LL calcul

(1)

Quand nous jouions à la marelle - Cerisier rose et pommier blanc J’ai cru mourir d’amour pour elle - En l’embrassant.

Avec ses airs de demoiselle - Cerisier rose et pommier blanc Elle avait attiré vers elle - Mon cœur d’enfant.

Ballade de Jacques Larue/Louiguy

L L

es coordonnées cartésiennes relient l’algè- bre et la géométrie et transforment tout pro- blème géométrique en un problème algébrique dont la résolution devient, dans bien des cas, une affaire de patience dans les calculs. La traduction inverse d'énoncés d'algèbre en énoncés géométriques concré- tise des théorèmes qui, sinon, seraient indigestes (par exemple, la résolution des systèmes d'équations linéaires).

En revanche, l'arithmétique se traduit assez rarement en figures géométriques, sauf pour ce qui est de la spirale de Stanislas Ulam, la parabole de Yuri Matiyasevich et Boris Stech- kin et quelques autres constructions de ce type (voir l’article de Françoise Dal’Bo dans le numéro de septembre 2007 de Pour la Science). Benoît Cloitre, ancien pilote de chasse et amateur passionné de mathématiques, a imaginé une inté- ressante représentation géométrique des nombres :le tableau arithmétique.Ce tableau, connu semble-t-il d’Euler, a été exploité par B. Cloitre qui en a fait un art subtil et riche en surprises, fondé sur des parcours par sauts répétés sur les cases d’une marelle infinie. Cette marelle nous fait regarder d’un œil d’enfant émerveillé les propriétés « aimables » des nombres.

Nous découvrons ainsi de multiples liens entre nombres et figures dessinées sur le tableau : pour qui sait le regarder, ce tableau permet de connaître les diviseurs d’un nombre, d’identifier les nombres premiers, les nombres premiers jumeaux, de visualiser la conjecture de Goldbach et de cal- culer des suites fractales.

Le tableau arithmétique est de construction simple : – sur la première ligne, on place les entiers par ordre croissant 1, 2, 3, 4,... ;

– sur la deuxième, on place à nouveau les entiers par ordre croissant, mais en les espaçant d’une case ;

– sur la troisième ligne, on place toujours les entiers par ordre croissant, cette fois en les espaçant de deux cases, etc.

Les cases vides contiennent des zéros. Les cases rem- plies de la deuxième ligne correspondent aux colonnes d’in- dice impair n et valent 1 + (n – 1)/2 et, plus généralement, la case T(i, j) à l’intersection de la ligne i et de la colonne j (i et j deux entiers positifs) contient une valeur non nulle si et seulement si j – 1 est un multiple de i. La valeur de cette case est alors l’entier : 1 + (j – 1)/i = (j + i – 1)/i.

Diviseurs et nombres premiers

Le premier intérêt du tableau est qu’il montre instantanément les diviseurs d’un nombre n : ce sont les nombres situés sur la diagonale partant du n de la première ligne (case (1, n)), et progressant sur cette diagonale vers le bas à gauche, nous dirons dans la direction SO.

On se persuade de cette propriété en examinant les lignes successives du tableau (voir la figure 1A) et on la démontre en considérant les coordonnées de la case (1, n) après i déplacements d’une case dans la direction SO (voir la figure 1B). Les cases atteintes sont de coordonnées (1 + i, n – i ) pour i = 0, 1, 2 ... Les cases non vides sont celles où n – i – 1 est divisible par 1 + i, c’est-à-dire où n est divisible par 1 +i. Ces cases contiennent l’entier :

T (1 + i, n – i ) = (1 + i + n – i – 1)/(1 + i ) = n/(1 + i ), c’est-à- dire un diviseur de n. Aucun n’est oublié puisque, de ligne en ligne, tous les entiers inférieurs à n sont « essayés ».

De cette première propriété résulte une caractérisation géo- métrique des nombres premiers : un entier n est premier si et seulement si toutes les cases de la diagonale SO partant den sont vides jusqu’au 1 de la première colonne. Ainsi 5, 7, 11 et 13 sont premiers comme indiqué sur la figure 1D.

Notons que la méthode graphique ne nous aiderait guère à trouver des records de nombres premiers, car le tableau

Logique et calcul

La marelle arithmétique

Les secrets des nombres se cachent-ils dans un jeu de marelle joué sur un tableau arithmétique ? Avec des règles adaptées par Benoît Cloitre, un amateur passionné, le tableau arithmétique livre des théorèmes et des conjectures inattendus.

90 Jean-Paul Delahaye

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

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1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

D 1 2 3 4 5 6 7

j

. .

. . 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 1

2 3

n–i

1+ i

i

i cases dans la dire

ction SO

T(i, j)=

1+(j–1)/i

n

1. Le tableau arithmétique.

(A)Les lignes successives du tableau contiennent les entiers, espacés d’une, deux, trois cases,etc. Ainsi, dans la deuxième ligne, les cases occupées de rang nindiquent les résultats de la division par 2 des cases n+ 1 de la première ligne, et les cases de rang noccupées de la troisième ligne indiquent le résultat de la division par 3 des nombres des cases n+ 2 de la première ligne. (B)Géné-

ralement, la valeur de la case T(i, j) est non vide quand j– 1 est un multiple de i; la valeur de la case est alors 1 + (j– 1)/i.(C)Les diviseurs d’un nombre apparaissent sur les diagonales descendant vers la gauche, dans la direction Sud-Ouest. (D)Les nombres premiers sont donc les nombres ndont les cases (ici en noir) des diagonales Sud-Ouest asso- ciées ne rencontrent aucun entier, sauf 1 et n.

(3)

92

à mettre en œuvre serait alors trop grand, même pour les mémoires d’un ordinateur puissant. L’intérêt du résultat est ici principalement de disposer d’une méthode visuelle de repérage des nombres premiers… et de fournir de petits exer- cices pour les amateurs d’arithmétique.

Le résultat suivant concerne la conjecture non démon- trée des nombres premiers jumeaux. On nomme paire de nombres premiers jumeaux tout couple de deux nombres premiers espacés de deux unités. Exemples : 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31. Bien que l’on connaisse des paires de nombres premiers jumeaux composés de nombres très grands, personne aujourd’hui n’a démontré qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

Le nombre 2 003 663 613 ×2^{195 000}– 1, un nombre premier de 58 711 chiffres, est le premier élément de la plus grande paire identifiée aujourd’hui (découverte en janvier 2007).

Le tableau des 20 paires de nombres premiers jumeaux les plus grandes connues est donné sur :

http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1.

Voyons la méthode qu’utilise B. Cloitre pour repérer géométriquement des nombres premiers jumeaux.

On considère simultanément la diagonale SO et la diagonale SE partant du n de la première ligne. Le nombre n est le second élément d’une paire de nombres premiers jumeaux si et seulement si la diagonale SO ne rencontre que le 1 de la première colonne du tableau et la diagonale SE ne rencontre rien d’autre qu’un 3. La figure 2 montre que (5, 7) et (11, 13) sont des paires de nombres premiers jumeaux.

La démonstration de cette caractérisation graphique repose sur une première remarque, déjà vue, que l’entier n est premier si la diagonale SO partant de n rencontre uni- quement un 1.

Démontrons le second point : le nombre n – 2 est premier si et seulement si la diagonale SE, partant de n, rencontre en premier un 3. Les cases d’une diagonale SE partant de (1,n) sont les cases (1 + i, n + i ) pour i = 2, 3, ... Pour i = n – 3, nous avons : T(1 + n – 3, n + n – 3) = T(n – 2, 2n – 3)

= (3n – 6)/(n – 2) = 3. La case de la diagonale SE atteinte après n – 3 sauts diagonaux d’une case est donc non vide et contient un 3.

Les cases i de cette diagonale pour i = 1, 2, ..., n – 4 sont vides si et seulement si l’entier n + i + i + 1 – 1 = n + 2i n’est pas divisible par 1 + i ; autrement dit, si n – 2 + 2(i + 1) n’est pas divisible par i + 1 ; autrement dit encore, si n – 2 n’est pas divisible par i + 1. En considérant toutes les cases pour i = 1, 2, ..., n – 4, on obtient donc que n – 2 est premier si et seulement si toutes les cases de la diagonale SE jusqu’au 3 sont vides.

La conjecture concernant les nombres premiers jumeaux se traduit alors en termes géométriques sous la forme : dans le tableau arithmétique, il existe une infinité de nombresn dont les diagonales SO et SE ne contiennent respectivement qu’un 1 et un 3. Comme précédemment, rien n’indique que cette traduction fera avancer la résolution de la conjecture, mais il est satisfaisant d’en avoir une version imagée.

Une autre conjecture célèbre concernant les nombres premiers est la conjecture de Christian Goldbach (1690-1764), qui affirme que tout nombre pair à partir de 4 est la somme de deux nombres premiers.

La conjecture de Goldbach

Goldbach, qui fut précepteur du tsar Pierre I^er, proposa cette conjecture à Leonhard Euler et, depuis, elle reste mystérieuse.

Elle a été vérifiée pour tous les nombres pairs jusqu’à 3 ×10¹⁷, mais cela ne prouve pas qu’elle est juste ! En 2000, dans le but de faire de la publicité pour le livre Oncle Petros et la conjecture de Goldbach, du romancier Apostolos Doxiadis, l’édi- teur britannique Tony Faber offrit un prix de un million de dollars à qui proposerait une preuve de la conjecture de Goldbach (le thème central de l’histoire, parue en français aux éditions du Seuil en 2002). La démonstration devait être proposée avant avril 2002 ; personne ne réclama le prix, qui n’a donc jamais été attribué... et maintenant, même si vous prouvez la conjecture, il n’y a plus rien à gagner, sinon la gloire.

La caractérisation graphique de B. Cloitre considère cette fois des sauts de case en case de type (– 1, –k) « une case vers le bas, k cases vers la gauche », et de type (– 1, k)

« une case vers le bas et k cases vers la droite ». Cette marelle, qui part du nombre n de la première ligne, dessine un « sillage ». Pour savoir si le nombre pair 2n s’écrit sous la forme d’une somme de deux nombres premiers, B. Cloitre propose de considérer tous les sillages de ce type (pour k = 1, 2, 3, ...) partant du nombre n + 1. Son résultat affirme que le nombre 2n est la somme de deux nombres premiers si et seulement si l’un des sillages de n + 1 correspondant à l’entier k ne rencontre que k + 2.

Par exemple, l’entier 16 = 2×8 = 2n est la somme de deux nombres premiers, car le sillage pour k = 3, centré sur n + 1 = 9, ne rencontre que l’entier k + 2 = 5 (voir la figure 3).

La conjecture de Goldbach s’énonce donc sous forme géo- métrique et devient l’affirmation qu’en chaque entier n, une branche du sillage associé à un entier k ne rencontre que k + 2. Vous trouverez la démonstration que cette formulation géométrique est équivalente à la conjecture de Goldbach dans le document rédigé par B. Cloitre, sur http://www.les- mathematiques.net/articles/Chemins.pdf.

Le cavalier des échecs repère les nombres premiers

Parmi les chemins obliques simples, il est tentant d’exami- ner ceux correspondant au cavalier du jeu d’échecs. Curieu- sement, tous conduisent à des nombres premiers.

Voici quatre résultats rattachant les chemins de cavalier aux nombres premiers.

– Le cavalier se déplaçant dans la direction SSE (en jaune sur la figure 4) en partant de n atteint une case 2 sans rencontrer d’autres entiers si et seulement si 2n – 3 est un nombre premier.

– Le cavalier se déplaçant dans la direction SEE (en bleu) en partant de n atteint une case 4 sans rencontrer d’autres entiers si et seulement si n – 3 est un nombre premier.

– Le cavalier se déplaçant dans la direction SSO (en vert) en partant de n atteint une case 1 sans rencontrer d’autres entiers si et seulement si 2n – 1 est un nombre premier.

– Le cavalier se déplaçant dans la direction SOO (en rouge) en partant de n ne rencontre jamais d’entiers si et seulement

(4)

93

93 2. Les nombres premiers jumeaux

sont géométriquement

caractérisés par le fait que les deux diagonales tracées à partir du second élément d’une paire (son « sillage ») rencontrent unique- ment 1 pour la première et 3 pour la seconde.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

2n n n+1 1 k=3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

3. La conjecture de Goldbach

exprime que tout nombre pair à partir de 4 est la somme de deux nombres premiers. Cela se traduit par le fait géométrique qu’un des sillages k(ici 3, en rouge) du nombren (ici 8) correspondant à 2n (ici 16) ne rencontre que k+ 2 (ici 5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

17 est premier

13 est premier

23 est premier

53 est premier

Mouvements du cavalier

4. Les mouvements des cavaliers du jeu d’échecs

qui partent d’une case n(ici 10) de la première ligne donnent, dans la direction SSE, des cases jaunes vides jusqu’à une case 2 si 2n– 3 (c’est-à-

dire 17), est premier. De même, les trajets du cavalier sur les cases bleues roses et vertes déterminent la primalité de nombres comme indiqués dans le texte : respectivement (n– 3), (n+ 1) et (2n– 1).

(5)

sin + 1 est un nombre premier. La figure 4 montre ainsi que 17, 13, 23 et 53 sont des nombres premiers.

Le premier et le troisième résultats conduisent à une nouvelle caractérisation des nombres premiers jumeaux : 2n – 3 et 2n – 1 constituent une paire de nombres premiers jumeaux si et seulement si les chemins SSO et SSE partant de n ne rencontrent respectivement qu’un 1 et un 2.

Fractale, mélange et dragon

Le parcours du cavalier livre une suite étrange : la suite de Clark Kimberling et Harris Shultz, qui est la suite numéro A003602 dans l’Encyclopédie des suites d’entiers de Neil Sloane (http://www.research.att.com/~njas/sequences/).

Avant d’indiquer les étranges propriétés de cette suiteK(n), voyons comment la marelle d’un cavalier la parcourt sur le

tableau arithmétique. Pour obtenir le terme K(n) de la suite, on place un cavalier juste au-dessous de n, c’est-à-dire sur la case (2,n), et on lance alors le cavalier dans la direction SSO, jusqu’à atteindre une case non vide (voir la figure 5).

La valeur inscrite dans cette case estK(n).

Cette suite est remarquable, car elle possède une structure fractale : en enlevant la première occurrence (indiquée en rouge) de chaque entier (elles occupent toutes les positions impaires), on retrouve la suite elle-même ! 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 5, 3, 6, 2, 7, 4, 8, 1, 9, 5, 10, 3, 11, 6, 12, 2, 13, 7, 14, 4, 15, 8, 16, 1, 17, 9, 18, 5, 19, 10, 20, 3, 21, 11, 22, 6, 23, 12, 24, 2, 25, 13, 26, 7, 27, 14, 28, 4,29, 15, 30, 8, 31, 16, 32, 1, 33, 17, 34, 9, 35, 18, 36, 5, 37, 19, 38, 10, 39, 20, 40, 3, 41, 21, 42... Cette suite évoque les suites fractales rencontrées dans cette rubrique en mars dernier. La suite de Kimberling et Shultz vérifie les récurrences K(2n) = K(n) et

94 94

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

K(n) 1 1 2 1 3 2 4 1 5 3 6 2 7 4 8 1 9 5 10 3 11 6 12 2 13 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 3 1 1 1 2 4 2 3 1 1 1 2 1 1 1 Début K(1)=1 K(2)=1 K(3)=2 K(4)=1 K(5)=3 K(6)=2 K(7)=4

5. La suite K(n) est fractale :

quand on élimine la première occurrence de chaque nombre, on retrouve la suite initiale. K(n) s’obtient en plaçant un cavalier sur la case (2,n) et en le faisant partir dans la direction SSO : le contenu de la première case non vide qu’il rencontre est K(n). En bas, construction de la courbe du dragon dont les segments tournent à gauche ou à droite selon la parité des valeurs de K(n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

1 2

9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7

A B C

6. Chemins courbes et trajet de Galton :

ces chemins courbes (A)et les trajectoires (B)analogues aux descentes sur une planche de Galton (C)permettent de trouver de nouvelles propriétés du tableau arithmétique et d’émettre des conjectures.

(6)

K(2n + 1) = n + 1. Elle est curieusement associée à un mélange de cartes. On saisit dans la main droite un paquet de cartes numérotées de 1 à n. Alternativement, on place la carte du dessus du paquet (a) sous le paquet qu’on tient et (b) sur la table (ce qui forme petit à petit un nouveau paquet), jusqu’à épuisement des n cartes. Avec n cartes, la position de la carte 1, quand elles ont toutes été posées sur la table, est K(n) dans le paquet sur la table. Faites l’essai !

La suite K(n) est fractale dans un second sens : en des- sinant une ligne brisée qui tourne à gauche quand K(n) est impair et à droite quand K(n) est pair, on retrouve la célèbre courbe du dragon découverte par J. Heighway, B. Banks et W. Harter, de la NASA, et rendue populaire par Martin Gard- ner en 1967 (voir la figure 5).

Chemins en zigzag et de Galton

Les chemins des marelles sur le tableau arithmétique ne sont pas nécessairement rectilignes. B. Cloitre considère par exemple un chemin courbé en arrière : lors du pas numéro n, on descend d’une case et on se déplace en arrière de n cases.B.Cloitre démontre qu’un tel chemin ne rencontre aucun entier si et seulement si le point de départ est de la forme 2^k+ 1.

Ces nombres apparaissent avec les plus simples des marelles en zigzag, quand on descend en faisant alternativement un pas à droite, un pas à gauche. Sur cette marelle, B. Cloitre a démontré que, partant de n, on ne rencontre aucun entier si et seulement si n est de la forme 2^k+ 1.

Tous les problèmes de parcours ne sont pas résolus, et B.Cloitre propose une double conjecture concernant « les chemins de Galton » : on part du 2 de la colonne n du tableau (dessiné ici en inversant l’ordre des lignes) et on descend en diagonale SE jusqu’à rencontrer une case non vide impaire, ce qui fait changer de direction pour la diagonale SO (comme les clous font changer de direction les billes lancées sur la planche de Galton (voir la figure 6B). On poursuit ainsi en chan- geant de direction à chaque case non vide impaire rencontrée.

Le parcours finit par arriver sur la première ligne du tableau dans une case, nécessairement paire, qu’on note G (n). La figure 6 illustre que G(9) = 10.

B. Cloitre a noté que la suite numérique G(n)/2 possède une similitude avec la fonction indicatrice d’Euler ϕ(pourn, sa valeur ϕ(n) est le nombre d’entiers inférieurs à n et premiers avec n), avec laquelle d’ailleurs elle coïncide pour les nombres premiers.La figure ci-dessous représente les valeurs superposées des deux suites.

Comme c’est le cas pour la fonction d’Euler, on peut conjecturer qu’une infinité de nombres pairs ne sont pas atteints par G (58 est l’un d’eux).

De plus, pour la fonction d’Euler, on sait que :

Il est donc naturel de conjecturer que la limite

existe... et peut-être fait-elle apparaître le nombreπ.

Un amateur bien éclairé

D’autres propriétés du tableau ont été étudiées par B. Cloi- tre et un article en collaboration avec le mathématicien Oli- vier Bordellès est en préparation en plus du document disponible déjà cité. Ce n’est pas la première publication mathématique de B. Cloitre, dont le travail fait en amateur n’a rien à envier à celui des chercheurs professionnels.

Outre plus de 4 000 contributions à l’Encyclopédie des suites de Neil Sloane, dont certaines ont donné lieu à des études détaillées menées par d’autres mathématiciens, une des plus belles découvertes de B. Cloitre est un lien inat- tendu entre πet e, deux constantes fondamentales des mathé- matiques. Par le biais de deux suites en miroir (u_n) et (v_n) définies par des formules assez proches, on obtient des convergences vers πet vers e (voir les démonstrations sur http://www.pi314.net/miroir.php).

Une formule très simple et nouvelle pour la constante ζ(2) =π²/6 a aussi été proposée et démontrée par B. Cloi- tre (voir http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunc- tionZeta2.html).

Les méthodes de travail de ce mathématicien peu ordi- naire sont fondées sur des essais numériques prolongés et patients. D’après lui, « l’époque est formidable, car l’expéri- mentation mathématique est accessible à tout le monde.

N’importe qui par exemple peut utiliser PARI/GPqui est télé- chargeable gratuitement (c’est un programme de l’Univer- sité de Bordeaux). Avec un peu d’imagination, on arrive à dénicher des choses en phase avec la recherche actuelle. »

0 7 13 19 20 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 100

80 60 40 20 0

lim 1 n ²

3 π ²

Σ

k =1 n

ϕ(k) =

n

lim 1 n ²

Σ

k =1

n

G(k)

n

lim

n n e

n u

2 1 = 0 u _{n + 2} u u

n + 1 n

u n

=

= lim 2n v n π

= u ₂= 1 + v ₁= 0 v _{n + 2} v

v

n + 1

= n

v ₂= 1 +

n n

Jean-Paul DELAHAYE est professeur d’informatique à l’Université de Lille. Il remercie Benoît Cloitre qui l’autorise à publier ici pour la pre- mière fois ses beaux résultats sur le tableau arithmétique.

B. CLOITRE, Chemins dans un tableau arithmétique,2007 (télécharga- ble sur http://www.les-mathematiques.net/articles/Chemins.pdf).

L. EULER, Opera Omnia, série I, vol. 3, pp. 480-496.

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Au te u r & Bib lio g ra p h ie

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