux calibres, l’un de 7, 5mmet l’autre de 8, 5mm. Elle est acceptée si elle passe dans le grand et non dans le petit.
Déterminer la probabilité qu’un pièce soit refusée sim=7, 5.
Même question sim=8 puis sim=8, 5.
3. Dans le casm=8, déterminer la probabilité qu’une pièce soit acceptée sachant qu’elle passe dans le grand calibre.
- EXERCICE4 -
Marco et Soso dit « le boss » (les noms ont été changés) disputent une partie de badminton.
On suppose que la durée en secondes d’un échange suit une loi normaleN(m,σ2).
Au cours d’un match, on constate que :
• 10% des échanges durent plus de 23, 14 secondes
• 25% des échanges durent moins de 15, 3 secondes
1. Calculer la durée moyenne d’un échange ainsi que son écart-type.
On utilisera la table de valeurs de la fonction de répartition de la loiN(0, 1).
2. Sachant que ce match a duré 10 minutes et 48 secondes, quelle est la probabilité que Marco rentre dépité chez lui après une sévère mais inévitable défaite ?
Cette question est indépendante de la précédente et ne nécessite aucun calcul. Un simple bon sens suffit.
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- EXERCICE5 -
SoitXune variable aléatoire suivant la loi exponentielleE(λ).
1. (a) Déterminer la loi de la variable aléatoireY=p X. (b) (*)Montrer queYadmet une espérance et queE(Y)=
pπ 2p
λ.
On fera apparaitre la densité de la loi normale en utilisant le changement de variable x= t p2λ. (c) En déduire la variance deYsans calcul supplémentaire.
2. Déterminer une densité deX2. - EXERCICE6 (ECRICOME 2007) -
Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoireTdont une densité de probabilité est donnée par la fonctionf définie par :
f(x)=
(xe−x six>0 0 six<0
1. Rappeler la définition d’une densité de probabilité d’une variable aléatoireXsuivant une loi exponentielle de paramètreλ=1. Donner la valeur de l’espérance et de la variance deX.
2. Utiliser la question précédente pour vérifier quefest bien une densité de probabilité, puis montrer queT admet une espérance que l’on déterminera.
Quel est le temps moyen de passage en caisse ?
3. (a) Démontrer que la fonction de répartition deT, notéeFTest définie par : FT(x)=
(0 six<0 1−(x+1)e−x six>0
(b) Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités(de temps) sachant qu’il est supérieur à une unité est égale à2e−3
2e .
4. Un jour donné, trois clientsA,B,Cse présentent simultanément devant deux caisses libres. Par courtoisie, Cdécide de laisser passerAetBet de prendre la place du premier d’entre eux qui aura terminé. On suppose que les variablesTAetTBcorrespondant au temps de passage en caisse deAetBsont indépendantes.
(a) Mdésignant le temps d’attente du clientCexprimerMen fonction deTAetTB. (b) Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoireMest donnée par :
P(M6t)=
(0 sit<0 1−(1+t)2e−2t sit>0 (c) Prouver queMest une variable à densité et expliciter une densité deM.
- EXERCICE7 (EML 2010) -
SoientXune variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètrep,p∈]0; 1[ etYune variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètreλ,λ∈]0;+∞[. On noteq=1−p.
On suppose queXetYsont indépendantes, c’est à dire :
∀k∈N∗, ∀t∈[0;+∞[ , P (X=k∩Y6t)=P (X=k) P (Y6t) 1. Rappeler une densité deY ainsi que son espérance et sa variance.
2. On définit la variable aléatoireZparZ=Y X. (a) Montrer : ∀t∈[0;+∞[ , P (Z>t)=
+∞X
k=1
P (X=k) P (Y>t k) (b) En déduire : ∀t∈[0;+∞[ , P (Z>t)= pe−λt
1−qe−λt
(c) Montrer que la variable aléatoireZadmet une densité et déterminer une densité deZ. -2-
