(ii) la forme quadratiqueh(v, w) =f(v)−g(w)sur l’espace vectorielV ⊕W représente0

DMA – École normale supérieure (2013/2014) 13 janvier 2014

Examen Algèbre 1 Responsable: O. DEBARRE

Durée: 3 heures

Important : vous avez droit de consulter le polycopié et d’utiliser sans démonstration ses résultats (sauf ceux des exer- cices ou des TD). Si vous voulez utiliser des résultats hors du cours, il faut les démontrer (sauf mention explicite du contraire).

Exercice 1.SoitK un corps de caractéristique différente de 2 et soitf une forme quadratique non dégénérée sur un K-espace vectorielV de dimension finie non nulle. Soita∈K. On dit quef représenteas’il existev∈V non nul tel quef(v) =a.

a) La forme quadratiquex²₁+x²₂+x²₃−7x²₄représente-t-elle 0 surQ⁴? b) Sif représente0, montrer quef représente tout élément deK.

c) Soitgune forme quadratique non dégénérée sur unK-espace vectorielWde dimension finie non nulle. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) il existea∈K^∗qui est représenté à la fois parfet parg;

(ii) la forme quadratiqueh(v, w) =f(v)−g(w)sur l’espace vectorielV ⊕W représente0.

Exercice 2.On fixe un entiern≥4. Pour toutg ∈S_n, on noteϕ(g)le nombre de points fixes de la permutationget on pose, pour tout entierm≥0,

$(m) := X

g∈Sn

ϕ(g)^m.

a) Calculer$(1),$(2),$(3)et$(4).

b) On rappelle que le groupeS_nopère sur l’espace vectorielV =Cⁿpar permutation des coordonnées :

∀g∈G ∀(x₁, . . . , x_n)∈V g·(x₁, . . . , x_n) = (x_g(1), . . . , x_g(n))

et que cette représentation est somme de la représentation triviale et d’une représentation irréductible de dimensionn−1 qu’on noteV0. Le groupeSnopère aussi surV ⊗V par

∀g∈G ∀v, w∈V g·(v⊗w) =g(v)⊗g(w).

Décomposer cette représentationV ⊗V deSnen somme de représentations irréductibles.

Exercice 3.SoitV l’espace vectoriel réel des matrices4×4antisymétriques réelles.

a) Montrer que le pfaffien définit une forme quadratiquefsurV dont on déterminera la signature.

b) Montrer que l’action deGL(4,R)surV définie par

∀P ∈GL(4,R) ∀M ∈V P·M =P M^tP induit un morphisme de groupesϕ: SL(4,R)→O(V, f).

c) Déterminer le noyau deϕ.

d) Que pouvez-vous dire de l’image deϕ? On poseJ :=

0 I2

−I2 0

et on noteH ⊂V l’hyperplan orthogonal àJ pour la forme quadratiquef. e) Quelle est la signature de la restriction de la forme quadratiquef àH?

f) Que pouvez-vous dire du groupeϕ(Sp(4,R))?

T.S.V.P.

alorsP(λ1, . . . , λn) =Q(λ1, . . . , λn)si et seulement siP =Q.

c) Montrer queGL(V)agit naturellement sur l’espace vectorielS^dV. On en déduit une représentationρddeGL(V) dansS^dV.

d) SoitWun sous-espace vectoriel non nul deS^dV stable par l’action deGL(V). Montrer qu’il existe un sous-ensemble de la baseBdqui engendreW (Indication :on pourra, avec les notations de b), considérer l’automorphisme deV qui envoieeisurλiei).

e) En déduire que la représentationρdest irréductible.

Exercice 5.Soitpun nombre premier et soitGunp-groupe, c’est-à-dire un groupe fini dont le cardinal est une puissance dep. Montrer que toute représentation irréductible deGdans un espace vectoriel sur un corps de caractéristiquepest de dimension 1.

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DMA – École normale supérieure (2013/2014) 13 janvier 2014

Corrigé de l’examen Algèbre 1 Responsable: O. DEBARRE

Exercice 1.SoitKun corps de caractéristique différente de 2 et soitf une forme quadratique non dégénérée sur un K-espace vectorielV de dimension finie non nulle. Soita∈K. On dit quef représenteas’il existev∈V non nul tel quef(v) =a.

a) La forme quadratiquex²₁+x²₂+x²₃−7x²₄représente-t-elle 0 surQ⁴?

En chassant les dénominateurs, cela revient à voir s’il existe des entiers non tous nulsx₁, x₂, x₃, x₄premiers entre eux dans leur ensemble tels quex²₁+x²₂+x²₃−7x²₄ = 0. On réduit modulo 8 pour obtenirx²₁+x²₂+x²₃+x²₄ ≡0 (mod 8). Les carrés modulo 8 sont 0, 1 et 4, donc cette équation n’a pas de solution autre que(0,0,0,0),(4,4,0,0), (4,4,4,4)et leurs permutations. On en déduit quex1,x2,x3etx4 sont tous pairs, ce qui contredit le fait qu’ils sont premiers entre eux dans leur ensemble. Cette forme quadratique ne représente donc pas 0¹.

b) Sifreprésente0, montrer quef représente tout élément deK.

Par définition, f représente 0 si et seulement si f a un vecteur isotrope x(non nul). Par le lemme II.4.7, c’est équivalent à dire que(V, f)contient un plan hyperbolique, c’est-à-direy ∈ V isotrope avecB(x, y) = 1. Pour tout a∈K, on a alorsf(x+^a₂y) =a.

c) Soitgune forme quadratique non dégénérée sur unK-espace vectorielW de dimension finie non nulle. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) il existea∈K^∗qui est représenté à la fois parfet parg;

(ii) la forme quadratiqueh(v, w) =f(v)−g(w)sur l’espace vectorielV ⊕W représente0.

Il est clair que (i) implique (ii) puisque sia=f(v) =g(w), avecvetwnon nuls, alorsh(v, w) = 0.

Inversement, si(v, w)6= 0eta:=f(v) =g(w), alors, – ou biena6= 0, auquel casvetwsont non nuls et on a (i) ;

– soita= 0. Supposons par exemplev6= 0. Par b),f représente tout élément deK. Commegest non dégénérée et queW 6= 0, il existew⁰∈W {0}avecg(w⁰)6= 0. Alorsg(w⁰)est représenté parf et parget on a encore (i).

Exercice 2.On fixe un entiern≥4. Pour toutg∈Sn, on noteϕ(g)le nombre de points fixes de la permutationget on pose, pour tout entierm≥0,

$(m) := X

g∈S_n

ϕ(g)^m.

a) Calculer$(1),$(2),$(3)et$(4).

Comme dans la preuve de la prop. IV.2.16 du cours, pour touta∈ {1, . . . , n}, on poseg_a = 0sig(a)6=a, etg_a = 1 sig(a) =a. On a

X

g∈Sn

ϕ(g) = X

g∈Sn

n

X

a=1

ga= X

1≤a≤n

X

g∈Sn

ga=n·(n−1)! =n!.

Pour$(2), ça a été vu en cours : c’est2n!.

Pour$(3), on a de nouveau

$(3) = X

g∈Sn

Xⁿ

a=1

ga

³

= X

1≤a,b,c≤n

X

g∈Sn

gagbgc

= X

Card{a,b,c}=1

X

g∈Sn

gagbgc+ X

Card{a,b,c}=2

X

g∈Sn

gagbgc+ X

Card{a,b,c}=3

X

g∈Sn

gagbgc

= n·(n−1)! + 6 n

2

·(n−2)! + 6 n

3

·(n−3)! = 5n!.

1. On peut montrer que toute forme quadratique surQen au moins 5 variables et qui n’est pas définie (positive ou négative) représente 0.

Pour$(4), on a

$(4) = X

g∈Sn

Xⁿ

a=1

g_a⁴

= X

1≤a,b,c,d≤n

X

g∈Sn

gagbgcgd

= X

Card{a,b,c,d}=1

X

g∈Sn

gagbgcgd+ X

Card{a,b,c,d}=2

X

g∈Sn

gagbgcgd+ X

Card{a,b,c,d}=3

X

g∈Sn

gagbgcgd

+ X

Card{a,b,c,d}=4

X

g∈Sn

gagbgcgd

= n! + 8 +

4 2

n 2

·(n−2)! + 3·12 n

3

·(n−3)! + 4!

n 4

·(n−4)! = 15n!.

Pour être sûr de ne pas se tromper, on peut aussi remarquer que ce nombre s’écrit visiblementc·n!, aveccindépendant den≥4, et calculercen faisantn= 4en utilisant les cardinaux des classes de conjugaison donnés dans le §IV.2.1 :

X

g∈Sn

ϕ(g)⁴= 1·4⁴+ 6·2⁴+ 8·1⁴= 256 + 96 + 8 = 360 = 15·4!.

b) Le groupeS_nopère sur l’espace vectorielV =Cⁿpar permutation des coordonnées. Il opère aussi surV ⊗V par

∀g∈G ∀v, w∈V g·(v⊗w) =g(v)⊗g(w).

Décomposer cette représentationV ⊗V deSnen somme de représentations irréductibles.

On a

V ⊗V = (V0⊕Ctriv)⊗(V0⊕Ctriv) = (V0⊗V0)⊕V0⊕V0⊕Ctriv

et on a vu en cours que les représentationsV0etCtrivsont irréductibles (prop. IV.2.16). On peut calculer la multiplicité deCtrivdansV ⊗V par

hχV⊗V, χ_trivi= 1 n!

X

g∈Sn

tr(ρ_V⊗V(g⁻¹)) = 1 n!

X

g∈Sn

tr(ρ_V(g⁻¹))²= 1 n!

X

g∈Sn

ϕ(g)²= 2

par a). De même, on calcule la multiplicité deV₀dansV ⊗V par hχV⊗V, χV₀i=hχV⊗V, χV −χtrivi=−2 + 1

n!

X

g∈S_n

tr(ρV⊗V(g⁻¹)) tr(ρV(g)) =−2 + 1 n!

X

g∈S_n

ϕ(g)³= 3

par a). On peut donc écrire

V ⊗V =V₁ⁿ¹⊕ · · · ⊕V_r^nr⊕V₀³⊕C²_triv oùV₁, . . . , V_rsont d’autres représentations irréductibles. On calcule alors

hχV⊗V, χV⊗Vi= 1 n!

X

g∈S_n

ϕ(g)⁴= 15

par a), avechχV⊗V, χV⊗Vi=n²₁+· · ·+n²_r+ 3²+ 2². On en déduitr= 2etn1=n2= 1. On a finalement V ⊗V =C²_triv⊕V₀³⊕V1⊕V2.

Complément : on aV0⊗V0=S²V0⊕V2

V0et on peut montrer que la représentationV2

V0est irréductible (exerc.

IV.2.22). C’est donc (par exemple)V1(de dimensionn(n−1)/2), d’oùS²V0 =Ctriv⊕V0⊕V2, avecdim(V2) = n²−2−3(n−1)−(n−1)(n−2)/2 =n(n−3)/2(lorsquen= 4ou 5, c’est la représentation notéeV dans le cours).

Exercice 3.SoitV l’espace vectoriel réel des matrices4×4antisymétriques réelles.

a) Montrer que le pfaffien définit une forme quadratiquef surV dont on déterminera la signature.

DMA – École normale supérieure (2013/2014) 13 janvier 2014

La formule donnée dans l’ex. III.4.2 des notes de cours pour le pfaffien d’une matrice4×4montre que c’est une forme quadratique qui fait deV une somme de 3 plans hyperboliques. La signature est donc(3,3).

b) Montrer que l’action de GL(4,R) sur E définie par P ·M = P M^tP induit un morphisme de groupes ϕ : SL(4,R)→O(V, f).

Le lemme III.4.5 dit que Pf(P ·M) = d´et(P) Pf(M). L’automorphismeϕ(P)est donc bien une isométrie si d´et(P) = 1.

c) Déterminer le noyau deϕ.

SiP ∈ker(ϕ), on aP M^tP =M pour toute matriceM 4×4antisymétrique. PrenonsM =A_ij :=E_ij−E_ji. Comme

P Eij =X

k

pkiEkj, (1)

on obtient, pourk≤l,pkiplj−pkjpli= 0sauf sik=ietl=j, auquel cas cette quantité vautpiipjj−pijpji= 1.

Prenonsk=ietl=a /∈ {i, j}. On obtientpiipaj−pijpai= 0. Prenonsl=jetk=a. On obtientpaipjj−pajpji= 0. Commepiipjj−pijpji= 16= 0, on obtientpai=paj = 0(la matriceP est diagonale) puispiipjj = 1: la matrice Pest±I4. On a doncker(ϕ) ={I4,−I4}.

d) Que peut-on de l’image deϕ?

On peut dire queϕn’est pas surjectif carSL(4,R)est connexe (exerc. II.2.3) tandis queO(V, f) = O(3,3)ne l’est pas. Son image est donc au moins contenue dansSO(3,3), et même mieux, dans la composante connexe deId, qui a été notéeSO⁰(3,3)dans le cours (ex. II.8.10.2^o). On peut montrer que l’image deϕest exactementSO⁰(3,3), mais je ne connais pas de démonstration élémentaire. Cela entraîne queSL(4,R)est le groupeSpin⁰(3,3)mentionné dans la rem.

II.6.11 des notes de cours.

On poseJ :=

0 I2

−I2 0

et on noteH⊂V l’hyperplan orthogonal àJpour la forme quadratiquef. e) Quelle est la signature de la restriction de la forme quadratiquef àH?

Commef(J) = Pf(J) =−1>0, la signature sur l’orthogonalH est(3,2).

f) Que pouvez-vous dire du groupeϕ(Sp(4,R))?

SiP ∈ Sp(4,R), on aϕ(P)(J) = J, doncϕ(P)laisse aussi stableH. Le groupeϕ(Sp(4,R))est donc contenu dans O(H, f|H) ' O(3,2). De nouveau, il n’y a pas égalité puisque Sp(4,R)est connexe (exerc. II.7.5) mais pas O(3,2). On aϕ(Sp(4,R))⊂SO⁰(3,2)et on peut montrer qu’il y a égalité. Cela entraîne queSp(4,R)est le groupe Spin⁰(3,2)mentionné dans la rem. II.6.11 des notes de cours.

Exercice 4.SoitV un espace vectoriel réel de dimension finien >0et soitdun entier positif.

a) SoitB= (e1, . . . , en)une base deV. Donner une base naturelleBdde l’espace vectorielS^dV.

La famille desP(e1, . . . , en), oùP décrit l’ensemble des monômes (unitaires) de degrédennvariables, est une base deS^dV (§III.5 des notes de cours).

b) Montrer qu’il existe des réelsλ1, . . . , λntels que, siPetQsont des monômes (unitaires) de degrédennvariables, alorsP(λ1, . . . , λn) =Q(λ1, . . . , λn)si et seulement siP =Q.

Cela revient à dire queRⁿn’est pas la réunion des sous-ensembles définis par les équations(P−Q)(x) = 0, lorsque (P, Q)décrit l’ensemble (fini) des paires de monômes distincts de degrédennvariables. C’est en fait vrai pour tout corps infini, mais pourR, il y a plein de méthodes qui montrent ça. On peut prendre par exemple pourλ1, . . . , λnlesn premiers nombres premiers et utiliser l’unicité de la décomposition en produit de nombres premiers.

c) Montrer queGL(V)agit naturellement sur l’espace vectorielS^dV. On en déduit une représentationρd deGL(V) dansS^dV.

On envoie un automorphismegdeV sur l’automorphisme deS^dV notéS^dgdans le cours.

d) SoitWun sous-espace vectoriel non nul deS^dV stable par l’action deGL(V). Montrer qu’il existe un sous-ensemble de la baseBdqui engendreW (Indication : on pourra considérer l’automorphismegdeV qui envoiee_isurλ_ie_i).

Soitw∈W {0}. Si on décomposewdans la baseBddeS^dV, on voit qu’on obtientρd(g)^k(w)(qui est dansW) en élevant les coordonnées dewà la puissancek. Comme les valeurs propres deρd(g)sont toutes distinctes par b), leur déterminant de Vandermonde est non nul etW contient tous les éléments deBdsur lesquelswa une coordonnée non nulle. Il s’ensuit queW est engendré par un sous-ensemble deBd.

e) En déduire que la représentationρdest irréductible.

Le choix de la base B est arbitraire. On peut la remplacer par (e1+e1, . . . , en +e1). Par d), W contient un (ei₁+e1)· · ·(ei_d+e1). Comme ce vecteur a une composante non nulle sure^d₁et quee1est quelconque non nul, on a v^d∈W pour toutv∈V. On développant(e1+· · ·+en)^d, on voit qu’aucun des coefficients de ce vecteur dans la base Bdn’est nul, doncW =S^dV.

Exercice 5.Soitpun nombre premier et soitGunp-groupe, c’est-à-dire un groupe fini dont le cardinal est une puissance dep. Montrer que toute représentation irréductible deGdans un espace vectoriel sur un corps de caractéristiquepest de dimension 1.

Voici une preuve par récurrence sur|G|(le résultat étant trivial si|G|= 1). Une autre preuve est proposée dans les notes de cours (exerc. IV.2.10).

Soit(V, ρ)une représentation irréductible deGsur un corps de caractéristiquep. Soitg∈Get soitpⁿle cardinal de G. On ag^pn =e, doncρ(g)^pn = IdV, soit(ρ(g)−IdV)^pn= 0. L’endomorphismeρ(g)−IdV n’est donc pas injectif (puisqueV 6= 0).

Sigest dans le centreZ(G)deG, pour touth∈G, le noyau deρ(g)−Id_V est stable parρ(h). Ce noyau est donc une sous-représentation de(V, ρ), qui lui est égale puisque(V, ρ)est irréductible. Maisρ(Z(G))est alors trivial, donc ρse factorise en une représentation irréductible dup-groupeG/Z(G). Par la prop. I.2.11. du cours, ce groupe est de cardinal<|G|, et on peut appliquer l’hypothèse de récurrence.