112 CHAPITRE 4
I
Le mouvement en deux dimensions•t�Niiiii-i+tf Rn
L'acceleration d'une particule en mouvement circulaire uniforme II faut se rappeler que, en physique, l'acceleration est definie comme une modification du vecteur vitesse, et pas necessairement comme une modification de la grandeur de la vitesse (d'une maniere contraire a l'usage courant du terme). Dans le cas d'un mouvement circulaire, le vecteur vitesse change de direction, de sorte qu'il y a effectivement une acceleration.
4.4 Un modele d'analyse: la particule en mouvement circulaire uniforme
La figure 4.15 a) montre une voiture en mouvement sur une trajectoire circulaire: c'est ce qu'on appelle un « mouvement circulaire ». Si la voiture maintient ce mouvement a une vitesse de intensité constante v, ii s'agit alors d'un mouvement circulaire uniforme.
Puisqu'on le rencontre souvent, ce type de mouvement est considere comme un modele d'analyse, celui de la particule en mouvement circulaire uniforme. Cette section presente !'analyse de ce modele.
Les etudiants sont souvent etonnes d'apprendre qu'un objet subit une acceleration lorsqu'il est en mouvement a vitesse constante sur une trajectoire circulaire. C'est en se basant sur la definition de !'acceleration, a= dv /dt (voir ]'equation 4.5) que la ques
tion est clarifiee. On constate _ que I 'acceleration est liee au changement de la vitesse.
Puisque la vitesse est une grandeur vectorielle, une acceleration peut faire varier la vitesse de differentes fac;:ons, comme on le mentionne a la section 4.1 : une acceleration peut faire varier la grandeur cie la vitesse ou sa direction, ou Jes deux. Lorsqu'un objet est en mouvement a vitesse constante sur une trajectoire circulaire, seule la direction de la vitesse varie. Le vecteur vitesse a une grandeur constante et est toujours tangent a la trajectoire de l'objet et perpendiculaire au rayon de la trajectoire circulaire.
On va maintenant voir que le vecteur acceleration dans un mouvement circulaire uniforme est toujours perpendiculaire a la trajectoire et est toujours oriente vers le centre du cercle. Si ce n' etait pas le cas, une composante de I 'acceleration serait paral
lele a la trajectoire et done au vecteur vitesse. La presence de cette composante de
!'acceleration entrainerait une modification de la grandeur de la vitesse de la particule sur la trajectoire. Une telle eventualite contredirait cependant la description de la situation initiale: la particule est en mouvement a vitesse constante sur la trajectoire.
Ainsi, dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, le vecteur acceleration peut uniquement_avoir une composante perpendiculaire a la trajectoire, c'est-a-dire orien
tee vers le centre du cercle.
Determinons maintenant l'intensité de I 'acceleration de la particule. La figure 4.15 b) presente le diagramme des vecteurs position et vitesse. Elle montre egalement le vecteur representant le changement de position /tr durant un intervalle de temps arbitraire. La particule suit une trajectoire circulaire de rayon r, dont une partie est illustree par la courbe en pointille. La particule est a ® au temps t;, et sa
vitesse ace temps est v;; elle se trouve a@ a un temps ulterieur 1, et sa vitesse ace
4!4'i@IF•
a) Une voiture en mouvement sur une trajectoire circulaire
a
vitesse constants est dite « en mouvement circulaire uniforms». b) Lorsqu'une particule est en mouvement sur une partie d'une trajectoire circulaire, de® a@, son vecteur vitesse passe de Ii; av,. c) Le procede servant
a
determiner la direction de la variation du changement de vitesse ,1.v, qui est oriente vers le centre du cercle pour une petite valeur de ,1.f.
m m ll
4.4 I Un modele d'analyse: la particule en mouvement circulaire uniforme 113
temps est alors v1 . On pose aussi que v; et v1 ne different que par leur direction, leur intensité etant la meme (c'est-a-dire que v; = v1 = v, puisqu'il s'agit d'un mouvement circulaire uniforme).
Dans la figure 4.15 c), les vecteurs vitesse illustres a la figure 4.15 b) ont ete joints par leur point de depart respectif. Le vecteur !:l.v relie les pointes des vecteurs et repre
sente !'addition de vecteurs v1 = 'v; + !:l.v. Dans les figures 4.15 b) et 4.15 c), on peut identifier des triangles qui facilitent !'analyse du mouvement. L'angle !:l.() que forment les deux vecteurs position clans la figure 4.15 b) est identique a celui que forment les vecteurs vitesse clans la figure 4.15 c), parce que le vecteur vitesse v est toujours per
pendiculaire au vecteur position r. Ainsi, les deux triangles sont semblables (deux triangles sont <lits « semblables » lorsque I 'angle forme par deux cotes quelconques est le meme clans les deux triangles et que le rapport des longueurs de ces cotes est le meme). On peut maintenant formuler un rapport entre les longueurs des cotes des deux triangles apparaissant clans les figures 4.15 b) et 4.15 c) :
11!:l.vll IIMII
V T
ou v = v; = v1 et r = r; = rf" On isole 11!:l.vll et on substitue une expression clans !'equa
tion 4.4, amoy = !:l.v / !:l.t, ce qui donne la grandeur de I 'acceleration moyenne durant l 'in
tervalle de temps pour que la particule passe de @ a ®:
Ila moy II= 11!:l.vll 11!:l.tll = vll!:l.rllr !:l.t
On suppose maintenant que les points @ et ® clans la figure 4.15 b) deviennent extremement proches l 'un de l 'autre. A mesure que @ et ® se rapprochent l 'un de l'autre, !:l.t se rapproche de zero, 11!:l.rll se rapproche de la distance que la particule a parcourue sur la trajectoire circulaire, et le rapport 11!:l.rll/ !:l.t se rapproche de la vitesse v.
En outre, !'acceleration moyenne devient !'acceleration instantanee au point®· Ainsi, clans la limite !:l.t � 0, la grandeur de !'acceleration est:
•&Nitii+Hll!tz
: L'orientation de !'acceleration
.
centripete n'est pas constante On vient de determiner la gran·
deur de l'acceleration centripete, qui s'avere constante dans un mouvement circulaire uniforme, mais le vecteur acceleration cen·
tripete n'est pas constant. II est toujours oriente vers le centre du cercle, done sa direction change continuellement pendant le mou
vement de l'objet sur sa trajec·
toire circulaire.
• ... .
i,;l
� (4.14) � Acceleration centripete
Une telle acceleration est denommee acceleration centripete (« centripete » signifie
« qui tend vers le centre»). L' in dice c accompagnant le symbole de I 'acceleration indique qu'il s'agit d'une acceleration centripete.
Dans maintes situations, il est utile de decrire le mouvement a vitesse constante d 'une particule sur un cercle de rayon r en fonction de la periode T, qui est defi
nie comme l'intervalle de temps correspondant a une revolution complete de la par
ticule. Durant l'intervalle de temps T, la particule parcourt une distance de 2nr, qui est egale a la circonference de la trajectoire circulaire de la particule. Ainsi, puisque sa vitesse est egale au resultat de la division de cette circonference par la periode, soit v = 2nr/T, il s'ensuit que:
(4.15) � Periode du mouvement circulaire
On utilise les equations 4.14 et 4.15 lorsque le modele de la particule en mouvement circulaire uniforme est considere comme celui qui correspond a une situation donnee.
∆s
114 CHAPITRE 4 1 Le mouvement en deux dimensions
=
R
Une particule est en mouvement à une vitesse v sur une trajectoire circulaire de rayon r. Elle acquiert ensuite une vitesse égale à 2v tout en parcourant la même trajectoire circulaire. Répondez aux questions A et B en choisissant l'une des réponses proposées.
A. Par quel facteur l'accélération centripète de la particule a-t-elle changé?
B. Par quel facteur la période de la particule a-t-elle changé?
b) 0,5 c) 2 d) 4 e) Il est impossible de le déterminer.
L'ACCÉLÉRATION CENTRIPÈTE DE LA TERRE
Quelle est la grandeur de l'accélération centripète de la Terre sur son orbite autour du Soleil?
La conceptualisation
À l'aide d 'une image mentale représentant la Terre sur une orbite circulaire autour du Soleil, on peut modéliser la Terre sous la forme d'une particule et considérer que l'orbite de la Terre est à peu près circulaire (en fait, cette orbite est légèrement elliptique, comme on peut le voir dans le chapitre 13).
La catégorisation
L'étape de conceptualisation permet de catégoriser cette situation comme un problème relatif à une particule en mouvement circulaire uniforme.
L'analyse
On ne connaît pas la vitesse orbitale de, la Terre à substituer dans l'équation 4.14. À l'aide de l'équation 4.15, on peut toutefois réécrire l'équation 4.14 en fonction de la période de l'orbite de la Terre, qui est d'une année, et du rayon de l'orbite de la Terre autour du Soleil, qui est de 1,496 X 1011 m.
On combine les équations 4.14 et 4.15: a _ - - - -v2 _
(2nr) T
2_
4n2-2rc r r T
On substitue les valeurs numériques: a=4n(l,496xl0 m)
2
li ( lan)2
= 593 x l0-3 m/ s2c (lan)2 3,156xl07 s '
La finalisation
Cette accélération est beaucoup plus faible que l'accélération en chute libre à la surface de la Terre. Un important procédé est utilisé ici: on remplace la vitesse v dans l'équation 4.14 par un équivalent fondé sur la période T du mouvement. Dans de nombreux problèmes, c'est souvent la valeur de Tqui est connue plutôt que celle de v.
4.5 L'accélération tangentielle et l'accélération radiale
On examine maintenant un mouvement plus général que le mouvement présenté dans la section 4.4. Une particule est en mouvement vers la droite sur une trajectoire incur- vée, et sa vitesse change en direction et en grandeur, comme l' illustre la figure 4.16.
Dans une telle situation, le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire, mais le
