L'intégrale définie d'une fonction 2éme Bac SM continue sur un segment de IR 1. Définition

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 L'intégrale définie d'une fonction 2éme Bac SM

continue sur un segment de IR 1. Définition

f étant une fonction continue sur un intervalle^{I }

 

^{a b;} . F une primitive de f surI . On pose :



_a^{b f x dx}

 

^_^{F x}

 

^_^b_a ^{F b}

 

^{–F a}

 

le nombre réel



_a^{b f x dx}

 

est lu somme de a à b de^{f x dx}

 

, ou intégrale de a à b de ^{f x dx}

 

^.

Exemple 1

1

0 1 3

2 3 3

0

1 1 1

1 0

3 3 3 3

x dx  x

  

     



Exemple 2

1

4 1

4 1

4 1 2 1 1

2 dx x

x

 

  

    



2. Propriétés algébriques

S et g deux fonctions continues sur un intervalle ^{I }

 

^{a b;} . F et G des primitives respectives de f et g sur I. On a:

∎



_a^b



^{f x}

 

^{g x}

  

^dx



_a^{b f x dx}

 

^



_a^{bg x dx}

 

(1ére relation de bilinéarité)

∎



^{  IR}



^;



_a^{b.f x dx}

 

^.



_a^{b f x dx}

 

(2éme relation de bilinéarité)

∎ ^{ c}

 

^{a b;}



_a^{b f x dx}

 

^



_a^{cf x dx}

 

^



_c^{b f x dx}

 

(Relation de Chasles) I. Intégrale définie et relation d'ordre

Théorème

f et g deux fonctions continues sur un intervalle ^{I }

 

^{a b; . On a :}

∎  x I ; ^{f x}

 

^{ 0}



_a^{b f x dx}

 

^0.

Corollaire

∎  x I ; ^{f x}

 

^{g x}

 

^



_a^{b f x dx}

 

^



_a^{bg x dx}

 

^.

II. L'intégration par parties Théorème

f et g étant deux fonctions dérivables sur un intervalle

 

^{a b; .}

On a:



_a^{bu x v x dx}

   

^_^{u x v x}

   

^_^b_a ^



_a^{bu x v x dx}

   

^

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Exercice

Calculer moyennant une intégration par parties chacune des intégrales suivantes:

∎ ^{I }



₁^exln

 

^{x dx} ∎ ¹

0

J 



xe dxx ∎ ^{K }



₁^eln

 

^{x dx} ∎

 

1 0Arctan L



x dx

∎ ^{M }



₀¹²



^2x1



^{e dx2x ∎} N 0²xsin

^{ }

x dx





 ∎

 

1

ln

e x

P dx





x ∎

4

 

0 cos2

Q x dx

x







III. L'intégration par changement de variable Théorème

f et g étant deux fonctions dérivables sur un intervalle

 

^{a b; . On a:}

     

_{ }^{ }

 

b g b

a f g x g x dx  g a f x dx

 

^{où tg x}

^{ }

Exercice

Calculer moyennant une intégration par parties chacune des intégrales suivantes :

∎ ¹



^{1 ln2}

  

e dx

I  x x



 ^{; tln}

^{ }

^x

∎ ²

1 2

J 



x xdx ^{; t 2x}

∎ ⁰

11 3 1

K dx

 x





  ^{; t 1 3 x1}

∎

3 2

0 1

L x dx

 x



 ; t 1x

∎ ⁴

2 1

M dx

 x x



 ; t x1

∎

 

1

eln 1 x

N dx

x x

 



 ^{; t 1 x}

IV. L'encadrement d'une intégrale définie par deux suites convergentes Théorème

f étant une fonction continue sur un intervalle [a b].

On pose :

1

0 n n

k

b a b a

S f a k

n n





   

   

 



^et

1 n n

k

b a b a

S f a k

n _ n

   

    

 



Les suites

 

Sn et

 

^Sn convergentes toutes les deux vers



_a^{b f x dx}

 

^.

Exemple 1 On pose :

1 n 1

n k

U  _ n k



 On a:

1

1 1

1

n n

k

U n k

n



  

   



; donc ^lim n ₁²

 

n U f x dx

 



^{où f x}

^{ }

^_1¹_x

Alors : ^lim ₁^{2 1 ln 1}

 

₁^{2 ln 3 ln 2}

n 1

n U dx x

 



x      ^.

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Exemple 2

On pose :

2

1

1 ⁿ

n k

U n

n _ n k

 





  

On a:

2

1 1 1

1 ⁿ

n

k k

n

U n _



 

 

 

     



; donc ^lim n ₁²

 

n U f x dx

 



^{où f x}

^{ }

^_1¹_x²

Alors : ² ₂

 

₁²

   

1

lim 1 Arctan Arctan 2 Arctan 1

n 1

n U dx x

 



x     ^.

Exemple 3

On pose :

1

2 2

0 n 1

n k

U n k











On a:

1 1 1

2

1 1 ⁿ

n

k k

n

U n n _



 

 

 

     

   



; donc ¹

 

1 0 1 1

2

lim 1 IR

n

n k k

n

f x dx A

n 



  

  

 

 

^{où f x}

^{ }

^_1¹_x²

Alors : lim _n lim ¹ 0

n U n A

  n

 

    .