Université Sidi Mohamed Ben Abdellah
Année Univ.2010/11
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz
SMA-SMI
Département de Mathématiques
Contrôle d’algèbre 2
durée: 3h
Tous les résultats doivent être justifiés .
Exercice 1 :
( 7 points )
Résoudre le système d’équations linéaires suivant :
∑
2x 3 2y 3 2z 3 2t 2 2 − 4
2x 4 4y 4 4z 3 6t 22
x y z t
Exercice 2 :
( 4 points )
Pour tout entier naturel n ≥ 2 on note par Δn l’application de Rn vers R définie par :
∀a1, a2, . . . , an ∈ Rn : Δna1, a2, . . . , an
0 . . . 0 a1
. . . a2 0
. . . .
an . . . . 0 0
On note parΔ1 l’identité de R ( c’est à dire : ∀a ∈ R : Δ1a deta a
1) Soita1, a2, . . . , an ∈ Rn .
a) CalculerΔna1, a2, . . . , an pour n 1 , pour n 2 et pour n 3 .
b) Montrer que si n ≥ 2 alors : Δna1, a2, . . . , an −1n−1Δn−1a1, a2, . . . , an−1an
2) En déduireΔna1, a2, . . . , an en fonction de a1, a2, . . . , an
( pour tout entier naturel non nul n ∈ Net pour tous les nombres réels
a1, a2, . . . , an ∈ R )
3) En déduireΔ5−2, 5, −1, 3, 3
Exercice 3 :
( 9 points )
Soit un nombre réel donné , u l’endomorphisme de R3 dont la matrice A
par rapport à la base canonique B de R3 est définie par :
A
2 −4
0 −1 −1 1
1) Trouver les vecteurs : e1′ , 1, , e2′ ′, 1,′ , e3′
′′
, 0,′′ de R3 tels que :
ue1′ 2 e1′, u e2′ − 1e2′ et u e3′ − 1 e3′ − e2′
2) Montrer que le système B′ e1′, e2′, e3′ est une base de R3 .
3) En déduire la matrice A′ Mu, B′ de u par rapport à la base B′ .
( sans utiliser les matrices de passage )
4) En déduire une base de Imu , le rang de u , dimkeru et une base de keru
celon les valeurs de
5) Donner la matrice de passage P de B à B′ . 6) Calculer l’inverse P−1 de P .
7) Retrouver la matrice A′ en utilisant la matrice de passage P de B à B′ . 8) i) Donner A1′ et calculer : A1′
2
et A1′ 3
.
ii) En déduire par recurrence la matriceA1′n pour tout entier n ≥ 2 . 9) En déduire la matriceA1n pour tout entier n ≥ 2 .