A545 PUISSANCES EN DUO ET TRIO ; Q1

A545 PUISSANCES EN DUO ET TRIO ;

Q₁ : Trouver les deux entiers m et n strictement positifs qui minimisent l’écart en valeur absolue entre 47^m et 13ⁿ .

Q₂ : Résoudre en x, y et z entiers strictement positifs l’équation 3^x - 5^y = z² . Q₃ : Résoudre en p, q et r nombres premiers l’équation 7p³ – q³ = r⁶.

--- Q1) Modulo 13 , on a toujours 47^m ≡ 8, 12, 5 ou 1.

Le minimum de l’écart en valeur absolue entre 47^m et 13ⁿ est donc un nombre pair de la forme abs(8+13k), abs(12+13k), abs(5+13k) ou abs(1+13k) avec k entier relatif.

Sachant que 47² – 13³ = 12 , seul un écart de 8 ferait mieux.

Modulo 6, on a toujours 47^m ≡ 1 ou 5. Et 13ⁿ ≡ 1.

Le minimum de l’écart en valeur absolue entre 47^m et 13ⁿ est donc un nombre de la forme abs(6k) ou abs(4+6k). L' écart n'est donc jamais égal à 8 . Le minimum de l'écart est 12.

Réponse : (m,n) = (2,3).

Q2) 3^x - 5^y = z² .

Avec 0<x≤2, la seule solution est (x,y,z) = (2,1,2) car 3² – 5 = 2² Recherche de solutions avec x>2

z n'est pas multiple de 5, et z² ≡ (1 ou 4) mod 5; 3^x ≡ (1 ou 4) mod 5 implique x pair.

Soit x = 2.u , avec u>1, (3^u - z)(3^u + z) = 5^y ; (3^u - z)= 5^w et (3^u + z)= 5^w+t . 3^u = 5^w .(5^t - 1 )/2 , donc w=0 et t=y , 3^u - z =1, et 3^u + z = 5^y ; 2. 3 ^u = 5^y +1 Pour que 5^y +1 soit multiple de 9, il faut y = 3 + 6h.

Les seuls diviseurs premiers de 5^3+6h +1 devraient être 2 et 3.

Or, modulo 7 on a 5^6h = 15625^h = (2232*7 + 1)^h ≡ 1 et 5³ = 125 ≡ 6

Et donc 5^3+6h +1 est toujours multiple de 7, ce qui est incompatible avec 5^3+6h +1 = 2. 3^u Aucune solution avec x>2. La seule solution de Q2) est (2, 1, 2)

Q3) 7p³ – q³ = r⁶ L'un des trois nombres premiers est 2. d'où trois équations : a) 56 – q³ = r⁶ ; b) 7p³ – q³ = 64 ; c) 7p³ – 8 = r⁶ . a) 56 – q³ = r⁶ n'a pas de solution parce que r ≥3 et r⁶ est supérieur à 56.

b) 7p³ – q³ = 64; 7p³ = q³ +64 = (q+4)(q² – 4q + 16) ;

Les diviseurs de 7p sont : 1, p, p², p³, 7, 7p, 7p², 7p³ .

q+4 1 p p² p³ 7 7p 7p² 7p³

q²-4q+16 7p³ 7p² 7p 7 p³ p² p 1

q /// p – 4 p² – 4 p³ – 4 3 7p – 4 7p²-4 7p³ –4

Liste des équations à résoudre :

(p – 4 )² - 4(p – 4 ) +16 = 7p² p=-4 ou p=2 ne convient pas

(p² – 4)² – 4(p² – 4) +16 = 7p p=-4 ou p=3 (p,q) = (3 ; 5) convient (p³ – 4)² – 4(p³ – 4) + 16 = 7 aucune solution entière

(3)² – 4(3) + 16 = p3 aucune solution entière (7p – 4 )² – 4(7p – 4 ) + 16 = p² aucune solution entière (7p²-4)² – 4(7p²-4) + 16 = p aucune solution réelle (7p³ –4)² – 4(7p³ –4) + 16 = 1 aucune solution réelle.

c) 7p³ – 8 = r⁶ .

modulo 7, r⁶ + 8 ≡ 1 + 8 ≡ 2, r⁶ + 8 n'est jamais multiple de 7.

7p³ – 8 = r⁶ n'a aucune solution entière.

La seule solution de Q3) : 7p ³ – q ³ = r ⁶ est (p, q, r) = (3, 5, 2) : 7*(3³) – 5³ = 2⁶.