D620 Le puzzle trapézoïdal [** à la main]
Solution
La construction à la règle et au compas d’un trapèze dont on connaît les quatre côtés a,b,c et d est facile à réaliser.
Soit un trapèze ABCD dont les bases sont AB=a et CD=d. Les côtés AD=b et BC=c sont tels que a < b < c < d. La parallèle menée de A à BC coupe la grande base en A’. Le triangle AA’D est donc défini par les trois dimensions d-a, c et b. On construit donc A’ sur AC tel que A’C = a puis les deux cercles de centres D et A’ et de rayons respectifs b et c. Ils se coupent en A. Même méthode pour construire B et le trapèze est ainsi tracé.
Quelles sont les conditions sur a,b,c,d pour qu’une telle construction soit possible ? On rappelle que l’on a par hypothèse a < b < c < d.
Il y a a priori 6 couples possibles (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d) et c,d) qui donnent les petite et grande base du trapèze.
Avec les deux premiers couples (a,b) et (a,c), on exprime que la différence de la grande base et de la petite base est supérieure à la différence des deux derniers côtés. Il en résulte d < - a + b + c
Avec le couple (a,d), on a la double inégalité b + c > d - a > c-b qui s’exprime encore par a – b + c < d < a + b + c.
Avec le couple (b,c), on a la condition c – b > d – a qui s’écrit encore d < a – b + c
Avec les deux derniers couples (b,d) et (c,d), on a les deux inégalités – a + b + c < d < a + b + c
En résumé comme les bases (a,b) et (a,c) sont incompatibles avec les bases (b,d) et (c,d) et que la base (a,d) est incompatible avec la base (b,c), il peut y avoir entre 0 et au maximum 3 constructions de trapèzes non superposables.
Application numérique.
1) (a,b,c,d) = (3,5,7,16). On voit immédiatement que d=16 > a + b + c = 15. Aucune construction n’est possible.
2) (a,b,c,d) = (1,4,8,11). Une seule construction possible avec d = grande base = 11, a = petite base = 1, b = 4 et c = 8.
3) (a,b,c,d) = (3,4,5,7). Trois constructions sont possibles avec petite base et grande base définies par (a,b) = (3,4), (a,c) = (3,5) et (a,d) = (3,7).
Il est possible de reconstituer le trapèze seulement quand le segment qui joint les milieux de deux côtés non adjacents est parallèle aux bases. Si le segment relie les milieux de la grande base et de la petite base, il y a indétermination.
Cas n°1 : le segment MN est parallèle au deux bases et coupe PH en T. C’est donc la croix rouge qui reste sur la feuille de papier.
On a par hypothèse MT = x, TN = y , PT = u et TH = v avec v > u.
On désigne par a=AB, b=BC, c=AD et d=CD les côtés du trapèze à reconstituer. Les triangles APB et CDP étant semblables, on a la relation a/d = (v-u)/(u+v). Par ailleurs x+y=(a+d)/2.
D’où a = (x+y)*(v-u)/v et d=(x+y)*(v+u)/v.
Enfin si on désigne par z=DH, la similitude des triangles PST et PDH entraînent la relation (x-a/2)/z = u/(u+v). D’où la valeur de z (qui peut être < 0) en fonction de x,y,v et u. Les quatre sommets D puis C puis A et B du trapèze sont ainsi déterminés sans ambiguïté.
Cas n°2 : le segment MN joint les milieux des deux bases et passe par P extrémité du segment PH. C’est la potence bleue qui reste sur la feuille de papier.
Du point N on mène la perpendiculaire à PH qui sert de support à la grande base du trapèze.
Un point D quelconque est choisi sur cette droite. On considère le point C symétrique de D par rapport à N. Les droites CP et DP coupent la parallèle menée de M à CD aux points A et B.On a donc bien un trapèze ABCD mais c’en est un parmi une infinité d’autres… La probabilité de reconstituer le trapèze initial est donc nulle.
