Texte intégral
Calculer la somme X 1
m2n2 pour tous les couples (m, n) d’entiers positifs de PGCD 1.
Solution Rappelons que
∞
X
1
1 n2 = π2
6 ,
∞
X
1
1 n4 = π4
90. Ainsi, six ety parcourent tous les entiers, (π2/6)2= (P1/x2)(P1/y2) =P P1/(x2y2).
Regroupons les termes par valeur ded=P GCD(x, y), soitx=md,y =nd, avec P GCD(m, n) = 1. Alors
P P1/(x2y2) =Pd(1/d4)P1/(m2n2).
On en tireP1/(m2n2) = (π2/6)2(90/π4) = 5/2.
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