En effet en posant Z = f(a) et en élevant Z au cube, on obtient la relation Z a)Z

A117 - L’entier qui avale les racines

Solution

Pour a = 5, l’expression f(a) = ³ (2 a)³ (2- a)vaut 1.

En effet en posant Z = f(a) et en élevant Z au cube, on obtient la relation Z = 4 + ³ 3³ (4a)Z. Pour a = 5, cette équation devient Z³3Z40ou encore (Z1)(Z²Z4)0 qui a pour unique solution réelle Z = 1.

Pour les quatre valeurs entières et positives de a inférieures à 5, on vérifie aisément que f(a) ne prend pas de valeurs entières.

Pour tout a supérieur à 5, la fonction f(a) = ³ (2 a) ³ (2- a)est monotone décroissante.

En effet sa dérivée f’(a) = )

) a - (2

1 )

a (2 ( 1 a 2

1

3 / 2 3

/

2 

 est négative, le terme

3 /

)2

a (2

1

 étant toujours inférieur à

3 /

)2

a - (2

1 .

Comme l’illustre le graphe ci-après,f(a) tend vers 0 quand a tend vers l’infini et ne peut donc jamais prendre de valeur entière.

L’unique solution est donc a = 5