Travaux Dirigés n°3

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Université Paris Dauphine Département MIDO

Master 1 – Méthodes de Monte Carlo

2021–2022

Travaux Dirigés n°3

Exercice 1. On s’intéresse dans cet exercice à l’influence des queues de distribution de la loi d’importance dans un contexte simple. Supposons que l’on souhaite estimer l’espérance de la loiN(0 , 1). On considère pour loi d’importance la loiN¡

0 ,σ²¢ ,σ>0.

1. Donner la variance de l’estimateur d’échantillonnage préférentiel en fonction deσ.

2. Pour quel choix deσobtient-on l’estimateur d’échantillonnage préférentiel de variance minimal ? 3. En choisissant cette valeur optimale plutôt queσ²=1, de combien réduit-on la variance ?

Exercice 2(Variables antithétiques). On cherche à calculerE[Φ(Z)], avecZ=(Z1, . . . ,Zd) und-uplet de variables aléatoiresi.i.d.suivant la loiνetΦ:R^d→Rune fonction mesurable croissante en chacune de ses coordonnées telle queE£

Φ²(Z)¤

< +∞. Dans la suite on se donne¡ Z⁽ⁿ⁾¢

n≥1=¡

Z₁⁽ⁿ⁾, . . . ,Z_d⁽ⁿ⁾)n≥1

une suite de variables aléatoiresi.i.d.suivant la loi deZ. On note l’estimateur de Monte Carlo classique

δb⁽¹⁾n = 1 n

Xn i=1

Φ³ Z⁽ⁱ⁾´

= 1 n

Xn i=1

Φ³

Z₁⁽ⁱ⁾, . . . ,Z_d⁽ⁱ⁾´ .

SoitΨ:R^d→Rune fonction mesurable décroissante en chacune de ses coordonnées telle queΦ(Z1, . . . ,Z_d) etΨ(Z1, . . . ,Z_d) ont même loi. On souhaite montrer que l’estimateur

δb⁽²⁾n = 1 2n

n

X

i=1

Φ¡ Z⁽ⁱ⁾¢

+Ψ¡ Z⁽ⁱ⁾¢

= 1 2n

n

X

i=1

Φ¡

Z₁⁽ⁱ⁾, . . . ,Z_d⁽ⁱ⁾¢ +Ψ¡

Z₁⁽ⁱ⁾, . . . ,Z_d⁽ⁱ⁾¢

est plus efficace (en terme de réduction de variance) que l’estimateurδb⁽¹⁾n en procédant par réccurence surd. Le résultat dans le cas de la dimensiond=1 a déjà été établi dans le cours. L’objectif est donc de montrer que pour toutd>1,

Cov[Φ(Z),Ψ(Z)]=Cov[Φ(Z1, . . . ,Z_d),Ψ(Z1, . . . ,Z_d)]≤0. (1) On suppose dans la suite que (1) est vérifiée au rangd−1.

1. Montrer que

Λ : R → R

x 7→ E[Φ(Z1, . . . ,Z_d−1,x)], et Γ : R → R

x 7→ E[Ψ(Z1, . . . ,Z_d−1,x)], sont respectivement croissantes et décroissantes surR.

2. En déduire queE[Λ(Zd)Γ(Zd)]−E[Λ(Zd)]E[Γ(Zd)]≤0.

3. Montrer queE[Φ(Z)Ψ(Z)]−E[Λ(Zd)Γ(Zd)]≤0, et en déduire le résultat au rangd.

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TD n°3 Méthodes de Monte Carlo

4. Comparer les estimateursδb⁽¹⁾n , etδb⁽¹⁾_2navecδb⁽²⁾n .

¦ Travail personnel ¦

Exercice 3. SoitXune variable aléatoire de loiN¡ µ,σ²¢

etK une constante réelle. On s’intéresse au calcul de

p:=P£

e^X ≥K¤ .

1. Montrer que pour tout réelm p=E

· exp

½2m(X−µ)−m² 2σ²

¾

1_{e^X⁻^m≥K}

¸

2. En déduire un estimateur d’échantillonnage préférentiel pour le calcul depet suggérer une valeur dem.

3. En utilisant une loi de support [lnK,+∞[, quel autre estimateur d’échantillonnage préférentiel auriez- vous pu proposer ?

Exercice 4. On suppose queZest un vecteur gaussien de loiN(0d,Id) etΦune fonction monotone en chacune de ses coordonnées et bornée. En vous appuyant sur le résultat de l’Exercice 2, proposer une méthode d’estimation deE[Φ(Z)].

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