3 Changement de variables

UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES Année 2015-2016

D. Piau, L. Coquille M1 – MAT414

Processus stochastiques – Feuille d’exercices 0 Révisions

1 Borel-Cantelli

Montrer qu’il n’existe pas de probabilité PsurN^∗ telle queP(A_k) = 1/k pour toutk, oùA_k=kN. Indications : On suppose qu’une telle mesure de probabilité Pexiste,

1. Montrer que deux événementsA_p etA_qsont indépendants si et seulement sipetqsont premiers entre eux.

2. SoitB ={n∈N^∗ :nappartient à une infinité deAp}.

Montrer queB est vide et de probabilité 1. Conclure.

2 Approximation polynomiale des fonctions continues

Soit f : [0,1]→ R une fonction continue, p ∈ [0,1] et λ > 0. Etudions la convergence, lorsque n tend vers l’infini, de la suite

Wn(p) :=

n

X

k=0

n k

p^k(1−p)^n−k·f(k/n)

Remarque : on appelle Bn,k:p7→ ⁿ_k

p^k(1−p)^n−k polynômes de Bernstein (de paramètres n, k).

1. ExprimerW_n(p) comme l’espérance d’une fonction d’une variable aléatoire X_n suivant une loi PX que l’on précisera.

2. Montrer que

P(|f(p)−f(X/n)|> )→0 uniformément en plorsque n→ ∞

en utilisant l’inégalité de Chebychev (et la continuité uniforme de f).

3. Montrer que pour tout >0,

|f(p)−Wn(p)| ≤+ 2kfk_∞P(|f(p)−f(X/n)|> ) 4. En déduire que Wn(p)→f(p) uniformément sur[0,1].

3 Changement de variables

Soient X etY deux variables indépendantes de loiN(0,1).

1. Montrer queU :=X²+Y² suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

2. Montrer que le quotientZ :=X/Y suit une loi de Cauchy, c’est-à-dire admet la densité suivante surR:

f_Z(x) = 1

π × 1 1 +x². 3. Que vaut l’espérance deZ?

4 Marche aléatoire simple sur Z

On considère la marche aléatoire simple unidimensionnelle

Sn=

n

X

i=1

Xi

avec S0= 0 et(Xi)i≥1 une famille i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli :

P(Xi= +1) =p, P(Xi =−1) =q, p+q= 1.

Soit An ={S_n= 0} l’événement "la marche retourne en 0 au temps n". On poseA =∩_k≥1∪_j≥kAj, c’est-à-dire l’événement "la marche retourne une infinité de fois en 0".

1. Prouver que, si p6= 1/2, alors P(A) = 0.

2. En utilisant la loi forte des grands nombres, donner une conclusion plus précise permettant de retrouver le résultat précédent.

5 Modes de convergence

Soit(Y_n)n≥1une suite de variables aléatoires réelles définies sur l’espace de probabilité((0,1],B((0,1]), λ) de la façon suivante :Y_n=n^1/p1_(0,1/n], où pest un entier supérieur ou égal à 1 fixé.

1. Montrer que la suite (Y_n)_n converge presque sûrement vers 0.

2. Montrer qu’elle converge également en probabilité.

3. Que vaut E(Y_n^p)? En déduire que chaque variable aléatoire Y_n est dans L^p, mais que la suite de variables aléatoires(Yn)n ne converge pas dansL^p.