Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :
« Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135, ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e,f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) = avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x,y et z ».
Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache,donc) a une solution unique.
Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f).
60=22*3*5 , 540=22*33*5, 135=33*5, 5454=2*33*101 , 1212=22*3*101 :
33 n’apparait que là où d intervient, et d divise pgcd(540,135,5454)=27 : donc d=27 ; 5 n’apparait que là où c intervient, et c divise pgcd(60, 540, 135)=15 : donc c=5 ou 15 ; e divise pgcd(135, 5454 et 1212)=3 donc e=1 ou 3.
Comme ppcm(c, d)=135, b est divisible par 4 ; et b divise 60 donc b=4, 12, 20 ou 60 ; f est divisible par pgcd((5454,1212)=202 : f=202 ou 606 ; a divise 12 et ppcm(f, a)=404 ou 1212 mais f n’est pas divisible par 4, donc a=4 ou 12 et ppcm(a, b)= 4, 12, 20 ou 60.
Donc ppcm(f, a, b)=404, 1212, 2020 ou 6060.
Les valeurs 1212 et 6060 peuvent être obtenues de multiples façons, mais 404 ne peut être obtenu que pour (a, b, c, d, e, f)=(4, 4, 15, 27, 3, 202) qui ne convient pas car a=b ; et 2020 pour (4, 20, 15, 27, 3, 202) qui est l’unique solution.
