D10605. Maxi-Aire
ABCD est un quadrilatère convexe de périmètre p et dont les diagonales sont de même longueurd. Trouver la plus grande valeur possible de son aire.
Solution
SoientE, F, G, H les milieux de AB,BC,CD, DA. Les vecteurs EF, F G, GH,HE sont la moitié deAC,BD,CA,DB et ont la même longueurd/2.
Le losangeEF GH a pour aireSL=|EG|.|F H|/2, et c’est la moitié de l’aire SQ de ABCD. En effet, les triangles AHE, BEF, CF G, DGH ont pour aire le quart de celle des triangles ADB,BAC,CBD,DCA, qui ensemble couvrent deux fois le quadrilatère : 2SQ= 4(SQ−SL).
Vectoriellement,BA+CD= 2F H,BC+AD= 2EG, d’où
|BA|+|CD| ≥2|F H|,|BC|+|AD| ≥2|EG|, puisp≥2|F H|+ 2|EG|.
Les diagonales du losange étant perpendiculaires et se coupant en leur milieu, (d/2)2 =EF2 = (|F H|/2)2+ (|EG|/2)2, puis
SQ= 2SL=|EG|.|F H|= (1/2)(|F H|+|EG|)2−(1/2)(F H2+EG2)
≤p2/8−d2/2.
On peut compléter en précisant si, et quand, l’aireSQdu quadrilatère atteint effectivement la valeur maximale (p2/8−d2/2).
Pour cela il faut que les inégalités|BA|+|CD| ≥2|F H|et|BC|+|AD| ≥ 2|EG| deviennent des égalités. Cela se produit si les vecteurs BA et CD sont parallèles, de même que les vecteurs BC et AD; ce qui implique que le quadrilatère soit un parallélogramme ; et donc un rectangle (puisque ses diagonales sont égales).
Les côtés de ce rectangle sont les racines du trinômex2−px/2+(p2−4d2)/8, soit (p±p8d2−p2)/4.
