D1852. Trio de tangentes
Soit la coniqueΓ et les 3 tangentes fixesT1,T2,T3, respectivement en D, E et F, et formant le triangle ABC. La tangente mobileTm au point J deΓ coupe T1 en G etT2 en H. G et H sont en homographie; il en est de mˆeme pour les droites BH et CG, et comme les droites homologues BD et CD sont confondues, l’intersectionX =BH∩CGd´ecrit a droite∆qui passe par E et F.
Le rapport alg´ebriqueR= AH
HE × F G
GA est constant et ´egal `a AC
CE × F B BA. Cette propri´et´e d´ecoule directement de l’homographie entre les points G et H.
Si on pose AE = a, HE = x, FA = b, FG = y, le bi-rapport s’´ecrit : (a−x)
x × y
(b−y) =k, soit aussi
(1−k)xy−bx−ay+ab= 0, c’est-`a-dire la relation homographique.
R est> 1si les points de contact des 3 tangentes sont li´es de fa¸con continue, c`ad sur une ellipse, une parabole ou le mˆeme arc d’une hyperbole, = 0pour une hyperbole d´eg´en´er´ee en 2 droites, et< 0quand les points de contact sont r´epartis sur les 2 arcs d’une hyperbole. On a donc 2 cas `a examiner : R= 1et R=−1.
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Cas A: R= AC
CE × F B BA = 1
L’homographie sera une proportionnalit´e siGetHsont simultan´ement `a l’infini, donc si ∆ passe par A0, quatri`eme sommet du parall´elogramme ABA0C. Quand Tm est confondue avec T2, V et X sont confondus avecE et W avec A. Quand Tm est confondue avec T3,V est confondu avecA, etW etX avec F. On a alors :
BA
CE = F B
AC, c’est-`a-dire la relation cherch´ee.
Et puisque Γ doit accepter la droite de l’infini parmi ses tangentes, c’est une parabole.
La propri´et´e est vraie quelles que soient T1,T2 etT3.
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Cas B:R= AC
CE × F B BA =−1
On se retrouve ici dans le cas g´en´eral : siT1,T2etT3sont telles que le rapport vaut -1, alors il vaudra aussi -1 pourT1, T2 etTm.
Pour r´ealiser la figure illustrant ce cas, le plus simple est de fixer les points de contact (comme ci-dessus: AC = CE/2 et F B = AB/2) ce qui d´etermine la droite∆.
Dans le cas B, la propri´et´e est moins g´en´erale que dans le cas A.
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