Epreuve de Math´ ´ ematiques

Epreuve de Math´ ´ ematiques

La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.

Exercice 1

Le but de cet exercice est d’´etudier quelques propri´et´es d’un filtre num´erique N et de comparer les effets de ce filtre `a ceux d’un filtre analogiqueA.

Partie I

On rappelle que tout signal discret causal est nul tour tout nombre entier strictement n´egatif.

Soientx(n) ety(n) les termes g´en´eraux respectifs de deux signaux discrets causaux repr´esentant respectivement, l’entr´ee et la sortie du filtre num´erique N.

Ce filtre est con¸cu de telle sorte que, pour tout nombre entier n positif ou nul, on a : y(n)−y(n−2) = 0,04x(n−1)

1) On note Zx et Zy les transform´ee en Z respectives des signaux causaux x ety.

Montrer que, pour tout nombre complexe z diff´erent de−1 et 1, on a : (Zy)(z) = 0,04z

(z−1)(z+ 1)(Zx)(z) 2) On suppose que le signal d’entr´ee est l’´echelon unit´e discret :

x(n) = e(n) avec

(e(n) = 0 sin <0, e(n) = 1 sin >0.

a) Montrer que, pour tout nombre complexe z diff´erent de −1 et 1, on a : (Zy)(z) = 0,04z²

(z−1)²(z+ 1) b) calculer les constantes r´eelles A, B et ctelles que :

0,04z

(z−1)²(z+ 1) = A

(z−1)² + B

z−1 + C z+ 1

c) En remarquant que :

(Zy)(z)

z = 0,04z (z−1)²(z+ 1) montrer que pour tout nombre entier n positif ou nul, on a :

y(n) = 0,02n+ 0,01 1−(−1)ⁿ

d) D´eterminer y(2k) puis y(2k+ 1) pour tout nombre entier naturel k.

e) En d´eduire que, pour tout nombre entier naturel k, on a : y(2k+ 1) =y(2k+ 2) f ) Repr´esenter graphiquement les termes du signal causal y lorsque le nombre entier n est compris entre −2 et 5.

Partie II

On rappelle que la fonction ´echelon unit´e est d´efinie par : U :

(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit >0 Soit la fonctionf d´efinie pour tout nombre r´eel t par :

f(t) = sin(20t) U(t)

On noteF la transform´ee de Laplace de la fonctionf. Le signal de sortie du filtre analogique A est repr´esent´e par la fonction s dont la transform´ee de Laplace S est telle que :

S(p) = F(p) p

1) Justifier que, pour tout nombre r´eel t positif ou nul, on a : s(t) =

Z t 0

f(u)du

2) En d´eduire que, pour tout nombre r´eel t positif ou nul, on a : s(t) = 1−cos(20t)

20

3) Donner sans justification la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction s.

4) Tracer, sur le graphique du document r´eponse, l’allure de la courbe repr´esentative de la fonction s. Il n’est pas demand´e d’´etudier la fonction s.

La figure du document r´eponse montre une simulation du r´esultat obtenu en sortie du filtre num´erique soumis `a une version ´echantillonn´ee de la fonction f, lorsque la p´eriode d’´echantillonnage est de 0,02.

Exercice 2

Les partie A et B sont ind´ ependantes.

Partie A

Soient α et β deux nombres r´eels.

Soitf une fonction p´eriodique de p´eriode 1, d´efinie sur l’intervalle [0; 1[ par : f(t) =α t+β On appelle a₀,a_n etb_n les coefficients de Fourier associ´es `a la fonction f.

1) Montrer que : a₀ = α 2 +β 2) Montrer que : b_n =− α

nπ pour tout nombre entier naturel n non nul.

On admet que : an = 0 pour tout nombre entier naturel n non nul.

3) On se propose de d´eterminer les nombres r´eels α et β pour que le d´eveloppement S en s´erie de Fourier de la fonction f soit d´efini pour tout r´eel t par : S(t) =

+∞

X

n=1

1

nsin(2nπt) a) D´eterminer les nombres r´eels α et β tels que a0 = 0 et bn = 1

n pour tout entier natureln non nul.

En d´eduire l’expression de la fonction f.

b) Repr´esenter la fonction f sur l’intervalle [−2; 2] dans un rep`ere orthogonal.

Partie B

On veut r´esoudre l’´equation diff´erentielle :

s⁰⁰(t) +s(t) = f(t)

On admet que l’on obtient une bonne approximation de la fonction s en rempla¸cant f(t) par les premiers termes du d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction f obtenue dans a partie A, c’est `a dire par :

sin(2πt) + 1

2sin(4πt) Soit (E) l’´equation diff´erentielle :

s⁰⁰(t) +s(t) = sin(2πt) + 1

2sin(4πt) 1) V´erifier que la fonction s₁ d´efinie pour tout r´eel t par :

s₁(t) = 1

1−4π² sin(2πt) + 1

2(1−16π²)sin(4πt) est solution de l’´equation diff´erentielle (E).

2) R´esoudre l’´equation diff´erentielle (E).

Document `a rendre avec la copie

Corrig´ e de l’´ Epreuve de Math´ ematiques

Exercice 1

Partie I

y(n)−y(n−2) = 0,04x(n−1) 1) On applique `a l’´equation la transform´ee en Z :

(Zy)(z)−z⁻²(Zy)(z) = 0.04z⁻¹(Zx)(z) (1−z⁻²) (Zy)(z) = 0.04z⁻¹(Zx)(z)

(Zy)(z) = 0.04z⁻¹

1−z⁻² (Zx)(z) (Zy)(z) = 0.04z

z⁻²−1(Zx)(z) (Zy)(z) = 0.04z

(z−1)(z+ 1)(Zx)(z) 2) Si x(n) =e(n) alors : (Zx)(z) = z

z−1

a) Et donc : (Zy)(z) = 0.04z²

(z−1)²(z+ 1) b) Par identification :

0.04z

(z−1)²(z+ 1) = A

(z−1)² + B

(z−1)+ C (z+ 1)

= A(z+ 1) +B(z²−1) +C(z−1)² (z−1)²(z+ 1)

= (B+C)z²+ (A−2C)z+ (A−B+C) (z−1)²(z+ 1)







B + C = 0

A − 2C = 0,04

A − B + C = 0







A = −2C

B = −C

−4C = 0,04







A = 0,02 B = 0,01 C = −0,01

c) (Zy)(z)

z = 0.04z

(z−1)²(z+ 1) = 0,02

(z−1)² + 0,01

(z−1)− 0,01

(z+ 1) donc : (Zy)(z) = 0,02z

(z−1)² + 0,01z

(z−1)− 0,01z (z+ 1)

y(n) = 0,02n+ 0,01−0,01(−1)ⁿ = 0,02n+ 0,01(1−(−1)ⁿ)

d) y(2k) = 0,02(2k) = 0,04k y(2k+ 1) = 0,02(2k+ 2) = 0,04k+ 0,04 e) y(2k+ 2) =y(2(k+ 1)) = 0,04(k+ 1) = 0,04k+ 0,04 =y(2k+ 1)

f ) Figure :

n y(n)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0,4

0,8 0,12

• • • •

• •

• •

• •

Partie II

f(t) = sin(20t)U(t) S(p) = F(p)

p 1) On voit dans le formulaire que : S(t) =

Z t 0

f(u)du

2) En calculant cette int´egrale :

S(t) = Z t

0

sin(20u)du

=

−cos(20u) 20

t 0

S(t) = 1−cos(20t) 20

3) On sait que : −16cos(20t)61 donc : 06S(t)60,1

4) On compl`ete la figure du document `a rendre avec la copie :

Exercice 2

Partie A

1) Calcul de : a₀ = 1 1

Z 1 0

(αt+β)dt= αt²

2 +βt 1

0

= (α

2 +β)−(0) a₀ = α 2 +β

2) Calcul de b_n en int´egrant par parties : u=αt+β dv = sin(2nπt)dt

du=αdt

v =−cos(2nπt)dt 2nπ b_n = 2

Z 1 0

(αt+β) sin(2nπt)dt = 2

−(αt+β)cos(2nπt)dt 2nπ

1 0

+ α

2nπ Z 1

0

cos(2nπt)dt

!

= 2

−(α+β) 1 2nπ

−

−(β) 1 2nπ

+ α

2nπ

sin(2nπt)dt 2nπ

1 0

!

= 2

− α

2nπ + 0

b_n=− α

3) Dans la formule propos´ee : S(t) =

+∞

X

n=1

1

nsin(2nπt) on a :

( a₀ = 0 b_n = 1

n

a) En identifiant :





 α

2 +β = 0

− α

nπ = 1 n

( α = −π β = π

2

et donc : f(t) = −πt+π 2

b) Figure : n

y(n)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 π

• • • • • 2• • • • •

Partie B

s⁰⁰(t) +s(t) = sin(2πt) + 1

2sin(4πt) 1) Par identification :

s₁(t) = 1

1−4π² sin(2πt) + 1

2(1−16π²)sin(4πt) s⁰₁(t) = 2π

1−4π² cos(2πt) + 4π

2(1−16π²)cos(4πt) s⁰⁰₁(t) = −4π²

1−4π² sin(2πt)− 16π

2(1−16π²)sin(4πt) s⁰⁰₁(t) +s₁(t) = 1−4π²

1−4π² sin(2πt) + 1−16π

2(1−16π²)sin(4πt) s⁰⁰₁(t) +s₁(t) = sin(2πt) + 1

2sin(4πt)

2) Pour : s⁰⁰(t) +s(t) = 0 on a r²+ 1 = 0 et donc : s(t) =Acos(t) +Bsin(t) Solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (E).

s(t) =Acos(t) +Bsin(t) + 1

1−4π² sin(2πt) + 1

2(1−16π²)sin(4πt)