d et e n'étant pas multiple de 101, f l'est.

A1707. La tache d'encre

Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :

« Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135, ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e,f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) = ,

avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x, y et z ».

Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache, donc) a une solution unique.

Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f).

Solution de Paul Voyer

d et e n'étant pas multiple de 101, f l'est.

c, d et e sont impairs

a, d, e, f n'étant pas multiples de 5, 5 divise c et seulement c.

f est pair non divisible par 4. (def) b est multiple de 4 (bcd)

Même raisonnement sur 2 vs 4, et sur 3, 9 vs 27.

On trouve :

ppcm(fab) = 2020 a = 4

b = 20

c = 15

d= 27

e = 3

f = 202.