Contr d’Alg 2 2010-11

(1)

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2010/11

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMA-SMI

Département de Mathématiques

Contrôle d’algèbre 2

durée: 3h

Tous les résultats doivent être justifiés .

Exercice 1 :

( 7 points )

Résoudre le système d’équations linéaires suivant :

∑

_

2x  3  2y  3  2z  3  2t  2 _{ 2 − 4}

2x  4  4y  4  4z  3  6t    22

x  y  z  t  

Exercice 2 :

( 4 points )

Pour tout entier naturel n ≥ 2 on note par Δn l’application de Rn vers R définie par :

∀a1, a2, . . . , an ∈ Rn : Δna1, a2, . . . , an 

0 . . . 0 a1

. . . a2 0

. . . .

an . . . . 0 0

On note parΔ1 l’identité de R ( c’est à dire : ∀a ∈ R : Δ1a  deta  a

1) Soita1, a2, . . . , an ∈ Rn .

a) CalculerΔna1, a2, . . . , an pour n  1 , pour n  2 et pour n  3 .

b) Montrer que si n ≥ 2 alors : Δna1, a2, . . . , an  −1n−1Δn−1a1, a2, . . . , an−1an

2) En déduireΔna1, a2, . . . , an en fonction de a1, a2, . . . , an

( pour tout entier naturel non nul n ∈ Net pour tous les nombres réels

a1, a2, . . . , an ∈ R )

3) En déduireΔ5−2, 5, −1, 3, 3

(2)

Exercice 3 :

( 9 points )

Soit un nombre réel donné , u l’endomorphisme de R3 dont la matrice A

par rapport à la base canonique B de R3 _{est définie par :}

A 

 2 −4

0  −1 −1 1 

1) Trouver les vecteurs : e₁′  , 1,  , e₂′  ′, 1,′ , e3′  

′′

, 0,′′ _{de R}3 tels que :

ue1′    2 e1′, u e2′   − 1e2′ et u e3′   − 1 e3′ − e2′

2) Montrer que le système B′  e1′, e2′, e3′ est une base de R3 .

3) En déduire la matrice A_′  Mu, B′ de u par rapport à la base B′ .

( sans utiliser les matrices de passage )

4) En déduire une base de Imu , le rang de u , dimkeru et une base de keru

celon les valeurs de

5) Donner la matrice de passage P de B à B′ . 6) Calculer l’inverse P−1 de P .

7) Retrouver la matrice A_′ en utilisant la matrice de passage P de B à B′ . 8) i) Donner A1′ et calculer : A1′

2

et A1′ 3

.

ii) En déduire par recurrence la matriceA₁′n pour tout entier n ≥ 2 . 9) En déduire la matriceA1n pour tout entier n ≥ 2 .