Groupes de Galois sur $K(T)$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

P

IERRE

D

ÈBES

Groupes de Galois sur K(T )

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

2, n

o

_{2 (1990),}

p. 229-243

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_2_229_0>

© Université Bordeaux 1, 1990, tous droits réservés.

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Groupes

de

Galois

sur

_K(T)

- par PIERRE

DÈBES

Soit Ii un _corps de

caractéristique

0. On dit

qu’un

_{groupe fini} G a la

propriété

Galiç,

ce

qu’on

notera en

abrégé

Gal¡«( G)

s’il existe une extension

galoisienne

EIK

de Il de _groupe de Galois = G. Le

"problème

inverse de la théorie de Galois" est l’étude de la

_conjecture

suivante.

CONJECTURE 1. _{Tout groupe} fini G a la

propriété

GalQ.

Le cas des _goupes abéliens est facile : on utilise des extensions

cyclo-tomiques.

Le cas

résoluble,

beaucoup plus difficile,

a été traité _par

Shafare-vitch

_[Sha].

Le _groupe

_symétrique

_Sn

et le _groupe alterné

_An

sont d’autres

exemples classiques,

dus à Hilbert

_[Hi].

[Le groupe symétrique

Sn

a une action naturelle sur le corps

~(Y1, ..., Yn).

Le

sous-corps fixé par cette action est _{le corps}

_~(T1,...,Tn)

_{engendré par les fonctions}

symétriques élémentaires de

_Yl,

...,

Yn.

C’est une extension transcendante pure de

Q.

On _peut donc _spécialiser rationnellement les indéterminées

_{T1, ...,}

_T~,

de telle _façon

que l’extension résiduelle (de

Q)

correspondante soit de _{même groupe de} Galois _que

l’extension

_{~ (Y1, ..., Yn )l ~ (T1, ..., T’n ),}

_{1.e. ,}

L’argument

final de la construction

_s’appuie

sur le théorème

d’irréductibi-lité de

_Hilbert,

_qui,

sous sa forme la

plus simple

énonce _{que, si}

P(T,Y)

est

un

polynôme

irréductible dans

~(T)~Y~,

alors,

_pour une infinité de nombres

rationnels

_t,

le

_polynôme

_P(t,Y)

est irréductible dans

_Q[Y].

En

_particulier,

_{pour tout groupe}

_G,

on a :

C’est _par ce biais

_qu’on

aborde le cas non résoluble. On _transpose ainsi le

problème

sur le _corps

Q(T)

où on trouve un

angle d’attaque géométrique.

On sait en effet

qu’une

extension de

Q(T),

si elle est

_régulière

sur

Q,

cor-respond

à un

revêtement,

défini sur

Q,

de la droite

projective

Pi .

Rap-pelons qu’une

extension est

_{dite régulière}

sur J( si le _{corps J(} est

algébriquement

fermé dans

_E,

_i.e.,

E fl = On dira

qu’un

_groupe fini G a la

propriété

RGali,-

s’il existe une extension

galoisienne

de

.1’(T),

régulière

sur Il et de _groupe de Galois G.

CONJECTURE 2. _{Tout groupe} fini G a la

propriété

RGalQ.

Note. Le _Conj.2 s’énonce de _{façon équivalente :} tout _{groupe fini} G a la _propriété

RGal¡(

pour tout corps Il de caractéristique 0.

La

_Conj.2

entraîne la

_Conj.l.

_D’après

_[Hi],

elle est vraie _{pour le groupe}

symétrique

Sn

et le _groupe alterné

_An.

Elle l’est

_également

_pour les groupes

abéliens

_[Se3;Ch5].

Citons aussi le résultat de Shih

_{([Shil],[Shi2]) :}

le

groupe

PSL2(Fp)

ala

propriété

RGalQ

si p est un nombre

premier

vérifiant

l’une des conditions suivantes :

[Shih utilise l’action de Galois sur les _points de _p-torsion d’une courbe elliptique. Si

E _désigne une courbe _elliptique définie sur un _corps

Il,

considérons le

Fp-espace

vectoriel des _points de _p-torsion de E. L’action de sur induit un

homomorphisme

Sous une certaine condition sur E et _p, on peut "tordre" cette représentation de

_G(KIK)

de _façon à ce _{qu’elle prenne} ses valeurs dans

pSL2(Fp).

La donnée "courbe elliptique

+p-torsion" est _{paramétrée par} la courbe modulaire

_Xo(p).

A l’aide de cette

de-scription, on arrive à montrer que dans la _{précédente construction,} on _{peut prendre}

~1 =

Q(T)

_(voir

_[Se3;Ch6]

_{pour des}

_détails).]

Les travaux de Shih datent du milieu des années 70. C’est

_quelques

années

_plus

tard

_{qu’appa,raît}

la méthode dite "de

_rigidité".

Cette méthode

a

permis

une avancée

importante

du

problème

dans le cas des _groupes

simples

non abéliens. Les résultats sont de deux

_{types :}

une version forte

où on montre

_qu’un

_groupe G a la

propriété

RGalQ

et une seconde version

plus

faible où on démontre seulement la

propriété

RGal¡(

_pour Il =

Qab,

la cloture abélienne de

_Q.

Pour cette seconde

_version,

les résultats sont presque

complets :

il ne _manque essentiellement _que les deux familles de

groupes

simples

2 B2

et

2 F4.

En

revanche,

ils sont

beaucoup plus partiels

pour la

première :

la

propriété

RGalQ

a été démontrée _pour

~ Le groupe alterné

An

~ 23 des 24 _groupes

sporadiques

(ma,nque

le groupe de Mathieu

M24)

~

Quelques

unes des familles

classiques

de _groupes

simples

comme

PSL2, PSL3,

PSU3,

PSP4,

quand

le _corps de base est

_Fp

où

_{p est}

un nombre

premier

devant vérifier de surcroît certaines conditions

(du

type

(2))

~

Quelques

autres _groupes

_{épars :}

_{PSL2 (F25 ), PSL2 (Fp2 )}

si _p = ±2

On consultera

_{[Mal], [Ma2]}

et

_[Ma3]

_pour un

point

précis

des résultats.

La

_rigidité

_impose

diverses contraintes à la ramification des extensions

cherchées. On commence _par fixer les

points

de ramification de ces

ex-tensions. Soient

_{tl, ..., tr}

r

_points

distincts dans et n l’extension

algébrique

maximale de non ramifiée en dehors de

_{t1, ...,}

_tr. L’extension

est

_{galoisienne ;}

son _groupe de Galois se note c’est le _groupe fondamental

_algébrique

de

_...tr}.

Si le diviseur

_{(ti )}

+ ... +

_(tr)

de

Pl

est

_K-rationnel,

l’extension

_n/J«(T)

est

_{également galoisienne.}

On note son _groupe de Galois. La théorie

de Galois fournit la suite exacte :

où

Aiç

=

Étant

donné un _groupe

G,

la

propriété

Gal¡«T)(G)

équivaut

à l’existence

d’un

_{homomorphisme q) :}

G

_{surjectif ;}

la

_propriété

RGal

est

satisfaite si de

_plus

la restriction de 4l à

nalg

reste

_surjective.

On fait ensuite les deux observations suivantes.

1- La construction d’un

_{homomorphisme surjectif p :}

G ne _pose

pas de

problèmes.

En

effet,

la structure du _groupe

nalg

est bien connue.

Notons II le _groupe libre à r

_{générateurs}

_{xl, ..., Xr} avec la relation xl...xr =

1 ;

on reconnait le _groupe fondamental

_topologique

de

Le groupe

nalg

est

_isomorphe

au

_{complété profini II}

du _groupe

_{II, i.e.,}

la

limite

_projective

des

_quotients

de II _{par des sous-groupes} normaux d’indice

fini. Plus

_{précisément,}

il existe un

isomorphisme

entre ces deux _groupes

qui

envoie chacun des Xi sur. un

_générateur

d’un groupe d’inertie au dessus

de ti

de l’extension

_{ni 1«(T) ([Se3;}

Th.7.5 _p.

_69]).

On

_définit

en

_posant

=

9i, i

=

_1,...,r

où

gl, ...,gr sont des

générateurs

de G vérifiant _gl...gr = 1. Il suffit donc de choisir r

suff-isamment

_grand.

[Struct ure

des _groupes d’inertie. Considérons une extension _galoisienne

finie de groupe de Galois

G,

non ramifiée en dehors de

_{tl, ..., tr.}

Les groupes

d’inertie au dessus d’un point de _{ramification ti} sont _cycliques et deux à deux _conjugués dans _{G. Notons,} pour i =

1, ..., r,

_e~ leur ordre. La théorie des corps locaux ou

plus simplement l’utilisation de séries de Puiseux _{montre que,}

_{pour i}

=

_{1, ..., r}

et pour chaque groupe d’inertie I au dessus de ti, il _y a un _{isomorphisme compatible} avec

l’action de

_Ajç,

entre I et _{le groupe Me,} des racines de l’unité d’ordre _{ei. Choisissons} un

système cohérent de racines de l’unité _(i.e.,

_(znm)m

= _{Zn pour} tous _{n, m) ;} cela permet de munir chacun _{des groupes d’inertie d’un générateur "canonique".} Alors on

peut demander à

l’isomorphisme Û --+

nalg

_{d’envoyer xi} sur le _générateur "canonique"

d’un _{des groupes d’inertie} au dessus de _ti.]

n

_s’agit

de voir maintenant à

_quelle

condition

_{l’homomorphisme p}

se

prolonge

à

_TI¡(.

2 - La suite exacte

₍₃₎

est

_scindée,

[pour tout _{to e}

_{~l~.~i ~~tl, ..., tr}, ~}

se _plonge dans où

_A¡(

_opère

na-turellement. L’action induite sur n définit une section - de _{l’homomorphisme}

niç --+ Ai,( .1

de sorte que le groupe

TI¡(

est

_isomorphe

au

produit

semi-direct

nalg

x S

Ai,, ;

l’action de T E

A jç

sur

nalg

sera notée z - x?. On vérifie sans

_peine

qu’un homomorphisme

de groupes p :

nalg

- G se

prolonge

au

produit

semi-direct

nalg

x S

Aiç

si et seulement si il existe un

morphisme

T --t cpT de

_Ajç

dans G

_qui

vérifie la condition de

_{compatibilité}

suivante :

On obtient en définitive le critère suivant.

THÉORÈME

1. Un _groupe fini G a la

propriété

RGaljc

ssi il existe

-

un entier r &#x3E;

_0,

un diviseur h-rationnel de _to E

P1

(~i )1~t1, t,l

- des éléments gl, ..., gr de G

engendrant

G et de

_produit

_{gl ...gr} = 1 - _un

morphisme

de groupes - _un

morpnjsme

de G T _PT

tels _que le

_{niorphisme w :}

G défini _par = _gi, i =

_1,

..., r vérifie :

Note. Si est une famille d’éléments de G vérifiant (5), la famille

(%2r )(pri ))r,r,

définit _{un cocyle} de à valeurs dans le centre

_Z(G)

du _groupe

G. Donc, si le _groupe

_H2(1(,

_Z(G))

est trivial _(e.g.,

_Z(G)

= 1 ou ~1’ _ _{il n’est} pas nécessaire de demander dans le Th.1 _{que l’application} T - _pr soit un _morphisme

du _groupe.

Toute la

_question

est de connaître les

_{xi ,}

_i.e.,

l’action de

_A¡(

sur

Voici ce

qu’on

_peut dire sur les

xi .

(i)

x1, ..., x; engendrent

le groupe

nalg

(iii)

Pour i =

_1,

_{..., r,}

xi

est

conjugué

dans

H alg

à où

tj

=

ti

et

désigne

le caractère

_cyclotomique

_{Xi,( :}

N

du _corps ~1.

[Seul

(iii) demande _{quelques explications.} Considérons une extension _galoisienne finie de groupe de Galois

G,

non ramifiée en dehors de

_{t1, ..., tr.}

Sous l’action de T E

_Aic,

Xi est _envoyé sur un _générateur d’un des groupes d’inertie au dessus de

t.? =

Ces groupes sont _cycliques et _conjugués dans

_{G ;}

leurs _{générateurs} sont donc des _conjugués d’une _puissance a-ième de où a est _premier avec _{e j.} Pour voir _qu’on

peut prendre a =

Xj,«7),

il faut utiliser _que les xi sont des _{générateurs "canoniques"} et

que les isomorphismes I -~ /lei sont _compatibles avec l’action de (voir "Structure

des _groupes d’inertie" plus haut).]

Nous montrons maintenant dans diverses situations comment utiliser le Théorème 1.

Situation 1 :

_Rigidité

avec ou K =

~ab.

Le Th.2 ci-dessous est le résultat

_principal

de la méthode. Il est dû

indépendamment

à

_Belyi,

_{Fried, Matzat,}

Shih et

_Thompson.

On se donne un _groupe G et des éléments _{91, ...,gr} de G

engendrant

G et de

_produit

= 1. Pour i =

1,

_{..., r,} on note

_Ci

la classe de

_conjugaison

_{de gi}

dans

G. On

_rappelle

_que

_Ci

est dite rationnelle si

_gf

E

Ci

pour tout entier a

premier

à l’ordre de gi .

Considérons l’ensemble

Il _y a une action naturelle du _groupe G sur l’ensemble ...,

Cr) :

on fait

opérer chaque

élément g de G par

conjugaison

sur chacune des

_composantes

d’un élément

THÉORÈME 2. Si les trois

_hypothèses

suiva,ntes sont

_satisfaites,

(Hi) z(G) = {1}

(H2)

CI, ..., Cr

sont rationnelles

(H3)

L’action de G est

_transitive,

alors le _groupe G a la

propriété

RGalQ

avec

_ti,...~y.

quelconques

dans

Pi Q).

Preuve. On choisit de _{façon quelconque} r ₊ 1 _points dans

_{Pi (Q).}

le _r-uple

_{~c~~xl ~, ..., ~~xT~~}

est un élément de

2:( CI, ..., Cr).

D’après

(H3 ),

il existe

e G tei que

Notre. L’hypothèse

_{(HZ )}

est nécessaire si on _précise dans la conclusion du Th.2

que

pour i

. =

_{1, ...,}

r,

Ci

est la classe de _conjugaison des _{générateurs "canoniques"} des

groupes d’inertie au dessus _{de ti :} 1 en _effet, la rationalité de

_Ci

résulte alors de celle de ti (utiliser (iii)).

Si Il = on a besoin ni de

l’hypothèse

_{(H1 ) (voir}

note

_plus

_haut),

ni de

_{l’hypothèse}

_{(H2 ).}

THÉORÈME 3. Si

_{1’hypothèse}

_(H3)

est

_satisfaite,

alors le _groupe G a la

propriété

_RGalQab

avec

_quelconques

dans

[La

démonstration est _identique à celle du Th.l. Il faut _{juste remarquer que le} car-actère _cyclotomique est trivial. Par _conséquent, si

_t1,

..., tr sont choisis dans

pour tout T E et i

.

=

l, ..., r,

xi

est _conjugué dans

Ilalg

à _{xi. On}

obtient donc _que est _{automatiquement conjugué à gi} dans

_G,

sans qu’il soit

besoin de faire _appel à _{l’hypothèse}

_{(H2 ).~}

C’est

_{l’hypothèse}

_(H3)

_{qu’on appelle plus}

_{spécifiquement}

_hypothèse

de

rigidité.

Il

_s’agit

d’une

_hypothèse

assez

_{contraignante ;}

en

_particulier,

pra-tiquement,

elle

_impose

r 3. Elle est

_cependant

satisfaite _par de nombreux groupes

simples :

la

plupart

des résultats cités en introduction se déduisent en effet des Th.2 et Th.3 ou de variantes

approchantes.

On trouvera

_plus

de détails sur ces

_{applications précises}

dans

_[Se3]

et

_~Ma2~.

Situation 2 : Il = R.

On a

_{{l, c}}

où c

désigne

la

conjugaison complexe.

Il

s’agit

d’une

situation assez

_{particulière puisque}

l’action de c sur le groupe

II

provient

d’une action sur le _groupe

_II,

à savoir l’action naturelle de la

conju-gaison

complexe

sur le _groupe fondamental

_topologique

-De

_plus,

l’action de c sur le groupe Il _peut être

explicitée.

Si

_{tl, ..., tr,}

_to sont

dans

_{P1 (R)}

et

_apparaissent

dans cet ordre sur la droite

projective réelle,

on

peut choisir les classes

_{d’homotopie}

_{zi , ..., zr} dans

_{xi (Pi}

...,

tr}, to)

de telle

_façon

_qu’on

ait les formules suivantes.

Ces formules étaient connues d’Hurwitz

_{[Hu ;}

_p.

_{357] ;}

on les trouve aussi

dans

_[KN].

Combinées au

Th.l,

elles conduisent au résultat suivant

~DFr2~.

THÉORÈME 4. Un _groupe G a la

_propriété

RGAIR

avec

points

de

ramifica-tion

_{t1, ..., tr}

dans et seulement si le _groupe G est

_engendré

_par r

éléments d’ordre 2.

PREUVE: La condition ₍₅₎ du Th.1 s’écrit

De la dernière _ligne, on déduit _que est d’ordre au _{plus 2,} des deux dernières _lignes

que est d’ordre au _{plus 2,} etc...

Le Th.4

_appelle

deux commentaires.

_Rappelons

en

_premier

lieu

_qu’on

sait

montrer _que tout _{groupe G} a la

propriété

RGaIR .

La méthode est

_analogue

mais on choisit _pour

_points

de ramification

_r/2

_paires

de nombres

_complexes

conjugués(voir

[Se3;

Ex. _p.

_107]

et aussi

_{[DFr2; Th.3.1]).}

_Remarquons

en

second lieu _que le Th.4 fournit une condition nécessaire _pour

_qu’un

_groupe

ait la

_propriété

_RGalQ

avec

points

de ramification

_{~ ...,~}

dans En

particulier,

le Th.4 montre les limites du cas

_{"rigide" :}

les _groupes obtenus

par le

Th.l,

par

exemple

le

Monstre,

sont

_engendrés

_par 3 éléments d’ordre

[En

fait,

on

_peut

vérifier directement _que tout _{groupe G}

qui

satisfait

l’hypothèse

(H3 )

avec de

plus

Ci

=

Ci 1

_pour i =

1, ... , r,

_peut

être

en-gendré

par r éléments d’ordre

2].

On

_peut

se demander si inversement tout _groupe

engendré

_par 3 éléments

d’ordre

_2,

de centre trivial a la

propriété

RGalQ

avec r = 3. La

réponse

est non : _pour le groupe diédral

_Dp

d’ordre

_{2p, qui}

est

_engendré

_{par 2}

éléments d’ordre

_2,

il en faut

(beaucoup)

plus

_que 3.

Précisément,

on a :

THÉORÈME

5.

_Supposons

_p

_{premier &#x3E;}

7. Si le _groupe

_Dp

a la

propriété

RGah

avec r

points

de

ramification,

alors r &#x3E; 6.

On trouvera une démonstration

complète

dans

[DFr2].

Le cas essentiel

est celui où r = 4 _et où _tous les

groupes d’inertie sont d’ordre 2. On montre

dans ce cas _que la

propriété

RGalQ

est

_{l’équivalente}

à l’existence d’un

_point

de

_p-torsion

_Q-rationnel

sur une courbe

elliptique

définie sur

Q.

Il faut

donc recourir au Théorème de Mazur

[Sel]

_pour conclure.

Anticipons

sur

la suite de

_l’exposé

_pour dire _que cet

_exemple

est d’autant

_plus

intéressant que

l’espace

de Hurwitz a,ssocié à cette situation est

irréductible,

défini sur

Q

et

_possède

des

_points

réels

_(et

même

_.~-adiques

_{pour tout} nombre

_premier

î)

(cf.

Situation

_4.(6).

Situation 3 : K =

Qp.

Il est naturel de demander s’il existe des formules

_analogues

à

₍₈₎

dans la situation Il = choisis dans

Qp

_{et avec c}

remplacé

_par le Frobenius

_Fp

E

_{AQ .}

La

_réponse

est non. De

_façon

_précise,

l’action de

_Fp

sur ne

_provient

_pas d’une action sur II telle _que

( 10) ~Fp

est

_conjugué

dans Il à

_xp,

_pour i

_{=1, ... ,}

r.

[La

raison est _{simple :} si ₍₁₀₎ était _vrai, le _groupe 11 serait _{engendré par} des _conjugués

i =

_{1, ... ,}

_{r ; mais} alors tout _{groupe engendré} par des éléments d’ordre p serait

trivial ! t On _peut donner une autre _explication. Dans _{(10), l’exposant p remplace} dans

le contexte _p-adique

_{l’exposant -1 =}

de la situation 2. _{Or, p} n’est _pas la valeur

du caractère _cyclotomique en

Fp :

en _effet, l’action de

Fp

sur _JIN n’est l’élévation à la _{puissance p-ième que si p} ne divise _pas

_~.~

Ce

_paragraphe

est aussi l’occasion de

_rappeler

ce résultat de Harbater

[Ha].

THÉORÈME

6. Tout _groupe G a la

_propriété

_RGalQp,

_{pour tout} nombre

prenlier

p.

par établir la

propriété

RGalQ,

pour les groupes

cycliques.

Il montre

en-suite comment "coller ensemble"

_plusieurs

revêtements

_cycliques,

ou si l’on

préfère,

comment à

_partir

de

_plusieurs

extensions

_régulières

de

groupes de Galois des sous-groupes

cycliques

Gi, i

=

1,..., s

d’un groupe

G,

on

_peut,

sous certaines

_conditions,

construire une extension

régulière

de _groupe de Galois

_Gl

...

Gr.

Le résultat clé de cette seconde

étape

est le Théorème d’existence de

_{Grothendieck,}

un

_analogue

non archimédien

des théorèmes GAGA de Serre.

Situation 4 :

_Espaces

de Hurwitz.

Dans cette

_section,

on fait varier les

_points

de ramification

_{t1, .. , tr.}

La

donnée

_{(t1, ...,}

_tr)

décrit la variété

_algébrique

notée

_Ur,

obtenue en enlevant

à l’ensemble de tous les

_r-uplets

_{(t1, ... ,}

_{tr) dont}

deux au moins des

composantes

sont

_égales.

Nous noterons

ur

la variété

_quotient

de Ur

par l’action du groupe

symétrique

Sr ;

la variété

ur

paramètre

les ensembles

de r

points

distincts de

P1.

Fixons un entier _r, un _groupe G et r classes de

_{conjugaison Ci,... ,}

Cr

du _groupe G. Et _pour

_{~tl, ... , tr}}

variant dans

_Ur,

_regardons

l’ensemble de toutes

(11)

les extensions

_galoisiennes

de

_K(T)

non ramifiées en dehors de

tl, ... , tr,

de groupe de Galois G et telles _{que, pour} i =

1, ... , r,

les

générateurs

canoniques

(cf.

"Structure _{des groupes} d’inertie"

_plus

_haut)

des _groupes d’inertie au dessus

de ti

soient dans

CUi’

_pour un certain o, E

Sr

ou, de

façon équivalente,

l’ensemble de tous

(12)

les G-revêtements de

_Pi

_(i.e.,

revêtements

_galoisiens

de

_Pi

de _groupe G donnés avec l’action de

_G)

non ramifiés en dehors de et tels

que, pour i =

1, ... ,

r et _pour un certain a _e

_Sr,

_CQ,

_soit,

à l’intérieur du

groupe de monodromie

G,

la classe de

conjugaison

des

cycles

de ramification

correspondant

à des lacets "tournant une fois autour de

ti".

D’après

un résultat fondamental de M. Fried

(e.g.

[Frl],[DFrl],[FrV]),

sous certaines

conditions,

on

_peut

mettre une structure

_algébrique

sur

l’ensemble des

_objets

_{(11) (ou}

_(12)).

De

_{façon plus précise,}

si G est un

groupe de centre

_trivial,

alors il existe une famille

algébrique

de revêtements

de

Pi

avec la

propriété

suivante :

(13)

les membres ou fibres de cette famille

_{TX -; P1,}

x e

_x,

en

(12).

L’espace

x est

_appelé

_espace de Hurwitz associé à la donnée

C =

(C1, ... , Cr) ;

_on le _note

quand

_{on veut}

indiquer

cette

dépen-dance.

_L’espace

de Hurwitz est défini sur Il si C est un

r-uple

.I1-rationnel

de classes de

_conjugaisons

de

_G,

_i.e.,

s’il est

_invariant,

à l’ordre

_près,

sous

l’élévation à la

_puissance

_{pour tout 7 e}

Aiç.

Et dans ce cas on a

THÉORÈME 7. Les

_propositions

suivantes sont

_{équivalentes}

~a~~(~i)~h

(b)

Il existe un G-revêtement comme en

(~2)

_qui

est défini sur Il.

(c)

Il existe une extension de

Il(T)

comme en

qui provient,

_par

extension des

_scalaires,

d’une extension

_galoisiennes

et

_régulière

de

_1«(T).

En

_particulier

0

~

Voici

_{quelques points}

concernant les _espaces de Hurwitz :

Ql

Les revêtements 1t --+ Ur et x’ --~ Il existe une flêche naturelle

~ --&#x3E;

ur

qui

envoie x E x sur l’ensemble des

_points

de ramification du

revêtement fibre

_{Pi ;}

c’est un

morphisme

[DFrl;Lemmal.5].

Notons

~-l’

le

_pull-back

de x au-dessus de

_{l’application}

naturelle On a

donc le

_diagramme

commutatif suivant :

Les deux flêches verticales sont des revêtements finis non ramifiés. On

_peut

décrire de

_façon

_explicite

les _{actions de groupes} associées à ces revêtements.

Sans rentrer dans les

_détails,

disons _{que les groupes} fondamentaux des

es-paces ur et

ur

sont bien connus : ce sont les

_"groupes

de tresses"

_d’Hurwitz,

des

_quotients

des _groupes des tresses d’Artin.

_Qu’il

existe une action

na-turelle de ces _{groupes de} tresses sur les ensembles

Et

_qu’alors

les deux revêtements verticaux de

₍₁₄₎

sont les revêtements

non ramifiés de ur et

ur

associés à l’action des _{groupes de} tresses sur

les ensembles

_quotients

de

₍₁₅₎

_par l’action du _groupe G. En

_particulier,

les espaces x et

H’

sont irréductibles si et seulement si ces actions sont

transitives. On trouvera

_plus

de détails dans

_[BFr],[Fr2]

ou

[FrV].

°

[2J

Cas

_{particulier: rigidité.}

Le revêtement

vertical

de droite en

(14)

est un revêtement de

degré

12::(CI,...,Cr)/GI.

Sous

l’hypothèse

(H3)

de

rigidité,

c’est donc un

_{isomorphisme.}

D’autre

_part,

sous

l’hypothèse

(H2),

il est défini sur

Q.

L’espace

H’

est donc dans ce cas un ouvert de

on retrouve le Th.2.

j 3J

Un autre cas de ra.tionalité.

Supposons

x’

irréductible. On

_peut

en

privilégiant

une des variables

_{t1, ..., tr,}

_par

exemple

_tl,

voir la flêche

?~’ -~

u~ comme une famille de revêtements de

_Pi

_paramétrée

_par les r - 1 autres variables. La ramification de ces revêtements est

_parfaitement

connue : ils

sont ramifiés aux

_points

_{t2, ...,}

_tr et les

_cycles

de ramification associés sont

donnés par des formules

explicites

dans un _groupe de tresses

_approprié

[BFr].

On _{peut donc calculer le genre}

_g(C)

de ces revêtements

_grâce

à

la formule de Riemann-Hurwitz. Dans certaines

_situations,

l’examen de la ramification _permet

_également

de conclure à l’existence

_générique

d’un

point

rationnel au-dessus d’un des

_points

de ramification

_t2,

..., tr. Si c’est

le cas et si le _genre est

_nul,

la variété

?’

est une variété

Il-rationnelle ;

en

particulier

x’(~~ ) ~

0.

Cette méthode a été utilisée _pour démontrer la

propriété

_RGalQ

_pour

plusieurs

groupes

simples,

en

particulier

_parmi

les _groupes

simples

spo-radiques

[Ma2].

Les calculs sont malheureusement très

_compliqués

et

néces-sitent même

_{parfois l’usage}

d’un ordinateur. Un _programme

_adapté

à ce

genre de calculs a été _{conçu par} Matzat.

La même méthode est utilisée dans

_[DFr2]

_pour étudier

_l’exemple

suivant.

Exemple.Le

groupe G est _{le groupe symétrique}

_sn

et r = 4. On se donne 3

générateurs (x1, a2, 0E3 d’ordre 2 de

_Sn

et on définit

_{Cl, ...,}

_C4

comme les classes de conjugaison dans

_S~,

des éléments Noter _que le _4-uplet

est dans l’ensemble

_{~ ( C1, ..., C4 )}

et _qu’il vérifie les formules (9) avec _pc = 1. Dans le cas où

H’

est une variété

Q-rationneiie,

cela permet de

con-clure à l’existence d’une extension _{galoisienne régulière}

_{E /Q(T)}

de _groupe

_Sn

ramifiée

en r = 4 _points rationnels et telle _que les extensions résiduelles

_Et/Q

soient totalement

réelles pour tout t dans un ouvert non vide de

_{Pl (R).}

Serre a montré dans

[Se2]

_que

pour r = 3 à la _place de r =

4,

_{seul le groupe}

S3

a cette _propriété. Nous avons calculé

le genre

_{g (C)}

pour divers choix des générateurs QI, Q2, 1 Ce3 et obtenu la

_{Q-rationalité}

n4

Points réels sur Les formules de

_type

(8)

fournissent des critères

d’existence de

_points

réels sur les

espaces li

et

71’.

On a ainsi

THÉORÈME

4 BIS.

_{x’(~8) ~ ~}

si et seulement s’il existe un

r-uplet

(gl,...,gr)

et un élément r, dans G vérifiant

(a~ (g1, ..., gr )

E pour un certain a E

Sr

(b)

Les éléments ~, sont d’ordre 2.

On connait de nombreux

_exemples

où et

_{~(~p) ~ ~}

_pour tout nombre

_premier

_p.

[La construction suivante a été _inspirée par

[Ha].

Soit G un _{groupe engendré par p}

éléments

_hl,

_...hp

d’ordre 2 _{(par exemple} un _{groupe simple} non _abélien). Pour tout

nombre _{premier p} et _pour i =

1, ..., p,

choisissons un polynôme

irréductible f

dans

Fp [T]

de _degré

_di

= i. Fixons _également un relèvement

.F’2

de

f

dans Z [T]

de même

degré que

f i.

Pour tout _{p, l’équation}

Y2 =

_{Fi(T)(Fi(T) - p)}

définit un revêtement

_{~i :}

:

Yi -’~

Pl

cyclique de _{degré 2,} défini sur

Qp.

Pour i =

_1,

..., r, l’ensemble

Rp’i

des _points de ramification de

_lfj

_comporte 2i _points, à savoir les zéros de = 0

et ceux de

Fi (T )

= _p. Par _{construction,} les ensembles =

1, ...,

r sont deux à deux _disjoints modulo _p. D’autre _part, modulo _p,

_Yi

éclate en deux _{composantes qui} s’envoient _{isomorphiquement} sur

Pl

_(avec la _terminologie de _[Ha], la réduction modulo

p du

_{revêtement 4bi}

est un "mock _{cover"). D’après [Ha;}

_Prop.2.2],

on _peut "coller

en-semble" les revêtements

_{Oj , 1}

=

_{l, ..., p.}

De _{façon précise,} il existe un G-revêtement

de défini sur

Qp,

ramifié en chacun des points de

_{U Rp,i}

et tel _que

(16) Pour tout i =

_1,

_{..., p,} et tout t E

hi

est un _{générateur "canonique"} d’un

groupe d’inertie au-dessus de t.

Notons _{pour tout} i =

1,

..., p, Ci

_{la classe de conjugaison} dans (~ de

_hi,

r l’entier

r =

p(p + 1)

et C ie r-uplet de classes de conjugaison de G:

Les classes . =

l, ...,

r étant rationnelles, l’espace 1i =

H( C)

est défini sur

Q.

La construction _précédente montre _que

_{H( Qp) -¡. 0}

_pour tout _{p. Quant} à l’existence de _{points R-rationnels} sur

x,

elle résulte du Th.4 bis.

Note. On a choisi

_di

= 2 _pour i =

_{1, ..., p,}

_{par souci de simplicité. En fait,} la construction marche de la même _façon si les _polynômes =

_{1, ..., p}

sont choisis irréductibles et distincts dans

_Fp[T].

_{On peut alors,} à

_{p 2:}

_{2 fixé, essayer} de minimiser

Notons

_np(d)

le nombre de _polynômes irréductibles de _degré d dans

_Fp[T].

On montre

sans _trop de difficultés _que, à d fixé,

_np(d)

croît avec _p. On _procède alors de la _façon suivante. On choisit les 2 =

n2 ( 1 )

_premiers

polynômes

de _degré 1. On _peut choisir

les suivants de _degré 2 si

_n2(1)

₊

_{n2 (2)}

= 4 &#x3E; _p; sinon on _prend les 2 suivants de degré 2, puis les suivants jusqu’à concurrence de

_n2(3)

=

7,

de _degré 3

_etc...]

j6J

Il _y a des

exemples

où

1t(Q) =

0.

[Reprenons

l’exemple du Th.5: G est _{le groupe diédral} G =

Dp

d’ordre

_2p,

r = 4 et

les _quatre classes

_{C1, ...,}

_C4

sont _égales à la classe de _{conjugaison C} de tous les éléments d’ordre 2 _{du groupe,} i.e., C = _{E D’après} le _Th.5, on a

0.

On notera _{pourtant que}

_{i~(~) ~ ~}

et

f~(d~.~) ~ ~

_pour tout f _{(cet exemple correspond}

au cas _p = 2 de la construction donnée en 5) _{pour lequel,} si on _procède comme dans la

note, on a r =

4).

La démonstration du Th.5 éclaire cet _{exemple :} on montre en fait

qu’il existe un _morphisme 1t --+

Xp(p)

de _l’espace de Hurwitz sur la courbe modulaire

(privée des _pointes) ainsi _qu’une section

_Ji,

tous deux définis sur

Q.

En

particulier, l’espace de Hurwitz U est irréductible et _pour tout _corps

_7~,

si

et seulement si

_{Xo(p)(K) 7É}

_0.]

Situation 5 : r

grand.

Le

_paramètre

r doit être choisi

_supérieur

au _rang

rg(G)

du groupe G.

Mais il

_{paraît raisonnable,}

au vu du Th.5 _par

_exemple,

de _{penser que, pour}

être sûr de trouver des

_{points Q-rationnels}

sur un _espace de Hurwitz

_x,

il faille

_prendre

r

beaucoup

_plus

_grand

_que

_rg(G).

Dans un article récent

[FrV],

M. Fried et H. Voelklein ont obtenu des résultats dans ce sens. Ils

s’appuient

sur le théorème

_suivant,

dû à J.H.

_Conway

et R.A. Parker

_[CP].

THÉORÈME

8. Soit G un _sous-groupe de

Sn

vérifiant les deux conditions

(1)

Le centralisateur

_{Censn (G)}

est trivial

_(en

_particulier

_{Z(G) = {1}~.}

(2)

Le groupe des

multiplicateurs

de Schur de G est

_"engendré

_par les commu tateurs ".

Il existe un entier b avec la

_propriété

suivante : si C est un

r-uplet

de

classes de

_conjugaisons

de G tel _que

(3~

chaque

classe de

_conjugaison

de G

_apparaît

au moins b fois dans C.

Alors

_l’espace

de Hurwitz est irréductible.

De

_plus,

si toutes les classes de

_conjugaison

de G

_apparaissent

le même nombre de

_fois,

alors

_l’espace

de Hurwitz

_1t(C)

est défini sur

4~.

On trouvera dans

_[FrV]

le sens

_précis

de la condition

_(2).

Les conditions

groupe fini est

_quotient

d’un _groupe

_qui

les satisfait. En

_{conséquence,}

à tout _groupe fini

_G,

on

_peut

associer une famille infinie F de variétés

7y,

irréductibles et définies sur

Q,

telles _que

(18)

Le groupe G a la

propriété

RGali,

s’il existe un

point

K-rationnel

sur l’une des variétés 1~ E .~.

Un _{corps l(} est dit Pseudo

_{Algébriquement}

Clos si toute variété

algé-brique

définie sur J( a des

_points

K-rationnels. On a donc

[FrV; Th.2].

COROLLAIRE _{1. Tout groupe} fini G a la

_propriété

RGalic

sur _{tout corps}

PAC K. Si de

plus

l( est

_hilbertien,

alors G a la

propriété

Gal¡(.

Les _corps PAC sont étudiés _par

_exemple

dans

_[FrJ].

Sont PAC les _corps

algébriquement

clos,

les extensions

_algébriques

de _corps

_PAC,

les extensions

algébriques

infinies de

_Fp.

De

₍₁₈₎

ou même du corollaire 1 se déduit

également

le résultat suiva.nt

_[FrV;§

_2.2].

COROLLAIRE _{2. Tout groupe fini} G a la

propriété

RGaIFp

_pour tout _p sauf

un nombre fini.

RÉFÉRENCES

[BFr] R. _Biggers and M. _Fried, Moduli _{spaces of} covers and the Hurwitz monodromy

group, J. für die reine und angew. Math. 335 (1982), 87-121.

[CP]

J.H. _Conway and R.A. Parker, On the Hurwitz number _{of arrays of group}

ele-ments. _Preprint

[DFr1]

P. Dèbes and M. Fried, Arithmetic variation _{of fibers,} J. für die reine und angew. Math 400 _{(1990), 106-137.}

[DFr2]

P. Dèbes and M. Fried, Non _rigid situations in constructive Galois theory. Preprint

[Fr1]

M. Fried, Fields of definition of function fields and Hurwitz families, Groups as

Galois groups, Comm. in Alg.,5 1 (1977), 17-82.

[Fr2]

M. Fried, Arithmetic _{of 3 and 4} branch _{point covers,} Séminaire de Théorie des Nombres _{Delange-Pisot-Poitou (1987-1988),} Birkhauser.

[FrD] M. Fried and P. Dèbes, Rigidity and real residue class _fields, Acta _Arithmetica, 56 _(1990).

[FrJ]

M. Fried and M. _Jarden, Field _{Arithmetic, Springer, Ergebnisse} 11 _(1986).

[FrV]

M. Fried and H. Volklein, The inverse Galois problem and rational _points on

moduli _{spaces,. Preprint.}

[Ha]

D. _Harbater, Galois _{covering of} the arithmetic _line, Proc. of the NY Number

[Hi] D. _Hilbert, Uber die Irreduzibilität ganzer rationater Funktionen mit ganzahligen

Koeffizienten, J. für die reine _{und angew. Math.} 110 _(1892), 104-129;

(=Gesam-melte _{Afhandlungen, Springer-Verlag (1983) [réimpression Chelsea,1965],} 2 _n°18,

264-286.

[Hur]

A. Hurwitz, Riemann’sche Flächen mit _{gegebenen Veizweigungspunkten,}

Math-ematische Werke, Band _I, 321-383.

[KN]

A. Krull and J. _Neukirch, Die Struktur der absoluten Galois _{gruppe über dem}

Körper R(T), Mathematische Annalen, 193 _(1971), 197-209.

[Mal]

B.H. Matzat, Konstruktive _{Galoistheorie,} LNM _{1284, Springer-Verlag.}

[Ma2]

B.H. Matzat, Uber das _{Umkehrproblem} der Galoisschen Theorie, Jber.d.Dt.

Math.-Verein,90 (1988), 155-183.

[Ma3]

B.H. Mazat, Zöpfe und Galoissche _Gruppen,. Preprint.

[Se1]

J.P. Serre, Points rationnels des courbes modulaires, Séminaire Bourbaki, 30ème

année, 1977/78 n°511.

[Se2]

J.P. _{Serre, Groupe} de Galois sur _Q, Séminaire _{Bourbaki, 1987/88} n°689.

[Se3]

J.P. Serre, Topics in Galois _theory, Course at Harvard _{University (Fall 1988),} Notes written _by Henri _{Darmon, preprint.}

[Sha]

I.R. _Shafarevich, Constructions _{of fields of algebraic} numbers with _given

solv-able Galois _groupe Izv. Akad. Nauk SSSR 18 _{(1954), 525-578(=Amer.} Math. Transl.4(1956),185-237;=C.P. 139-191)

[Shi1]

K.y. Shih, On the construction _of Galois extensions _{of function fields} and number fields, Math. Ann. 207 _(1974), 99-120.

[Shi1]

K.y. Shih, p-division points on certain _elliptic curves, Comp. Math. 36 _(1978),

113-129.

"Problèmes _{diophantiens"} Institut Henri Poincaré 75231 PARIS cedex 05