1S1 Devoir n° 3 Surveillé mercredi 10 octobre 2012

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Exercice 1 : 5 points

Soientf etgles fonctions définies surRparf(x) =−2(x+ 4)²+ 6 et g(x) = (x−3)²−4.

1. Dresser le tableau de variation des fonctionsf etg.

2. Résoudre, dansR, les équationsf(x) =−2 ;f(x) = 6 ;g(x) = 0 etg(x) =−6.

Soienthla fonction définie surRparh(x) =−3x²+ 6x+ 9.

1. a. Démontrer que la forme canonique deh(x) esth(x) =−3(x−1)²+ 12.

b. En déduire la factorisation deh(x).

2. Choisir judicieusement parmi les expressions deh(x) pour résoudre, en justifiant les calculs, les équations suivantes : a.h(x) = 9 ; b.h(x) = 12 ; c.h(x) = 0.

3. a. Construire sur le même graphique ci-dessous la courbeC représentative dehet la droiteDd’équationy= 6x−3.

b. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection deC etD.

On sait qu’une paraboleP d’équationy=ax²+bx+cpasse par les points A(0 ; 7), B(1 ; 5) et C(−2 ; 29).

1. Écrire, en justifiant chaque équation, un système de trois équations d’inconnuesa,b et c traduisant le fait que les points A, B et C appartiennent à la paraboleP.

2. Résoudre ce système.

En détaillant les calculs, déterminer la mesure principale des mesures ci-après et placer sur un cercle trigonométrique les points associés à ces nombres.

2791π; 113π

3 ; −91π

4 ; 941π

6 ;

10

1

Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré 1

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1S1 Corrigé mercredi 10 octobre 2012

1. Tableaux de variation des fonctionsf etg.

x −∞ −4 +∞

f(x) =−2(x+ 4)²+ 6

−∞

6

@@

@ R

−∞

x −∞ 3 +∞

g(x) = (x−3)²−4 +∞@

@@R

−4

+∞

2. f(x) =−2⇔ −2(x+ 4)²+ 6 =−2⇔ −2(x+ 4)²=−8⇔(x+ 4)²= 4⇔x+ 4 = 2 oux+ 4 =−2. D’où S ={−2;−6}

f(x) = 6⇔ −2(x+ 4)²+ 6 = 6⇔ −2(x+ 4)²= 0⇔(x+ 4) = 0⇔x=−4. D’où S ={−4}

g(x) = 0⇔(x−3)²−4 = 0⇔(x−3−2)(x−3 + 2) = 0⇔(x−5)(x−1) = 0⇔x= 5 oux= 1. D’où S ={1;5}

g(x) =−6⇔(x−3)²−4 =−6⇔(x−3)²=−2 D’où S =∅.

1. a. Forme canonique deh(x) :h(x) =−3x²+6x+9 =−3(x²−2x)+9 =−3[(x−1)²−1]+9 =−3(x−3)²+3+9 =−3(x−1)²+12.

b. Factorisation deh(x) :h(x) =−3(x−1)²+ 12 =−3[(x−1)²−4] =−3(x−1−2)(x−1 + 2) =−3(x−3)(x+ 1) 2. a.h(x) = 9⇔ −3x²+ 6x+ 9 = 9⇔ −3x²+ 6x= 0⇔ −3x(x−2) = 0 D’où S ={0;2}

b.h(x) = 12⇔ −3(x−1)²+ 12 = 12⇔ −3(x−1)²= 0⇔x−1 = 0 D’où S ={1}

c.h(x) = 0⇔ −3(x−3)(x+ 1) = 0⇔x−3 = 0 oux+ 1 = 0 D’où S ={−1;3}

3. a. Graphique ci-dessous

b. Intersection deC etD :−3x²+ 6x+ 9 = 6x−3⇔ −3x²=−12⇔x²= 4 D’où S ={−2;2}.

Six=−2 alorsh(−2) = −15 et Six= 2 alorsh(2) = 9.

Les points communs àC etD sont les points de coordonnées (−2 ; −15) et ( 2 ; 9).

10

-1

9 12

1 9

2 3

1

(3)

1S1 Corrigé mercredi 10 octobre 2012

On sait qu’une paraboleP d’équationy=ax²+bx+cpasse par les points A(0 ; 7), B(1 ; 5) et C(−2 ; 29).

a Ecriture du système :

A(0 ; 7)∈P ⇔7 =a×0²+b×0 +c⇔7 =c.

B(1 ; 5)∈P ⇔5 =a×1²+b×1 +c⇔5 =a+b+ 7.

C(−2 ; 29)∈P ⇔29 =a×(−2)²+b×(−2) + 7⇔29 = 4a−2b+ 7.

d’où le système









 c= 7 a+b=−2 4a−2b= 22

b Résolution : La seconde équation permet d’écrireb=−2−a.

En remplaçantbpar−2−adans la troisième équation, nous obtenons

4a−2(−2−a) + 3 = 22⇔4a+ 4 + 2a= 22⇔6a= 18⇔a= 3. On en déduitb=−2−3 =−5.

Conclusion :a= 3,b=−5 etc= 7 donc l’équation de la parabole esty= 3x²−5x+ 7.

En détaillant les calculs, déterminer la mesure principale des mesures ci-après et placer sur un cercle trigonométrique les points associés à ces nombres.

2791 = 2×1395 + 1 donc 2791π= 1395×2π+πDétermination principaleπ 113 = 6×18 + 5 donc113π

3 = 18×2π+ 5π

3 Détermination principale−π 3 91 = 8×11 + 3 donc−91π

4 =−11×2π−3π

4 Détermination principale−3π 4 941 = 12×78 + 5 donc941π

6 = 78×2π+ 5π

6 Détermination principale 5π 6

b O

2791π

b

113π 3

b

−91π 4

b

941π 6