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I Définition et propriétésDéfinition : un quadrilatère qui a un

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Chapitre 8 : parallélogrammes I Définition et propriétés

Définition : un quadrilatère qui a un centre de symétrie est un parallélogramme.

Ce point est appelé centre du parallélogramme.

Propriété 8.1 : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Propriété 8.2 : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles.

Propriété 8.3 : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.

Propriété 8.4 : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.

II Construire un parallélogramme

1) Avec un quadrillage

Exemple : Soient trois points A, B et C non alignés placés comme ci-contre. Place le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Avant toute chose : déterminer la partie du plan contenant le point à placer

( pour avoir ABCD et non ABDC ou un autre nom ).

Il peut être construit de quatre façons différentes :

a) En utilisant une propriété des côtés d'un parallélogramme Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme donc ses côtés [BC] et [AD] sont de même longueur et parallèles.

Pour aller de B à C, on se déplace de 6 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le haut.

On reproduit ces mêmes déplacements à partir de A.

A

B

C

A

B

C D

(2)

b) En utilisant la propriété des diagonales d'un parallélogramme Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu qu'on appelle I.

On trace le segment [AC] et on place son milieu I. C'est également le milieu du segment [BD].

On place D tel que I soit le milieu du segment [BD] en comptant les carreaux.

Remarque : sans quadrillage, on pourrait utiliser la même méthode en reportant la longueur BJ à partir du point J sur la demi-droite [BJ).

2) Sur papier blanc

Exemple : Soient trois points A, B et C non alignés. Place le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Cela peut être résolu de plusieurs façons différentes, en voici deux : a) En utilisant l'équerre

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont parallèles deux à deux : soit (AB) // (CD) et (BC) // (AD).

On trace la parallèle à (AB) passant par C

On trace la parallèle à (BC) passant par A. Ces deux droites sont sécantes en D.

Ainsi ABCD a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est donc bien un parallélogramme.

b) En utilisant le compas

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme donc ses côtés opposés [AB] et [CD] sont de la même longueur deux à deux : soit AB = CD et BC = AD.

À l'aide du compas, on reporte la longueur AB à partir du point C.

On reporte la longueur BC à partir du point A. On place le point D à l'intersection des deux arcs de cercle puis on trace les côtés [AD] et [CD].

Ainsi, ABCD a ses côtés opposés égaux deux à deux, c'est donc bien un parallélogramme.

III Apprendre à rédiger

On sait que ….(écrire les données/hypothèses de l'énoncé correspondant à la propriété ci-dessous) Or …...(écrire la propriété/définition à utiliser : si … alors ….)

Donc …....(écrire la conclusion correspondant à la propriété).

A

B

C I

D

C

A B

C

A B D

C

B A

C

B A

C

A B D

(3)

IV Reconnaître un parallélogramme ( caractérisation ).

Dans ce paragraphe, on sous entend que les quadrilatères sont non croisés.

Propriété 8.5 : si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c'est un parallélogramme.

Propriété 8.6 :

si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme.

Propriété 8.7 :

si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme.

Propriété 8.8 :.

si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur

alors c'est un parallélogramme

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Rédaction avec les figures ci-contre:

Cas 1)

On sait que : ( les données/hypothèses ) (AB) //(CD) et (AD) //(BC) Or ( la propriété ) si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c'est un parallélogramme.

Donc ( conclusion ) ABDC est un parallélogramme . Cas 4)

On sait que : ( RS) // (UT) et RS = UT .

Or ( la propriété ) si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur

alors c'est un parallélogramme

Donc RSTU est un parallélogramme.

(4)

À connaître

Propriété 3.5 Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueuralors c'est un rectangle.

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.

Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires

alors c'est un carré.

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