Sur deux groupes remarquables de lieux géométriques

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Submitted on 1 Jan 1900

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Sur deux groupes remarquables de lieux géométriques

E. Mathias

To cite this version:

E. Mathias. Sur deux groupes remarquables de lieux géométriques. J. Phys. Theor. Appl., 1900, 9

(1), pp.479-487. �10.1051/jphystap:019000090047901�. �jpa-00240463�

479

donne d’ailleurs à penser que le cinquième ^{chiffre est exact. On ne}

saurait en dire autant d’autres nombres cités par M. Dtifet dans ^son travail sur les ~.’o~m~t~zntf~s OlJllOques.

SUR DEUX GROUPES REMARQUABLES ^{DE LIEUX} GÉOMÉTRIQUES ;

Par M. E. MATIHAS.

§ 1 .

^{Dans son beau travail} expérimental ^{snr l’acide} carbonique (1),

M. Amagat a considéré, ^{dans le} plan ^des ty, 2~~, le lieu des points ^tels

que, pour ^un poids ^{total de} liquide, ^et de vapeur ^saturée égal ^à l’unité, ^{le volume du} liquide ^soit constamment égal ^{à celui de la}

vapeur. D’après ^{ce savant, ce} lieu serait rigoureusement ^une ligne

-droite presque perpendiculaire ^{à l’axe des abscisses}

^{Soient u,} it, .o~ 1’, 1), les volumes spécifiques, ^{les deux sortes de densités et la pres-}

sinon de la vapeur ^{saturée à} la température t°; le volume total relatif à l’égalité des volumes du liquide ^{et de la vapeur est :}

Exprimons que ^la droite qui joint ^le point ^{cy, 1-I au sommet K} (’4, cp) ^de la courbe de saturation a un coefficient angulaire ^{constant ;}

il 1 v ient :

-

S’il en était ainsi, l’élimination de 2 ^entre l’équation (2) ^et

celle du diamètre rectiligne

dans laquelle a ^{est le} coefficient angulaire ^de cliamË~tre, ~ - ~ ^{la don-}

o sité critique, ^{et 9 la} température critique absolne, ^donnerait l’expres-

sion de _p en fonction de la température ^{seule eu des} constantes cri- (1) ^E.-II. ~w~.~T, ^{J. de} PhY8., ^3~ série. t. l, p. 288:

1892.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019000090047901

480

tiques ^{r, 0 et A,} expression d’où l’on tirerait des relations nouvelles d’une importance capitale ^pour l’étude des fluides saturés. Je me pro- pose ^Je démontrer, ^au con traire, que ^{le lien} conaüdé~°ce~~zr ^{j1J. Ama--} gat ^{est une courúe} constamrnent c~o~zZ~exe vers l’axe des abscisses, qui

est la seule des courbes définies ^{par la constance du} raplJOr’l ^des voTuJn-3s du liquide ^et de Z« Z,c~peur coul)aul la courbe de saturation

au ~~>inG critique ^{sou s}

angle fini.

En effet, ^le coefficients angulaire ^{de la} tangente ^{au lieu considéré,}

est :

01~, ^{en vertu de} (3), ^{on a :}

d’o ii :

L’expression (~/ ^montre que 2013 est constamment positif ; ^{à tem-} pérature suffisamment basse, 2013 _{tend vers zéro en même temps que}

dv

dp ; à ^la température critique ^{on a :}

dt

le lien considéré rencontrant la courbe de saturation sous un angle

fini.

§ ^2.

^Formons 111maintenant le ~~ ~; ; ^{* comme il s’agit} de fluides

d2~-

saturés, ^{toutes les} quantités ^sont exclusivement fonctions de la tem-

pérature, ^{d’où :}

Cumme d~ ^{est toujours fini et positif, les points} c~’inflexion du

cl p

1

481 lieii considère seront duiinés _par

Tout calcnl fait, ^{on tire de} (4)’ ^{la relation} (6,1 :

Si l’on remarque que le premier ^{facteur est} toujours différente de zéro

et que l’on ^{a :}

fi étant une constante bien connue, voisine de un dans un grand

nombre (te _cas, il vient etlfin :

relation qui peut S~ 111ettra sous la forme :

~r ~ ~ ~ ^{est ~} voisin de _u~2; lorsque ^{’l’ croît el,}

a extrêmement voisin de _~~; lorsque ^{T croît d’une} façon ^continue jusqu’à ^8, le second membre de (7), toujours positif.

va sans cesse en diminuant jusqu’aux ^environs de ~ ~ C.011~11~eI1i ^varie,

.

dans ces conditions, ^la fonction de la température représentée par ^le

premier membre ? On peut ^{le voir de deux} façons : ^la première ^{et la} plus naturelle consiste à suivre la variation de la fonction considérée

sur un corps particulièrement bien étudié ; dans le cas de 1’/ie.;a>ie

normal, étudié par ~1. S. Young ~’ ~, ^{on trouve ainsi :}

______ ~ _ _ __~_~- _ ~ ~ ~---~-

~1) ^S. YOUNG, ^l’~°c~ns. af’. ^{the Chem. Soc., 1H9J.}

482

~ , ., ^.

! .)

Par conséquent, l’expression 7p ^E dl ^{cl~ clG= / y.7 est une fonction toujours}

croissante de la température ^et toujours positive; pour les ^très petites

valeurs de la pression, la fonction considérée ^a des valeurs de

quelques ^centièmes seulement, qui augn1entent ^{à peu} près ^linéaire-

ment avec la température. Lorsqu’on ^se rapproche ^{de la} tempéra-

ture critique, l’augmentation ^se ralentit de plus ^en plus, la fonction

tendant, pour la température critique, ^{vers un} maximum absolu voi- sin de 0,176, ^{dans le cas} de l’liexane normal.

On peut ^encore étudier l’allure de la fonction au moyen de la for- mule de J. Bertrand à trois constantes :

qui donne :

Le second membre de (8) ^{est une} fonction de la température ^tou- jours croissante. Dans le cas de l’acide carbonique ^{on a} (i) :

Au point critique :

(1) ^J. BERl’RA~O, T~teoy~2ocl~~iarnzque, p. 1.63.

483 On peut ^donc affirmer que, le premier ^{membre de} l’équation B7)

étant toujours plus petit que 0,30, tandis que le second membre est

toujours plus grand ^{que 0,50,} l’équation ^n’est jamais satisfaile : le lieH co~~~e n’a d»ie pas de point ~’~/7ë~’~~, ~ ~of~f r,eLenG angu- laire allant toujours ^en er~~zssc~~zt ~~~ee lc~ ~~~A~~~re.

~ ^3.

Lorsque ^la pression ^{tend vers zéro, u’ croit} indéfiniment ; (1) donne alors :

D’après ^la Ioa CZz~ tz~os de la densité, cela devient :

Sur la (ig. 1, ^{on a :} OK’-- ~,, ^OH ---- ~ ^{- 3 c~, OI ?l} -= ~ 1’; ^{3 Il est l’eztro-}

I’ ’ I(~. 1.

mité de la courbe de saturation du côté du liquide, le lieu considéré par M. Amagat ^{ayant la forme IK. Sur une très} grande étendue, ^ce

lieu est extrêmement rapproché ^{de sa} tangente ^au point critique ^{KT ;}

on s’explique ^{donc très bien comment, en restant au} voisinage ^du point critique (entre ^{0° et} 3 i °~, ^1VI. Amagat ^a, ~~ar construction gr·cc-

~~hique. ^{identifié ce lieu avec une} droite presque perpendiculaire ^à

l’axe des abscisses.

§ ^{4. Parmi les} courbes de titre constant, c’est-à-dire telles que, pour ^un poids ^{total du} liquide ^et de la vapeur égal ^{à l’unité, le} poids

de la vapeur soit constant, ^{il en est une et une seule} qui ^rencontre

484

la courbe de saturation sous un angle ^fini; c’est celle tp1Î corresp>ii1

à des poids égaux ^dru liquide ^{et de} la vapeur (1 ~.

Il est remarquable qn’elle ^aussi ait pour coefficient angulaire ^{de la} tangente ^au point critique :

c’est-à-dire qu’elle ^soit tangente ^{au lieu} considère par ^1B,I. Amagat.

La fig. ¹ donne la forme du lieu I~L obtenu ainsi et qui ^a pour

, ! 1/ ^,

,

coordonnées _p et v’ on ^trouve alsen1ent que ^le coefficient

angulaire ^{de la} tangente ^{à ce lieu, d’abord} positif

point critique,

croît d’abord et arrive u fl- ^{~c , un} peu au-dessous de la température criticlue : ^-. il passe alors de +

^a

^{et continue à croître} alg>é>- briquement jusqu’à ^zéro, lorsque ^la pression ^{décroît sans cesse.}

§ 5..-- Les lienx IiI et l(L sont tangents, ^{en It, à un troisième} lieu ; ^en effet, des équations

on tire

Le lieu qui ^a pour coordonnées ~~, ^{?~ , étant} compris ^{entre les}

lieux (1), v) ^et (p, 2~’~ ^{en vertu de} (9; , admet nécessairement leur tan-

gente commune en li, ^ainsi qu’on peut ^{s’en assurer} par ^un calcul direct. On verrait de même que ^ce lieu NN’I ^{a une} forme tout a fait semblable ii celle de K1..

La double relation (H 1, ^{ton vertu de} laquelle l’abscisse du lieu lil~I est, _pour ^{une même valeur de la} pression, la moyenne géométrique

des abscisses de KI et 111.~ d’une part, des abscisses des branches 1(1-1 et KG de la courbe de saturation d’autre part, ^{conduit à une cons-} truction géométrique simple des lieux KI et KI,, quand ^on suppose

connus la courbe de saturation et le diamètre Kil conjugué ^{de ses.}

cordes horizontales.

Menons, ⁰ⁿ effet, ^une parallèle ^PAB à l’axe des abscisses, qui ^ren-

contre en C le diamètre KL. Sur PC comme diamètre, construisons

une circonférence et, ^du point ^{C comne centre avec AC} pour rayon décrivons une autre circonférence qui coupe ^la première ^au point ^{l~ :}

(1; E~.~w ~o, ^{J. de} 1’hys., ^:3’ >’i’i>. l, f, p. ^{461 :} ’18n~.

485 zivec P pour ^{centre et} PF pour rayon, décrivons une circonférence

qui ^{coupe PAB en E et} projetons ^{F en D ; les} points ^{D e[ l~ sont les} points ^{des lieux KI et I131} qui correspondent ^{â UP = 1).}

Fi,. 2.

~’, n c~ 1’~c~ t , ~ I c ~ ~ ~ ~ m t i ~’ f ~ :

flr dans le triangle rectangle ^{PFC on a :}

d’oit

1)~aiiii,i> part. ^{un a}

d’en

§ ^G.

^On peut ^{tracer dans le} plan de la cour’oe des densités des

lignes qui ^{ont la} plus ^étroite analogie ^{avec les lieux} KL, ^{KI et KM de}

la fig. ^{1. La courbe} des densités est l’analogue ^{de la courbe de satu-}

~, --~ ^r-~,

ration ; ^{le diamNre} rediligne, y =~ ~j ~ ~~~ ^{est le lieu des points tels}

que l’ordonnée ^est la densité moyenne d’un mélange ^de liquide ^{et de}

vapeur, lorsque ^{ceux-ci ont} leurs volumes égaux.

486

9""

Quant ^{au lieu .~y} - 0 1 -t- ~, , ^{son ordonnée} donne, pour chaque ^valeur

o

-t- ⁶

de 1, la densité moyenne d’un mélange ^de liquide ^et de vapeur, iels _{que les} poids ^du liquide ^et de la vapeur ^sont égaux.

Or les deux derniers lieux sont tels que l’on ait

en désignant par ^x~ l’ordonnée d’un nouveau lieu géométrique qui

a, ^avec les précédents ^et avec la courbe des densités, ^{les mêmes}

relations que les lieux KL, I~I et 1(1B’1 de la (ig. 1 ont entre eux et

avec la courbe de saturation.

Fic.3.

Les relations (10), identiques ^{aux relations} (9), prouvent que la construction géométrique ^{relative aux abscisses de la} ~g~. ~ s’ap- plique ^aux ordonnées de la flg. 3. ^{Il est en outre, très facile de démon-}

trer directement que les lieux dont les ordonnées sont et .~ sont

tangents ^{au diamètre} rectiligne ^{à la} température critique.

-

En effet, pour le premier, ^{on a :}

La parenthèse ^{p a} évidemment même limite que ^q dl ’ ⁺ dt ’ ^{- ~~‘ ’}

comme x et ~ ont pour limite commune.1, ^on a, à la température ^cri-

ti que,

487 On _a, d’autre part,

A la température critique, ^{on a}

SUR LE RETARD DE DÉCHARGÉ;

Par M. R. SWYNGEDAUW.

Histo~°z ~ZCe.

^En général, lorsqu’on ^{établit entre les} pôles ^d’un

excitateur une différence de potentiel ^{donnée, ou bien} l’étincelle éclate aussitôt ou elle n’éclate jamais.

, M. ^Jaumann ~") ^{a montré} que, ^dans certains _cas, si la différence de potentiel ^est cornprise ^{entre certaines limites,} l’étincelle n’éclate pas aussitôt, ^{mais au bout} d’un certain temps, appelé ^{retard de} décharge.

Ce retard est d’autant plus grand que la différence de potentiel

est plus petite ; ^le plus grand retard observé est de quatre ^ou cinq

minutes.

Un excitateur, d’après ^1~’I. Jaumann, peut ^{donc se} décharger ^avec

des retards variables pour ^une infinité de potentiels compris ^entre

deux limites V et ~’’ ; pour les potentiels inférieurs à V, l’étincelle

n’éclate jamais ; ^{le retard est} infini. Pour les potentiels supérieurs ^à YB

elle éclate toujours ^{avec un} retard nul. Si ^on appelle respectivement

Y et V’ les potentiels explosifs statique ^et dynamique ^de l’excitateur,

on peut dire que, s’il y ^a retard, ^V lue potentiel explosif statique

est plus petit que le potentiel dynamique.

M. Warburg ^a comparé ^les retards à l’obscurité et à la lumière ultra-violette.

Il a mesuré les potentiels explosifs statique ^et dynamique ^{V et V’}

d’un même excitateur pour ^une charge ^durant quatre ^ou cinq ^mi-

nutes et une charge ^{d’une très} petite fraction de seconde.

La charge lente s’obtient en diminuant la capacité d’un condensa- teur en communication avec les pôles ^de l’excitateur.

(1) ^1-Vied. Ann., ^t. LV, p. 658.