DIMENSION CONFORME ET SPHERE A L'INFINI

Annales Academia Scientiarum Fennicre Series A. I. Mathematica

Volumen 14, 1989 , L77-2I2

DIMENSION CONFORME ET ^SPHERE A L'INFINI

DES VARIfTES A COURBURE NfCATTVP

Pierre

Pansu

We attach a conformal structure to the ideal boundary of a manifold of negative curvature.

We construct a quasiconformal invariant-generalized module-estimate it in terms of curvature pinching, and compute it in the homogeneous case. This yields an unsharp lower bound for the pin- ching of metrics on locally symmetric spaces, and a sharp lower bound for the Hausdorff dimension of the limit set of certain quasiconformal groups.

Dans cet article, on d6montre ^les r6sultats suivants

0.1.

Th6oröme.

Soit

M

un quotient compact de l'espace hyperbolique com- plexe, i.e.,

M: D*ll

oå

f e*

un sou s-groupe Alors

M

n'admet pas de

satisfait

discret d'automorphisme de

la

boule unitö

Drn

de

C*

^.

mötrique riemannienne dont

la

courbure sectionnelle

K

-\2m-t) : ^I\

0.2. Thdoräme.

Soit ot une matrice semi-simple, considöröe comme döriva- tion de |'algöbre de

Lie

^abålienne

R".

Considörons l'algöbre de Lie obtenue pa.r

extension de

R" ptr d, et

notons

G

le groupe de Lie associå. Considörons une action de G par homöomorphismes uniformöment quasiconformes de

la

sphåre

S'

^. Si G contient un 61öment loxodromique, son ensemble limite est une sphere topolo- gique dont

la

^{dimension de} Hausdorff est aumoins ögale ä

()r *'.. * )")/)1,

^or)

Remarquer que P. Tukia _{[13] a} construit, pour

tout

n

)

2, un tel groupe qua- siconforme avec u

: n*

1, .\;

:

7,

i 1n-!, \n:log4llog3,

et dont l'ensemble limite a une dimension de Hausdorff exactement 6gale

ä

n

-

⁷

*

^{log4/ log 3.}

Le thdoröme L n'est pas nouveau, voir _[3] et _[10], mais la m6thode, commune ä celle du th6oröme 2, l'est. On

introduit

un invariant num6rique,

la

"dimension conforme". C'est une version invariante conforme de

la

dimension de Hausdorff.

II

a un sens pour un sous-ensemble quelconque de

R",

mais aussi pour la sphöre ä

l'infini

d'une variable simplement connexe ä courbure ndgative born6e. On peut doi:10.5186/aasfm.1989.1424

178 Pierre Pamsu

l'estimer en fonction du pincement de la courbure, et le calculer dans le cas des es- paces homogönes (Th6oröme 5.5). Cela donne Ie thdoröme 1. Pour un sous-ensemble de

R",

on a

D'autre part, une action quasiconforme de

G

sur ^9/, ayant un 6l6ment loxodro- mique, ddtermine un plongement quasiconforme de

la

sphöre ä

l'infini

de

G

sur I'ensemble

limite

de

G

dans

,9', et

ceux-ci augmentent

la

dimension conforme.

On obtient ainsi le thdoröme 2.

0.3. Ce travail part des observations suivantes:

(1)

_"La gdomdtrie hyperbolique en dimension n

f ¹

tend, quand on s'approche de f infini, vers la g6om6trie conforme de la sphöre S'"(1L2, p. 465]).

(2)

Cette propri6t6 classique s'6tend aux espaces riemanniens symdtriques de rang un.

Ceci joue

un

röle dans

le

thdoröme de

rigiditd

de

G.D.

Mostow pour ces espaces [9]. Plus prdcis6ment, leur ^sphäre ä

l'infini

porte une classe conforme de distances invariante par les isomdtries ([a, p. 98]). Ces distances ont une dimension de Hausdorff, c'est un entier, supdrieur ä

la

dimension ordinaire de

la

sphöre å

I'infini.

(3)

Cette dimension de Hausdorff est invariante par quasiisom6tries.

C'est une 6tape dans la d6monstration de la rigiditd ([9, p. 1OB]).

(a)

Plus g6n6ralement, on comprend bien l'allure de la sphöre ä l'infini d'un espace homogöne ä courbure n6gative.

Par exemple, le groupe r6soluble, extension du groupe ab6lien

R2

par une matrice diagonale

D

ayant valeurs propres

e\ et

ep, 0

( I < p

_[11]. La sphöre ä

l'infini

s'identifie ä R2, la matrice

D

^engendre un groupe ä un paramötre d,homo- thdties.

Il y

a une distance assez naturelle, homogöne de degr6

,\

sous D

d((*,y),(0,

0))

- ^*.*{ l*l,lyl^/r},

mais, pour

tout

u

S l, d

est aussi une distance homogöne, ni meilleure ni moins bonne que d. La dimension de Hausdorffde

d"

est u(1

+(plX)).

Pour lever l,am- biguitd cr66e par ce facteur

u, il

suffit de consid6rer une dimension relative, par exemple, la dimension de Hausdorff divis6e par Ia dimension de Hausdorff d'une courbe "g6n6rique". Ceci nous conduit ä

la

notion de

modu]e

d'une famille de courbes, traditionnelle en g6omdtrie conforme [15]. Dans

la

premiåre partie, on montre que la sphöre ä

l'infini

d'une varidtd simplement connexe ä courbure n6- gative est munie d'une collection naturelle dettboules", structure suffisante pour ddfinir des modules. Ensuite, on donne une minoration de module, qui conduit, dans

la

troisiöme partie, ä

la

d6finition de

la

dimension conforme. Dans

la

qua- triöme partie, on montre que les plongements quasiisom6triques se prolongent en

Dimension conforme

et

sphöre ä

I'infini

des va,riötös ä courbure

någative

779 plongements "quasiconformes" ^de la sphäre ä l'infini, et par cons6quent, qu'ils aug- mentent la dimension conforme. Au paragraphe 5, on estime des modules sur

0M

en fonction du pincement

sur M.

^{Enfin, dans}

la

derniöre partie, on tente, sans grand succös, de relier module et capacit6s s:ur

0M

avec des capacit6s dans

M.

Je tiens ä remercier S. Rickman, qui m'a initid au concept de module, M. Zins- meister qui m'a aid6 ä clarifier la derniöre partie, et le referee pour ses nombreuses critiques.

1.

Structure quasiconforme sur la

sphbre

å ltinfini

1.1. Ddflnition.

Soit

X

un ensemble. Une structure quasiconforme sur

X

est

la

donn6e d'une famille de "boules", de

la

notion de rapport des rayons de deux boules concentriques, et de la notion de "petite" boule. Plus pr6cis6ment, on se donne:

-

une famille B ^de parties de

X;

-

une

filtration

d6croissante

0:00)hf...)0"f

telleque

si B, B'

e

0, ^B

^C

B' et B'

e 0n, ^alors

B

e _0n;

-

une action de

R..

sur

B

^{telle que}

B

C

frB si

&

)

1,

et

lcB, C Bn,g,,n1

,oi,

pour chaque

,t

fix6, n'(lern) tend ^vers

l'infini

^avec n.

Soit (X, B)

"r

^ensemble muni d'une structure quasiconforme. Un anneau est un couple

(a,ä)

de parties de

X

tel _{que a C} ä. C'est

un

å-aaneau s'il existe une boule

B

telle que

BcaCACkB.

Si de plus,

kB

€.

P",

^on

dit

que (a,

ä)

est

un

,t, n-anneau.

On

dira

qu'une propridtd est satisfaite

pour tout

lc-a.nneau assez

petit

s'il existe

n

€

N

tel que cette propri6t6 soit satisfaite par tous les å,n-anneaux.

Soit r7 une fonction continue croissante sur l'intervalle

[1,foo[.

Deux struc- tures quasiconformes sur

X

sont dites ¹¹ -åquivalentes si

tout

k-anneau assez petit de l'une est

un

7(å)-anneau ^de l'autre.

L'objet de cet article est d'attacher des invariants ä une classe d'6quivalence de structures quasiconformes.

1.2.

Exemple.

Dans un espace mdtrique, on prend pot:r B Ia collection des

boules, l'action de

R-r

^est

lr,B(*,r),- B(r,kr).

et 0,

est l'ensemble des boules de rayon inf6rieur

ä

I

ln

^.

180 Pierre Pansu

L.3.

Exemple.

Dans un espace vectoriel

Rn,

soit Bs un voisinage born6 de I'origine, soit ,tBs l'image de Bo par l'homoth6tie ^de rapport k. _{Soit B} l'ensemble des images de

Bs

par homoth6ties et translations. Deux telles structures quasi- conformes sur

R'

^sont 6quivalentes.

La m6me construction s'applique ä un groupe de Lie muni d'un groupe ä un paramötre contractant d'automorphismes, i.e., les translations de

R"

sont rem- plac6es par les translations ä ^gauche du groupe, les homothdties fixant l'origine par un groupe eto d'automorphismes,

oi o

est une d6rivation de l'algöbre de Lie dont les valeurs propres ont une partie r6elle n6gative. Noter que si un groupe de

Lie

.l/

admet une telle d6rivation, alors

N

est ndcessairement nilpotent gradu6.

1.4.

Exemple.

Un sous-ensemble

Y

C

X

hdrite d'une structure quasiconfor- me induite. Ses ttboules" sont les traces sur

Y

des ttboules" de

X

ttcentr6es" sur

Y,i.e.,

telles que kB

nY *0 ^{pq:r tout}

^,t

^>

^0.

1.5.

Exemple.

Soit

M

^une varidtd riemannienne complöte simplement con- nexe ä courbure ndgative ou nulle. Fixons un

point {

^de

^M

^{ou de sa sphöre ä}

l'infini 0M. Or

appelle ombre portöe depuis Ie

point (

d'une

partie A

de

M

l'ensemble des extr6mit6s des rayons g6od6siques issus de

(

rencontrant

A.

On la note O1A. Fixons aussi un r6el positif .R.

Sur

X : _{0M \} (,

considdrons les ombres port6es depuis le point

(

des boules de

M

^de rayon .8.

Soit

B

l'ombre port6e de la boule

B(mrR).

Etant donn6 &

)

^0,

^{soit rn'}

^le

point de

la

g6od6sique passant

par ( et rn

situ6 ä distance log

k

de

rn

(entre

(

et rn si

k

) !,

au-deläsi fr

<

1). On pose kB

:

OeB(m' _, R).

Enfin,

notant 0

la fonction distance

å (

(respectivement une horofonction relative ä _{( ),} soit

B,

l'ensemble des ombres port6es des boules B(a,

R)

telles ^que

0(r) > logn.

On a d6fini ainsi une structure quasiconforme Conf((,.R) sur AM

\ (.

I-.6. Remarque. Lorsque la courbure sectionnelle est strictement n6gative, et Ie groupe d'isom6tries transitif, on obtient au moins une structure quasiconforme du type de celles d6crites dans l'exemple 1.3.

En effet, le groupe d'isom6tries fixe un

point (

de

0M

(ä moins que

M

soit sym6trique; dans ce cas n'importe ^quel point

(

fait l'affaire). IJn sous-groupe nilpo- tent

l[

du groupe d'isom6tries est simplement transitif sur

äM\(.

^Un sous-groupe ä un paramätre eto d'isom6tries normalise

N

et induit sur

.lf

des automorphismes contractants, voir _[7].

Nous en venons au point crucial: la structure Conf((,.R) ne d6pend pas vrai- ment des paramötres

(

et .t?. Nous Ie montrons dans deux cas: lorsque Ia courbure est pincde entre deux constantes ndgatives (paragraphes 1.7 ä 1.11), ou lorsque

M

a un groupe cocompact d'isomdtries (Proposition 1.12).

Dimension conforme et spååre ä

f

infini ^des variötös å courbure

nögative

181

Les

trois

lemmes

qui

suivent expriment l'id6e que, sur une g6od6sique, la fonction distance ä une autre g6od6sique est d'autant plus convexe ^que la courbure est plus ndgative.

1.7.

Lemme.Soit M

unevariötösimplernent connexeåcourbure

K ^< _-b2

<

0. Soient ₁

, 1'

^deux göodösiques issues d'un m6me point. Alors

la

fonction

tr+

^sh bd(r(t) ,.y'(t))

l2

sh (bt) est croissante pour

, >

0.

Notons

6(t) : d(l(t),'1,'(t)).

Notons

a et

_B les angles intdrieurs en

7(t)

^et

7'(t')

^{du triangle}

f : {f(0),f(t),,r'(t)}.

La ddriv6e ^de la fonction 6 est

å1t;:cosofcosB.

Appliquons

le

th6oräme de comparaison de Rauch-Alexandrov-Topono-gov.

Il

existe, en constante

-ö2

un triangle

7

dont les cöt6s sont 6gaux ä ceux de

?

mais dont les angles

a:F

sont plus grands. La trigonomdtrie hyperbolique donne

d'oil

th ⁽ _+b62)

-

^{th (bt) cos a,}

qui est l'in6galitd annonc6e. o

1.8.

Lemme.Soit M

unevafiötösimplementconnexeäcourbure

K ^< _-b2

<

0. (i) Soient'y,'y'

deux göodösiques issues

d'un

möme point. Pour

t > 0,la

fonction

t=> ^sh bd(r(t) ,^/')

sh (år)

est croissante.

(ii)

Soient ₁

, ^l'

^deux göodösiques asymptotes, i.".,

,IT"- d(t1)'7'(')) -

^o'

Alors

la

fonction

r

r+

e-btsh bd(r(t)

,t,O))

est croissante.

782 Pierre Pansu Consid6rons

la

surface r6g16e

^9 engendrde par les g6od6siques orthogonales

ä 7'

s'appuyant

sur 7.

^Elle est lisse, sauf 6ventuellement au

point

commun ä

1 et 1'.

L'6quation de Gauss montre que

la

m6trique induite

a

une courbure inf6rieure

ä -b2.

^Notons

^.9*

^l'une des composantes de

S\:r'.

C'est une surface ä bord g6od6sique. On peut construire son double

X.

^Sa mdtrique, de classe C1

seulement, admet une sym6trie

a.

Elle peut 6tre approchde par des m6triques Iisses o-invariantes ä courbure inf6rieure

ä -b2.

^Par cons6quent, le th6oröme de comparaison de Rauch-Alexandrov-Toponogov y est valable, et on peut appliquer Ie lemme prdc6dent aux g6od6siques

7 ^{et o(1).}

Ceci prouve

(i).

On obtient (ii) par passage ä la limite. o

1.9. Lemme. Soit M

une va,riåtö simplement connexe

ä

courbure

-a2 ¹ K < _-b2 ( 0.

Consi d4rons un triangle dont deux angles sont aigus. Notons _$

le

troisiäme angle,

s et t

les cötös adjacents,

H la

hauteur.

Si s I t,

on

a

les

inögalitås

'I

₁

;,

^{@, as, at)}

^{< H S iH (ö,bt,bt)}

et

ö(oH, ^as, at) S ö

<

ö(bH,bt,bt)

oi

H(ö, s,

t)

(respectivement d'un triangle de comparaison jours

( 1.e)

ö(H,

S,t))

sont

la

hauteur (respectivement l'angle) en courbure constante

-

^{1 .}

^En

particulier, on

a

tou-

th ( bH)

(

cos

(iil.

On applique le thdoröme de comparaison de Rauch-Alexandrov-Toponogov aux deux triangles rectangles ddtermin6s par

la

hauteur

I/.

On construit deux quadrilatöres de comparaison,

l'un,

_Q(a), convexe, dans le plan de courbure cons-

tante

-a2,I'autre,

^Q(å), concave, dans le plan de courbure constante

-å2

^(voir

Figure 1).

Les angles de Q(a) 6tant inf6rieurs ä ceux du triangle

initial,

on trouve que

H ) H, oi ä

est la hauteur, en courbure

-a2,

d'un triangle ayant deux angles aigus, et le troisiöme ö

< ö.En

augmentant $ jusqu'ä ^ce qu'il vailie

o

^{la hauteur} augmente, d'or) l'in6galit6 annonc6e.

En g6n6ral,

il

n'est pas clair que Q(ö)

ait

des angles aigus. C'est surement

le

cas

si s : t,

car

un

triangle isocäle a automatiquement ses angles aigus. Le th6oröme de comparaison s'applique alors et on conclut que 11

< H(ö,bt,bt)lb.

On se ramöne ä ce cas particulier comme suit:

On

se ramäne d'abord

ä la

dimension

2,

en construisant une surface 16- gl6e balayde par une famille de segments dont les extr6mit6s parcourent de fagon monotone les cöt6s

s et

f

, et

^{qui contient le triangle}

initial.

La courbure de ,9

reste inf6rieure

ä -å2

et la hauteur augmente.

Dimension conforme

et

^{sphåre ä}

f

infrni des va,riötös ä courbure

nögative

183

K= -* _K

=

-b'

Figure 1.

En dimension 2,lorsqu'on ddforme le triangle

initial

en dloignant le sommet dans le prolongement du cöt6

s,

la hauteur augmente, jusqu'ä ce que le triangle d6form6 soit isocöle. On conclut que

I/ < H(ö,bt,bt)lb.

Enfin, en courbure constante, la hauteur est maximale pour le triangle ayant deux cöt6s infinis, d'ori (1.9).

On

peut

donner des formules explicites: Ia hauteur

I/

divise l'angle

/

^en

deux angles aigus

/" ^et

^{$1 et le triangle donn6 en} deux triangles rectangles. Dans chacun, on utilise la formule de trigonomdtrie hyperbolique

.,

^th

^(ä)

COSPs_

.nu,

sin

/ -

^sin

/"

^cos öt

*

^cos ds ^{sin y'1}

Il

vient

- ^th(ä)

_{th (r)}

r thlt ^,

^th

^(H)

et $(H,s,l)

est la plus grande solution de cette dquation. ^o

1.10. Lemme. Soit M

une variötö simplement connexe ä courbure -a2

K < _-b2 (

0.,Soient

(,€'e MUAM, x

e

M et

.R €l0,oo[. Noions

g(a,R,t)

1th

(ä)

₁ ^z

\ th(s) /

^1th

^(f/)

¹

z

\ the) )

\

184 Pierre Pansu

ö("R, ^at,

*oo) ^la

fonction de comparaison introduite dans le lemme 7.9. Pour tout

t ) R,

^pour

tout

rb

< _ö(o,R,t), il

^{existe des} constantes

R'(a,b,R,t,,/) < +-

et r(a,b,R,t,,/) < +-

ne döpendant que des bornes sur

la

courbure, de

R,

de

t : d(€,a) et

de I'angle

rf;

sous lequel

€ .t _€'

sont vus depuis

x

telles ^que, si

t' : d(€',x) ) r,

alors les ombres poilåes (voir 1.5) satisfassent OqB(x,R)

c Oq,B(r,R').

Lorsquet:t': +oo, E et Rt

et

g

sontreliåsparlesrelationssuivantes th (oB)

-

^cos( *ö), ^{th ( bR')}

-

^{cos (åf ö}

-

^{,») .}

Soient

7,7'

^des g6oddsiques issues de

( et €', d"

^m6me extrdmitd X

e

0M ^.

Il

s'agit de montrer que, si

7

^passe ä distance

R

de

x,

alors

7'

^{passe ä distance}

E' de c.

Autrement

dit, il faut

comparer les hauteurs .EI

et ä'

des triangles

T: {x,(,X} "t ^T' : _{a,€',X}.

Notons ut

et

ust les angles en

r.

4',

Par d6finition de I'ombre port6e, l'hypothöse

t > R

entraine que l'angle de

7

en

(

est aigu. On peut donc appliquer le lemme 1.9: l'hypothäse

ä (

^{.R entraine}

que

co

>

_Q(aR,af ,

*oo) :

_$(a,

R,t).

Ddfinissons r(a,b,

R,t,rb)

par 1'6quation

th

(år) :

cos(d(@,

R,t) -

^,l'),

et montrons par I'absurde que, si

f') r,l'angle

en

{'

^{du triangle}

^7'

^{est aigu.}

Si cet angle est obtus, en döplagant

('

sur la g6od6sique

r€',

on laisse aug- menter

t'

jusqu'ä obtenir un triangle rectangle, et on d6duit que

th (år')

(

cos(c..,')

<

cos(o

- ^{)

d'ori

,' ( _r.

On peut donc appliquer ä nouveau le lemme 1.9:

th(bH') <

cos(|c.,')

<

cos(|(a.,

-

^r»),

soit

ä' (

^rB'

of

.B' est d6fini dans l'6nonc6. ^o

Figure 2.

>'x

4

Dimension conforme ei spåäre ä

I'infini

des variötös å courbure

någative

185

1.11. Proposition. Soit M

une variötö simplement connexe

å

courbure

-a2 < K ^< _-b2 ( _0.

trorsque

( e MUlM ^et R) 0

varient, Iesstructures quasiconformes Conf((, "E) sont deux å deux locaJement öquivalentes.

Variation du rayon E.

On traite le cas ori

(

est ä distance finie. Si

(

_e ?Ittt _,

iI

^suffit de remplacer les sinus hyperboliques par des exponentielles. Supposons donn6s des nombres positifs .E

et

.R1 . Soit

7

une g6od6sique issue de

(, et

^/c

>

0.

Un

petit

k-anneau centr6 sur

7

^est, par ddfinition, le couple form6 par les ombres port6es des boules

B(z(r),

_^R) et B (7(r'), E) _, pour s grand, s'

-

^s*log ,t. D'aprös Ie lemme 1.8, on a

(*)

dös que

OeB(r(t), .R)

c OeB(r(r), Er)

sh

(bt) \.

^{sh ( bR)}

rh(b,) '/ _.

Par cons6quent, pour que

oeB(r(t), Ar) c oeB(r('),8) c oeB(r(r'),8)

C

oeB(t(t'), E'), il

suffit de choisir

t et tl

de faEon que

sh

(bt) _

^{sh (btr)}

sh(ås)

'h(äEr)

et

Lorsque

R

est grand,

iI

vient

sh

(bt')

-

^{sh (åEr )}

sh

(br')

^{rh (åBr} )

exp

b(t'-

f )

-

^exp

^b(t'-

^s') _"*p ^å(r'

-

^s) _"*p ^ä(,

- ^t) - ^{f' (:T} !b*l; '

On conclut que les structure quasiconformes

Conf((,l8) et

Conf((,r81

)

^{sont q-}

dquivalentes,

of

la fonction

7

^{est lindaire,}

q(k):*(ffi)"'

Variation du point (.

Soient

7, 7'

^deux g6od6siques issues de

a e M

et faisant un angle ty'. Soient € e

Z([-*,0[) ^et ('e r'([-*,0[), ^et

^.R

^>

^{0. Soit}

r'

le point de

7'

^{situd ä distance log å de r .}

Il

s'agit de comparer le å -anneat (a, at) form6 des ombres port6es

01,B(u,R) et Og,B(*',R)

avec des OeB(V,rt) pour y

186 Pierre Pansu

sur

7'. Il

^{suffit de} le faire lorsque

(o,o')

est

petit,

c'est-ä-dire, lorsque

d((,a)

et

d(€',*)

sont grands et l'angle ^ry' est petit. Le lemme 1.10 fournit deux rayons -R',

l'un,

not6 .81 , tel ^que

OqB(x,R)

c OsB(x,Rr),

l'autre, not6, R2, tel que

Os,

B(d,rBr)

C OqB(a', R2).

Soit y' la

projection orthogonale de

o'

sur

la

g6od6sique

(r _{, et e} : d(r',y).

Appliquant le lemme 1.8,

il

vient

osB(x',

R

₎

c

oeB(v', Rz

*

^e)

c

^{oaB(v, R)}

oriye(ret

expbd(y'

,y) -

^'h

(l{"i t)

.

sh (årE)

Lorsque, ä & fix6, l'angle

t/

tend vers

0,

e tend vers 0

et

bRt

- ^aR,

^bR2

-

^{aR1 .}

On conclut que,

sur 0M \ {€,('},

^les structures quasiconformes

Conf((,.8)

^et Conf((',.R) sont 7-dquivalentes, ^avec

rt|e):-({ffi#,!E)"u.o

Nous montrons maintenant qu'en prdsence

d'un

gros groupe d'isomdtrie

il

n'est plus n6cessaire de supposer la courbure strictement n6gative.

1.12. Proposition.

Soit

M

^une variötö riemannienne simplement connexe

ä

courbure sectionnelle någative

ou

nulle, sans bandes plates totaiement ^göodö- siques. Supposons

Isom(M)

cocompact. Alors, Iorsque

(

döcrit 0M

,

les djverses structures quasiconformes Conf((,.R) sur

AM\€

döc ci-dessus (exemple 1.5) sont deux å deux locaJement 6quivilentes.

Variation du rayon .8.

Soient

R,R' ) ⁰ et ( e ^AM.

^{On montre que}

l'ombre port6e, depuis

€ , d"

toute boule

B(x,R')

est contenue dans l'ombre port6e d'une boule

B(y,R) et

contient l'ombre port6 d'une boule

B(z,iB),

ori

€, A, z

sont align6s

et d(y,z)

est born6 ind6pendamment de

(.

Pour cela, on remarque que,

pour r, (

fix6s,

il

existe des points

y et z

sur

la

g6od6sique de

o ä (

que satisfont cette propri6t6.

En

effet, l'hypothöse sur les bandes plates entraine que deux g6od6siques asymptotes ont une distance qui tend vers 0. Par consdquent, lorsque

y

tend vers

(

sur la g6od6sique

(c,

sa distance ä toutes les g6od6siques qui rencontrent

B(x,.R')

ddcroit vers 0. La convergence est uniforme par Ie lemme de Dini, donc

OaR(r,, R')

c

^{Oe B(y, R)}

Dimension conforme pour

y

assez proche de sa distance ä toutes les vers

I'infini,

donc, pour

et spååre ä

f

infini ^{des variötAs} å courbure

nögative

187

(.

De m6ffi€, lorsque

z

^s'6loigne de

(

sur g6od6sique €* ,

autres g6oddsiques qui rencontrent B (* ,

R')

croit et tend

z

assez loin,

OsB(x,n'1>

OrE1r,A1.

Notons 6(r,

()

la distance minimum entre y et z

.Il

d6pend continfiment de

r

et

(,

donc

il

est bornd car Isom(M) est cocompact sur les paires (r, €), qui s'identifient au fibr6 unitaire tangent ä

M.

Variation du centre

de

projection.

Soient _€,

('

e AM .IL s'agit de montrer que I'ombre portde

OqB(r,1)

de toute boule de rayon 1 contient (respectivement est contenue) dans l'ombre port6e OLA@,1) (respectivement contient Oa,

B(2,7)) oti (', y, z

sont alignds,

et d(y,z)

est born6 inddpendamment de

,

, pourvu que Ogc varie hors d'un voisinage

d"

(, €'. ^Pour cela, posons,

pour

_€rX e 0M _{, a} € M ;

6(( ,, X,

n) _

^{inf d(y, z)}

surles _A,,z €

M

tels que

X,

A,,

z

sont align6set

OrB(y,7)

C OaB(r,1.)

c

^OrB(2,7).

Pour les m6mes raisons que ci-dessus,

6

est une fonction continue de

(, y, x,

donc, ä

x

fixö, 6(€, _X,

o)

tend vers 0 lorsque l'angle entre

( et

_{X, vu} de

r,

tend vers 0. En fait, Ia convergence est uniforme pour

o

dans un compact de

M.

Etant donn6 un

point (mruro)

de

St2M,

i.e., un

point rn

et deux vecteurs tangents u

et u

en rm orthogonaux, et un r6el positif

r,

^posons

6 (m, u, a,

r) :

6 (exp- (+oou _), exp- (*oou), exp-(

-ru

⁾⁾

Alors

limr*+-6(rn, u,u,r): 0

uniform6ment les compacts de

St2M.

En effet, fixons un domaine fondamental compact

Ä

pour le groupe d'isom6tries de

M.

Soit

i:'i(m,u,r)

uneisomdtriequi ramöne

r:exp-(-ru)

^dans

A.

Alors

6(m,u,u,r) : 6(*',€,X)

or) o'

: ia

€

L, ⁽ : i(exp-(+mu)), x : i(exp*(+oou)).

Or, lorsque

r

^--+

{oo,

l'angle 0 entre € et X ^{vu de}

r'

tend vers 0. En fait, le th6oröm donne tg?

I e-'

si

la

courbure sectionnelle satisfait

K > _-1,.

On conclut que

la

fonction

6

est

born6e, car le groupe d'isom6tries de

M

est cocompact dans StzM . Ceci prouve que, pour tous

(

_{et X,les} structures quasiconformes Conf((, 1) et Conf(X, 1) sont 6quivalentes, ä condition de se limiter aux ombres port6es OgB(a,1) or)

r

^est loin de X ^{au sens} suivant: la projection de X ^sur la droite ((,

r)

tombe entre

(

et

r.

^o

Remarque.

Le

fait

que 6 tende vers

0

ä f infini signifie que, sur 0M _,

il

y a une g6om6trie 1-quasiconforme et non seulement quasiconforme.

188 Pierre Pansu

Nous terminons ce paragraphe par deux propri6t6s suppldmentaires des ombres port6es, n6cessaires en 2.7 et 5.2 respectivement.

Soit M

une vari6t6 simplement connexe ä courbure

K < _-b2 ( 0.

Fixons

e e M

U

AM et

une horofonction

0

relative

ä (

(c'est

la

distance

ä ( si (

€

M). Si B : OeB(s,1)

est une "boule" de

0M \ ^€,

^{on pose}

⁶⁽⁸⁾ - ^e-e(').Le

premier lemme signifie que la fonction 6 se comporte approximativement comme

le

diamåtre dans

un

espace mdtrique. Le second, que

6

est approximativement croissante.

1.L4.

Lemme.

Si

B : OeB(a,7), B' :

OeB(y,1) sont des ombres portåes deboules,si

BiB'+0 etsi6(Bt) <6(.8),

alors

B'cqB' ouq-(SshblQtlo.

Traduisons l'6nonc6:

- il

existe une g6od6sique

7

^{issue de}

(

telle

qte d(a,1) (

₁

_{et d(y,l) 3 t;}

- 0(*) <

e(v).

Soit z

le point de la g6od6sique passant

par ( et r tel

que

0(z) : 0(") -

ö-1 log(5sh b/b).

Il

s'agit de montrer que

OeB(v,7)

c

^OqB(2,7),

i.e., ^que

si 7'

est une autre g6oddsique issue de

(,

et telle que

d(y,7') <

^{1, alors}

d(2,1t)

<

7.

Soit r'

(respectivement

yt) la

projection

de c

(respectivement

y) sur

_7.

Alors

d(c,c') ( 1, d(y,y') (

₁ d'or)

0(y')>0(y)-1>d(c)-1.

Soit

u

le point _de

7

tel que d(u)

:0(u) -

1. Par convexitd, comme 0(u)

<

0(y'),

d(r,l') I

d(y',.y')

I

d(y,,y)

+

d(y,.,t,)

<

2.

D'autre part,

d(x,u) I

d(u,a')

+ _l0(r') - ^{0(*) +}

^1l

^<

^B.

On conclut que

d(r,7') _<

5. D'aprås le lemme 1.8,

d\r,r') b .str(bd(z,l)) .sn(OeQD <ab(0(4_e(,))<

¹

Gij'hå ^{= .h1åd6D = .h]ädG» \} €''' ^" _:

_b,

d'ot d(2,7') (

_1. o

1.15.

Lemme.

Si

B, B'

sont des boules de

0M \ (,

alors

B c B' :+ 6(8)

_S (5shblfi1tb613'1.

En effet, si on avait

5(B'):

e6(B) avec 6

<7/q,le

lemme 1.14 entrainerait

B'

C ^qeB , une contradiction. ^o

Dimension conforme et spåäre ä

f

infini des variöt6s ä courbure

nögative

189

2. Module

grossier

2.1.

Rappel.

Soit

I

^une famille ^de courbes rectifiables dans une partie .4 ^de l'espace euclidien

R".

On d6finit (voir _[15]) son rnodule

M(l)

^{comme suit:}

M(l):

^{inf volr(Ä)}

sur les m6triques riemanniennes

g

conformes ä Ia m6trique euclidienne telles que longueurr(7)

Z

¹

sur toutes les courbes

7

^dans

l.

En fait, on autorise dans une classe conforme des "m6triques g6n6ralis6es", de la forme g

:

pz ds2 ori p est une fonction bordlienne positive ou nulle quelconque.

Le module est un invariant conforme au sens suivant:

si /

est une transfor- mation conforme, alors

M(/(r)) : M(r)

Soit

/

un diff6omorphisme de

R".

Si

/

^est K-quasiconforme, i.e., si n

) 2

et, en

tout

point, le Jacobien

Jy etla

norme de la diff6rentielle

d/

satisfont

(*) _ld,fl ! ^KJy,

alors, pour

tout l,

r{-t Me) < M(/(f)) < K"-t M(t).

Les m6triques g6n6raJis6es entrant dans la d6finition du module servent ä le rendre invariant sous les hom6omorphismes quasiconformes les plus g6n6raux, i.e., abso- lument continus sur les droites et admettant presque partout une diff6rentielle qui satisfait

(*).

Il

est souvent crucial d'avoir une borne inf6rieure pour le module d'une famille de courbes. Un exemple typique est le suivant.

2.2. Exemple. Soit Å

un parall6ldpipäde rectangle,

soit I la

famille des segments de droites contenus dans .4., parallöles ä une ar6te donn6e, de longueur

h.

Si

V

ddsigne le volume de la face perpendiculaire (de fagon que

vol(ä) : hV),

onaM(I)-Vhr-".

En effet, sur chaque segment

7,

et pour toute fonction bordlienne positive ou nulle p, f in6galit6 de Hölder donne

d'orf,

€r

int6grant sur la base,

/ -

J,q',

L'6galit6 est atteinte pour Ia m6trique homoth6tique g

- ^7lh'

^dsz

^.

^a

190 Pierce Pansu

2.3. Gdndralisation.

On peut

sortir du

cadre riemannien

ä

conditiop de remplacer volume et longueur par des mesures de Hausdorff. Etant donn6 un es-

pace m6trique (X,

d), un

rdel

positif p et

une fonction

?: on pourrait

ddfinir un p,?-modrrr" 117'r,n(l) comme la borne inf6rieure des mesures de Hausdorffp- dimensionnelles Ttf,,(X) des m6triques 7-quasiconformes ä d (i.e., d6finissant une structure quasiconforme 7-6quivalente ä ^celle de

d)

qui donnent ä chaque courbe 7 €

I

^une mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle T{'0,0)

> t.

On a fait ici un autre choix: celui de prendre Ie terme de "m6trique conforme"

en un ^sens plus g6n6ral.

Etant donn6e une structure quasiconforme

0,

^une m6trique conforme devient la donn6e d'unefonction

{

^{qui, ä chaque boule}

^B

de B, attache un "rayon"

ö(B).

Soit

(X,0)

"r

^ensemble muni d'une structure quasiconforme. Une partie o C

X

est une ^&, n-.boule si (o, o) est un /c, n-anneau, i.e., s'il existe une boule

B

telle

queBCaCkBep".

Soit

/

^une fonction positive sur l'ensemble des parties de

X.

Pour

I )

^{L, une}

nouvelle fonction sur les parties de

X

^est obtenue en posant

ö{a):

^sup{d(ä)

l@,d)

^est un l-anneau}.

Soit p

> 0,

^å

) l, I )

1. On note @P,k (respectivement

6f,k)

la mesure ob- tenue par la constru-ction de Caratheodory (voir _[1, paragraphe 2.10]) en sommant

/

(respectivement

{a)

sur les å-boules. Par exemple,

ot,pourYCX,

et la borne inf6rieure k, n-boules a; .

Remarquer que

et

k.

I)p,k

_

,q

^QP,k;n

QP,k;n(Y):

inf

!

^ö@)o

i

est prise sur les recouvrements d6nombrables de

Y

par des 6or'n est une fonction croissante de (.

et

d6croissante de p

2.4. Deflnition. Soit X

un ensemble muni d'une structure quasiconforme

0.

^Soit

I

une famille de parties de

X,

^et p

) 7,

k

) 7, l) 7,

m

) 1

^{des r6e1s.}

Le module grossier de

I

^est la collection ^des nombres

Mo,k,t,*(l):inf 6l,k

la

borne infdrieure 6tant prise sur les fonctions

/

telles que, pour

tout 7 ^€ l,

ol,-(7) ^>

^1.

Dimension conforme

et

sphöre ä I'infini des variötås ä courbure

nögative

191

On dira qu'une famille de parties

I

a un p-module nul

si I

^est une rdunion ddnombrable

r: _U ^r,

t/€N

et, pour chaque

z, il

existe

un k )

J.,

un m )

1 et des

I

arbitrairement grands tels que 114t'k't'*(1,)

:

0.

2.5.

Commentaires. II

est probable que, lorsque

X

est une varidtd rieman- nienne de dimension

n et

_B est la famille ^des boules, le module grossier 114n,k,t,n

difföre peu du module classique d6finit au paragraphe 2.1. En tout cas, on a l'in6- galitd suivante.

Mn'k't,rn(l) < l"M(l).

En effet, le module classique correspond ä une borne inf6rieure prise sur les

fonctions

{

^{de Ia forme}

ö(B) :

volo(B1r/".

En revanche, lorsque I'exposant

p

est diff6rent de la dimension, le module grossier ll[P,k,2,m n'a rien ä voir le p-module ddfini dans _[15].

Dans la ddfinition 2.4, le paramötre

p

joue Ie m6me r6le que dans la notion de mesure de Hausdorff.

Au

plus une valeur de

p

peut donner un invariant non

trivial,

cette valeur repr6sente une sorte de dimension relative ^de la famille

I

par rapport ä la structure quasiconforrne B.

Les paramötres /c

et rn

reflätent f idde qu'on minimise sur des m6triques å

(respectivement rn)-quasiconformes ä une m6trique donn6e (cf. 2.3). Ils jouent un röle mineur.

Le paramötre

I

^{sert ä compenser une perte} intervenant lors de l'estimation 2.9.

L'op6ration ö

=

^{@e n'est pas} sous-additive. Par cons6quent, le module n'est sans doute pas sous-additif, i.e., il n'est pas clair

\ue

fu[P,k,t,m(I1) et tr4e,k't'*(12) permettent de contröler

14r'k't'*(l1U lz).

2.6.

Proposition.

Soient B,

B'

deux structures quasiconformes 11 -öquivaJen-

tessur

X.Pourtoutefamille I

^{de partiesde}

X,pourtout p>0, k)t,l>_7,

m

)

^'l'

'

^on

a

Mo*@),t,m71, _B)

<

114t,k,n@),non)(r,, p,).

En pa,rticulier, B

et Bt

döfinissent les m6mes familles de module

nul

Soit /

une fonction sur les parties de (X,

B).

Lorsqu'elle sert ä mesurer les parties de

(X,0'),ot lanote

ry'. Commeune &-boulepour B ^est une 7(&)-boule pour

B',

et inversement, on a

792 Pierre Pansu

E" f*j, ^tout

^l-anneau pour B ^est

un

4(l)-anneau pour

B',

^et inversement, d'ori

fu <

rbqe), et, par consdquent,

frn'n'n<*>

s'6iiil*' <

fior'!orr,,.

"

On va donner, en 2.9, une estimation de module qui

traduit,

dans le langage des mesures de Hausdorff, l'argument donn6 en2.2. On aura besoin d'une propridtd de recouvrement, qui n6cessite une hypothöse suppl6mentaire sur la structure qua- siconforme.

2.7.

D6ffnition.

Une bonne structure quasiconforme sur un ensemble

X

^est

une structure quasiconforme qui satisfait les conditions suivantes:

(a)

pour

tout

o €

X, il

existe

B

_{e P} telle ^que

cefl/cB;

(b) il

existe une constante q et une fonction 6 sur B ^{telles que, pour}

tout

^/c

>

⁰

et pour toutes boules

B, B'

e

B

^{assez petites, 6(kB)}

:

fr6(B) et B n

B' + 0,

^6(.8)

^< _{6(8') =+} ^{B c}

^qB'.

Remarquer

qu'il

s'agit d'une propridtd de

la

classe d'6quivalence de

B.

^Elle est satisfaite dans tous les exemples consid6rds jusqu'ici:

-

^avec

I :

3 pour les espaces m6triques;

-

avec q

:

(5sh

b/å)'/ö .rt

^{la sphäre ä l'infini} d'une vari6t6 ä courbur e

K

^<. _-bz

(lemme 1.14); ce cas inclut les groupes nilpotents, exemple 1.3;

-

cette propri6t6 est transmise aux sous-ensembles.

2.8. Lemm.

([1,

p.

1a3]). Soii

X un

ensemble rnunj d'une bonne structure quasiconforme

B, et

soit

Y

C X . De tout recouvrement de

Y p*

^{des boules de}

B ^{assez petites, on} peut extraire une sous-åm ille disjointe

B;.

telle gue Jes bouJes concentriques

qB;

recouvrent encore

Y.

2.9.

Proposition.

Soit

(X,0)

un ensemble muni d'une bonne structure qua- siconforme

(cf.

2.7).

Soit I

une famille

de

pailies de

X

munie d'une mesure positive d1. Pour

1 € f,

soit

m,

une mesure positive de masse

(

_{1 sur}

_1.

_Soit

p

>

1. On

fait

I'hypothöse suivante:

(c) iI

existe des constantes

r, r

telle ^que, pour toute boule

B

de B ^{assez petite,}

t ^mr(t

ⁿ

^rB)r-t

^d.1

^{1 r.}

J

?,erhna+o\

^t

Alors, pour

tout

^lc

)

1 et toute fonction

$

^{sur Jes} parties de X , ^{on a}

oi'foql _> ; 1l Jr§'''

^(t)o

dt.

En

particulier,

le

module 111[t'k't'rn1l) est non nul pour tout k

) \,

l.

)

qrk,

m)7.

Dimension conforme

et

sphöre ä

f

infini des variötös ä courbure

n6gative

193

Soit n. €

N.

Soit ^@i unrecouvrement de

X

pardes ,t,n-boules,i.e., ilexiste

des boules

B;

telles

que

B;

C a; C

kB;

e

8..

Chaque

7 € I

est recouvert par les boules

r&B;

telles que @i rencontre 7.

Utilisons le lemme de recouvrement 2.8. Choisissons une sous-famille o;,

i e

^11,

telle que les

rlcB;

soient deux ä deux disjointes, et les qrlcB; recouvrent

1.

^Par

construction, pour

i

e

Ir, kB;i'y _+0.

Par

d6finitior, $(qrkB;) <

_6q,k(ai).

Notons

,,rrr :

{ål :lji.r,'

Comme les boules qrlcB; recouvrent

7,

^{on a}

61,1;n' (qr,n)17)

< » ^ger

^{k B}

^;) : _D t,0)

_öGr ^{k B}

_{;) <} D, ^r,(r)

^{ö yx(a ;).}

ielt i i

Avec l'in6galit6 de Hölder,

il

vient, ql,l;nt(tr,n) _1r1n

= (» t;(t)öq,*(a;)pm,(rkB;n 7)'-') (D,*.,O*a-

ⁿ

r))'

ii

a I ^U{i

^{ö q,x(a ;)P mr(r lc B ; n 1)t - c}

i

car les rlcB;

i ₇

sont deux ä deux disjointes

et rnr(7) (

1. En int6grant,

il

vient

lr*t,L,n'(q',n)

(io

d,1

< »

^öo,k(or)o

lrr;(i*r4kBr ^{) 1)'-o}

^d,t

<

_"

»

^öq,*(a;)t.

i

Comme 61,7;n'(qr,n)17)

croit

avec

n)

l'intdgrale de gauche converge vers l'in- tdgrale,[ O''t

(z)A','

_?y), d"y,

d'oi

l'in6galit6 ^annonc6e.

On a donc montr6 ^que, pour

tout

,t

) l,

r Jr

^'

On conclut en remarquant que Me,k,l,m est une fonction croissante de

I et

m )

d6croissante de

p et k.

^tr

194 Pierre Pansu

2.10.

Exemple.

Les hypothöses de la proposition 2.9 sont satisfaites da^ns le cas suivant. Dans l'espace euclidien muni de sa structure quasiconforme standard on considäre la trace, dans le cube unit6, d'une famille de d-plans paralläles ä une d-face. Dans les hypothöses de la proposition 2.9, on peut prendre g

:

3

et r >

¹

quelconque.

Il

vient alors, inddpendamment de ^le

,

^L

) ^3k,

^m,

Me,k,t,-(f) - { I,t",

et est

fini

et non nul si p

-

ⁿ I d.

Plus g6n6ralement, on peut

traiter

le cas d'un groupe nilpotent muni d'un automorphisme eo semi-simple, dont toutes les valeurs propres sont r6e1les sup6- rieures

ä 1. Soit C

un polyödre convexe de I'algöbre de Lie dont les faces sont des sous-espaces o-invariants. La structure quasiconforme

B

est constitu6e des

images de exp

C p*

translations et homoth6ties (i.e., Ie groupe ä un paramötre d'automorphismes engendrd

par a).

On fixe un vecteur propre

u

de

a

^dans l'al- göbre de Lie

N ,

^o(u)

:

,\u, et un bor6lien .F', de mesure de Lebesgue finie et non nulle, dans un suppl6mentaire de

u

dans .Å/. On ^pose

La mesure d7 sur

I

^est obtenue comme suit: Si

o

^d6signe la forme volume biin- variante,

la

forme

irw

^est fermde donc basique, elle ddfinit une mesure

d7

sur l'espace des orbites, invariante par les translations ä gauche, homogäne de degrd

tr(o) - )

^sous les homoth6ties

e'o.

En particulier, l'hypothäse (c) est satisfaite pour

tout r )

^{L avec}

p: tr(a)l\.

Comme dans le cas euclidien, on trouve un module nul,

fini

et non nul, infini, suivant que

p

est strictement sup6rieur, 6gal ou strictement inf6rieur ä l'exposant critique

tr(a)/).

Enfin, on peut admettre des valeurs propres complexes. On 6crit ot

: et

o d2

ori o1 a ses valeurs propres r6elles positives, a2 est une isomdtrie pour une norme euclidienne

l.l

surl'algöbre de Lie qui rendles espaces propres de a1 orthogonaux, a1 et a2 commutent. On prend pour

C

la boule unitd _{u;

lrl : 1}

et on demande que u soit seulement un vecteur propre de o1 . L'exposant critique est fte tr(a) _I ),, ori o1(u)

: )u.

2.11.

Sous-ensembles

de R" .

Soit

Z

un sous-ensemble de

R"-1

_{, de di-} mension de Hausdorff d. Considdrons le sous-ensemble

Y : _{R x} Z

de

R",

muni de

la

structure conforme induite (boules m6triques), et

la

famille de courbes

I

form6e des droites

R x {r} , * e Z.

Soit

p

une mesure positive sut

Z.

On ^en ddduit une mesure sur

l.

Supposons qu'il existe une constante

C

telle que, pour toute boule de rayon

r,

p(B(,)) 1C

rd.

si p

< nld;

si p

)

^nld,,

Dimension conforme ei spåäre ä

f

infini des variötös å courbure

någative

195

Alors la proposition 2.9 s'applique et on conclut ^que 14it*t,k,t,m1f)

>

⁰ pour tous k

)

L, l.

> 3k, m)

^L.

3. Dimension conforme

D6sormais, lorsque nous parlerons de structure quasiconforme, nous suppo- serons que

X

est un espace topologique, et que les boules sont ouvertes.

3.1. D6flnition. La

dimension conforme

de

(X,

B),

^notöe

C(X,P)

^{est la}

borne infdrieure des rdels g tels que le module de la famille

I

^{de toutes les parties}

connexes, non rdduites ä un point, soit nul.

La

dimension ä

f

infini d'une vari6t6 simplement connexe

M

ä courbure n6- gative, notöe

q(dM)

est la dimension conforme de la sphöre ä

l'infini äM

munie de l'une des structures quasiconformes Conf((, rE).

Au paragraphe 2, ön ^a 6tabli ^des minorations de modules. Voici ^une majora- tion de module qui permet souvent de calculer des dimensions conformes.

3.2. Proposition.

Lorsque

(X,P)

est

un

^espace mötÅque non totaJement discontinu, sa dimension conforme est infårieure ou ögale å sa dimension de Haus- dorff-

En effet, consid6rohs la famille

I

^{de tous} les connexes non rdduits ^ä un point.

Fixons

a

<-7. ^Posons, pour _{o C}

X,

Alors, pour

tout

rrl part, pour

tout

l, >

ö(") -

^{diamätre (r)o.}

1, öt ^<

^{(.ö. On a donc}

S o|,*(x) StpeP,*(x) ^< (poP,'(x)

_S

(2t)oT{'p(x) Mp,k,l,*(f

₎

qui est nul

si

op est strictement supdrieur ä la dimension de Hausdorff. ^o 3.3.

Exemple.

Soit

X

^{un groupe de} Lie nilpotent muni d'un automorphisme contractant eo, soit B la structure quasiconforme correspondante, telle qu'elle est d6crite au pa,ragraphe 1.3. Si 0

< )r (

^.

^.. ( ),

sont les parties r6elles des valeurs propres de la d6rivation

a

sur l'algäbre de Lie, alors la dimension conforme ^est

q(x,,

p) - ^{År+ *Ä,}

En effet, on a d6crit en 2.10 une famille de courbes sur

X

^de module non nul pour cette valeur de I'exposarrt,

d'oi

q(X,

0) ) (fr ^{+ ... +} f")/)1.

Inversement,

,\1

196 Pierue Pansu

dans de nombreux cas, comme ceux ddcrits au paragraphe 3, la structure ^quasi- conforme B est constitu6e des boules d'une m6trique dont la dimension de Haus- dorff est exactement

()r + ... + )")/)r.

L'in6galit6 inverse r6sulte alors de la proposition 3.2.

En g6n6ral, on raisonne comme suit. Notons

d

Ia m6trique riemannienne in- variante ä gauche sur le groupe

N

obtenue ä

partir

de la norme sur l'algäbre de

Lie introduite en 2.10. Dans

la

d6finition 1.3 de

la

structure quasiconforme, on prend pour Bq la boule unit6 Ba(O, 1). On a alors, pour

tout t,

e'"(Bo) C

Ba,(o,e\'t).

Fixons un €

<

1. Dans la d6finition du module, ^posons

- oe\1t

I1 vient, pour

tout

^connexe

''*(t)2?{"0): ^*oo'

Or la mesur. 6'r'u est finie pour

g: ()r t...+ ^),)/)r,

^cU

vol(e"(86)) - e(rr*"'*r")t.

Par consdquent, pour

tout p ) g la

famille des connexes non

triviaux I

^{a un}

module nul,

d'oi

_c

^>

_C(X,

^p). _"

3.4. Exemple. Soit Y un

sous-ensemble

de R"

de

la

forme

H x Z, oi

dimension de Hausdorff 6gale

ä d.

Sous les hypothöses du paragraphe 2.9, i.e.,

il existeuneconstanteC

et unemesurepositive

p

telle qu"

p(B(x,r)) SCrd,la

dimension conforme de

Y

coincide avec sa dimension de Hausdorff, i.e.,

q(Y) : d+1.

4. Plongements

quasiconformes

Soit ^{q une} fonction continue croissante sur l'intervalle _[1 , 1m [ . On dira qu'une bijection

f

^,

^(X',0') - ^(X,0)

^{entre ensembles muni de structure} quasiconformes est 7-quasiconforme si

7-r p

est 7-6quivalente ä _B'.

Par d6finition,

la

dimension conforme est ^pr6serv6e par les transformations quasiconformes. Mais

il

^est

utile

de savoir comment

la

dimension conforme se

comporte sous des applications non n6cessairement surjectives.

4.1.

D6ffnition.

Soit

f

^,

^X'

^--+

^X

une application entre ensembles munis de structures quasiconformes

B' et

B. Soit ^s

>

¹ . On note

Bs

: _{sB

_I

B

e _0',

f-'(B) * ^0\.

Soit r1 une fonction continue croissante sur I'intervalle

[1,+m[ ^et

^s

>

^1.

ö(""(ro))

non

trivial

^l ^,,

Dimension conforme

et

sphöre ä

l'infini

des variötös å courbure

någative

797

L'applicatiot f

^:

X'

-+

X

est un pJongernent rTrs-quasiconforme si

(1)

pour

tout

^.B1, Bz e

§",

f-t (Br) c f-'(sr) + ^{tBt c rt!)Bzi}

(2) f-'p"

est 4-6quivalente

ä

_B.

On

dit

qrr"

.f

^est

^un

plongement quasiconforme si, pour

tout

^.E

>

0,

il

existe des donndes

?,s

^{avec s}

)

.B telles que

/

soit un plongement 7,s-quasiconforme.

4.2. Remarques.

Nous renvoyons aux articles _[1a]

et

_[16] qui clarifient les

liens entre les ^diverses d6finitions. Dans le cas des espaces mdtriques, notre d6fi- nition consiste ä supposer que "f ^:

X

^--+

X'

el,

f-r

^,

f(X')

^--+

X'

sont localement quasisym6triques au sens de _[14], ou quasimöbius au sens de _[16]. Dans le cas ori

X'

est un ouvert de Rp

, X : R', p ( _n,

_un plongement quasisym6trique est automatiquement quasiconforme en notre sens ([1.4, Theorem 3.22]).

La

raison pour laquelle on

introduit

les sods-familles

B"

est que, en ^gdn6-

,il, _l-1(P)

n'est 7-6quivalente ^{ä aucune} structure quasiconforme raisonnable, car certaines de ses boules sont vides.

On'a

d6fini en 2.11

la

structure quasiconforme

induite 0;v .rr un

^sous-

ensemble

Y

de (X, B). L'injection

Y

C

X

n'est pas automatiquement un ^plonge- ment quasiconforme. C'est tout de m6me le cas lorsque

Y

est connexe et

X

a une bonne structure quasiconforme, i.e., pour tous les exemples consid6r6srvoir 2.7.

4.3.

Lemme.

Soit

f

^,

^X'

-+ X . Si

B

est une bonne structure quasiconforme (cf. 2.7) et

si

l'espace de döpa.rt

Xt

^est connexe, alors

f

^{est un} plongement qua- siconforme si et seulement si

f

est q-quasiconformede

Xt

sur

/(X')

^{muni dela}

structure conforme induite.

(1) Soient

Br,

Bz

€ p"

telles que

/-1(81) c f-'(Br).

^Supposons

⁸²

^assez

petite pour qu'elle ne contienne pas

/(X').

^Comme

/-t(s-rBr) {

^{0, on a}

1r,

_n

Bz*0.

§

Supposons s

)

^{g, ori g est la constante} intervenant dans la d6finition d'une bonne structure quasiconforme. Si on avait

,(:8,),

on

aurait Bz C qs-'B,

CC Bt pour

tout

^(,

>

¹ ,

d'ot,

comme

lBt )

s.(,82

*

^A,

) ^ce qui est exclu

si Xt

est connexe. On a donc, 6(t,Bt)

<

6(s(,Bz),

lBt

C ^qs(,82.

198

(2) Soit B e 0',

^avec

f

(X') n

s-r

B

et une boule que

Pierre Pansu

s_) q.

Par hypothöse, on peut choisir un

point

fr €

B

centr6e en fi

.

Soit

B'

Ia boule concentrique telle

6(8'):r(1")

Comme s-r

BnB' * 0,or,a B' c q"-' B c ^B.

^{De m6me, comme}

kBnskBt I

^0,

on

a

lcB C qskBt. On a montr6 que

0"

^est 7-6quivalente

ä hfl*,)

avec 7(&)

:

qsk. a

4.4.

Lernxne. Soit

f

^,

^X' + X un

plongement q,s-quasiconforme. Soit

I

une famille de parties de

X' .

On a, pour

tout p ) 0, k' > ,t(7), k > ^7, l' )

^7,

l.)ksryoq(l'),m)7,

tr4P,k' ^,2' ,m

1l) <

1y1o,k,t,n«-l

(/(f

_)).

Soit

/

^une fonction sur les parties de

X.

Pour a' C

X'

_, ^posons

,b(o')

:inf{d(a)

_I

B

e

9", f(a') c ^B}.

Comparons les fonctions $2,

et

_{62. Soit} a un &-anneau de

X

rencontrarfi f

(X'),

i.e.,

B

C a C

kB.Laboule

ksB est dans

B"

^{donc q'}

: _f-t(lcsB)

est une &'-boule relativement

ä P',

^h'

:7(1).

Soit ä' _C

Xt

un sous-ensemble

tel

que

(a',ä')

soit

un l'-anneaude X',i.e.,pour:u*- B'€ _0', B'CatCä'Cl'8.

Comme

f-'P"

est r1-6quivalente ä

B', il

existe

B"

e

B"

^{telle que}

f-'(8") ^{c B' c}

^a'

^c

^d'

^c

^l'

^B c f-l (rt@)a").

Appliquons I'hypothöse (1) aux boules

ksB et B":

iI vient

q((.')8" c

^{11 o r1(l')ksB,}

donc (o,

rl«')8")

est un l-anneau de

X, l.: ksrl"nU).

On conclut ^que

,bG)sö(tB)<ö,(");

autrement

dit,6tant

donn6 une fr-boule

a

de

X,

on a construit une &'-boule a' de

X'

^{telle que}

f-'(")

^C

^a'

^et

0r@') <

_64").

Soit {a;}

^un recouvrement de

/(X')

^par des ,t-boules. Appliquons

la

cons-

truction prdcddente: on obtient un recouvrement de

X'

^par des å'-boules, et on conclut ^que

v1;k' 1x'1

3

^{o1'u (f}

^(x')).

Comme on a toujours, pour

tout

₇ C

X'

,

v''*(l) )

^tD1''r(*)

(/(r)),

on obtient l'in6galit6 annonc6e. o