St. Joseph/ICAM Toulouse CB7 - 2019-2020 - Correction
CB n
◦7 - ISOMETRIES - Sujet 1
1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des endomorphismes deR3 admettant pour matrices dans la base canonique :
A= 1 5
−3 −4 0
−4 3 0
0 0 5
B = 1 3
−2 1 −2
−2 −2 1 1 −2 −2
A est la matrice de la réflexion par rapport au plan d’équation2x+y= 0
B est la matrice de la composée de la réflexion par rapport au plan d’équationx+y+z= 0et de la rotation d’axe Vect{(1,1,1)} et d’angle −2π
3 .
2. Donner la matrice dans la base canonique deR3 de la composée de la rotation d’axe Vect{(1,−1,1)}, d’angle −π
3 , et de la réflexion par rapport au plan d’équationx−y+z= 0.
√1 2
−1√ 6
√1 1 3
√2
√1 6
√−1 3
0 2
√ 6
√1 3
×
1 2
√3
2 0
−√ 3 2
1
2 0
0 0 −1
×
√1 2
√1
2 0
√−1 6
√1 6
√2 1 6
√ 3
−1√ 3
√1 3
=
0 1 0 0 0 1
−1 0 0
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CB n
◦7 - ISOMETRIES - Sujet 2
a. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des endomorphismes de R3 admettant pour ma- trices dans la base canonique :
A= 1 3
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
B = 1 7
6 −2 −3
−2 3 −6
−3 −6 −2
A est la matrice de la rotation d’axe Vect{(1,1,1)} d’angle π 3.
B est la matrice de la réflexion par rapport au plan d’équationx+ 2y+ 3z= 0.
b. Donner la matrice dans la base canonique deR3 de la composée de la rotation d’axe Vect{(1,−1,0)}, d’angle π
2, et de la réflexion par rapport au plan d’équationx−y = 0.
0 −1
√2
√1 2 0 −1
√ 2
−1√ 2
1 0 0
×
0 −1 0
1 0 0
0 0 −1
×
0 0 1
√−1 2
−1√ 2 0
√1 2
−1√ 2 0
= 1 2
−1 1 −√ 2 1 −1 −√
√ 2 2 √
2 0
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