D 1841 Rencontre à dix

(1)

D 1841 Rencontre à dix

Solution proposée par Pierre Renfer

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].

1) Equations des deux cercles passant par A et tangents à (BC) en B et C respectivement

Un cercle a une équation du type : a yz b zx c xy (x y z)²  ²  ²    (ux vy wz) 0   Pour le cercle passant par B, on écrit que les coordonnées de A et B vérifient l’équation.

Et l’on obtient : u v 0 

Pour trouver les points d’intersection du cercle et de (BC), on remplace x par 0 dans l’équation : a yz wz (y z) 02    

Comme B est point d’intersection double, on trouve : w a² L’équation de cercle est donc a yz b zx c xy a z (x y z) 0²  ²  ²  ²     L’équation du cercle passant par C s’obtient en échangeant le rôle de y et z :

2 2 2 2

a yz b zx c xy a y (x y z) 0      

On obtient l’équation de l’axe radical des deux cercles par différence des deux équations : y z On remarque que c’est l’équation de la médiane (AM)

En remplaçant z par y dans une équation de cercle, on trouve : ^{y ( a}^{  }



² ^b²^^{c )x a y}² ^{ } ²^



^⁰

Le point d’intersection X des deux cercles, autre que A, a donc les coordonnées :

2

2 2 2

a

X a b c a b c

  

Ce point X est le candidat pour être le point de rencontre des dix.

On sait déjà qu’il appartient aux deux cercles et à la médiane (AM).

(2)

2) Equation du cercle (BHC)

Un cercle a une équation du type : a yz b zx c xy (x y z)²  ²  ²    (ux vy wz) 0   En écrivant que les coordonnées de B et C vérifient l’équation, on trouve : v w 0 

Les coordonnées de H sont :

2 2 2 2 2 2

( a b c )(a b c ) H ( a b c )( a b c )

( a b c )(a b c )

    

     

     

En écrivant que les coordonnées de H vérifient l’équation, on trouve : u a ²b² c² L’équation du cercle (BHC) est donc a yz b zx c xy (a²  ²  ²  ²b² c )x (x y z) 0²      Les coordonnées du point X vérifient cette équation.

Le point X appartient donc au cercle (BHC).

3) Equation du cercle de diamètre [AH]

Un cercle a une équation du type : a yz b zx c xy (x y z)²  ²  ²    (ux vy wz) 0   En écrivant que les coordonnées de A vérifient l’équation, on trouve : u 0

En écrivant que les coordonnées de H vérifient l’équation, on trouve :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(a b c )v (a  b c )w (a  b c )(a b c ) (1)

Le cercle de diamètre [AH] admet comme tangente la parallèle en A à (BC), d’équation y z 0  . En remplaçant z par –y dans l’équation du cercle, on trouve : ^{y (v w b}^



^{ } ²^^{c )x a y}² ^{ } ²^



^⁰

Donc : v w b  ² c² (2)

En résolvant le système des équations (1) et (2), on obtient :

2 2 2

2v (a b c ) 2w (a b c )

    



   



L’équation du cercle de diamètre [AH] est donc :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2(a yz b zx c xy )(x y z)       (y (a b c ) z (a  b c )) 0 Les coordonnées du point X vérifient cette équation.

Le point X appartient donc au cercle de diamètre [AH].

(3)

4) Equation de la droite 

L’équation du cercle est : a yz b zx c xy 0²  ²  ² 

Soit L le point de Lemoine du triangle ABC et P un point courant sur la droite (AL)

Les coordonnées de L, D et P sont :

2 2 2

a L b c

²

2

0 D b c

²

2

x P b c

En écrivant que P appartient à , on trouve la valeur de x pour le point E : x a²

  2 Soit le point à l’infini de la direction orthogonale à (BC).

Les points E et  ont pour coordonnées :

2 2 2

a E 2b

2c

 ²

2 2 2

2a a b c

a b c



  

  L’équation de  est :

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x a 2a

y 2b a b c 0 2(c b )( a b c )x a(a b 3c )y a(a 3b c )z z 2c a b c

 

                 

 

Les coordonnées du point X vérifient cette équation.

Le point X appartient donc à la droite .

5) Coordonnées des points I et J

La perpendiculaire en D à (BC) a pour équation :

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x 0 2a

y b a b c 0 (c b )( a b c )x 2a c y 2a b z z c a b c



             

 

Les coordonnées de F vérifient cette équation avec y z :

2

2 2 2

2a

F a b c a b c

  

(4)

La parallèle en F à (BC) a pour équation :

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

x 2a 0

y a b c 1 0 2( a b c )x 2a y 2a z z a b c 1

             

   

On en déduit les coordonnées de I et J :

2

2 2 2

a I 0

a b c

2

2 2 2

a

J a b c 0

  

Et le point X appartient donc aux droites (BI) et (CJ).

6) Equation du cercle (AIJ)

Un cercle a une équation du type : a yz b zx c xy (x y z)²  ²  ²    (ux vy wz) 0   En écrivant que les coordonnées de A vérifient l’équation, on trouve : u 0

En écrivant que les coordonnées de I vérifient l’équation, on trouve :

2 2

w a b

b c

  

En écrivant que les coordonnées de J vérifient l’équation, on trouve :

2 2

v a c

b c

  

L’équation du cercle de diamètre (AIJ) est donc :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

(b c )(a yz b zx c xy )(x y z)      (a c y a b z) 0     Les coordonnées du point X vérifient cette équation.

Le point X appartient donc au cercle (AIJ).

7) Coordonnées du point K

Soient d, e, f les longueurs des côtés [IJ], [DI), [DJ] du triangle DIJ.

Dans le repère affine (D, I, J), le point K a pour coordonnées :

2 2 2 2 2 2

(d e f )(d e f ) K (d e f )( d e f )

( d e f )(d e f )

    

     

     

(5)

Mais comme on verra que e f , les coordonnées se simplifient :

2

2 2

d K 2e d

2e d



Les coordonnées des points D, I, J dans le repère (A, B, C) permettent d’écrire :

2 2 2 2

2 2 2 2 2

(b c )AD b AB c AC (b c )AI ( a b c )AC (b c )AJ ( a b c )AB

  

 

      

       



       



Par différences :

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

(b c ) IJ ( a b c )AB ( a b c )AC (b c )ID b AB (a b )AC

(b c )JD (a c )AB c AC

  

            

       



       



En calculant les carrés scalaires, on obtient :

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

(b c ) d ( a b c ) c b 2 AB AC ( a b c ) c b ( a b c ) ( a b c ) a

 

 

                    

    

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

(b c ) e c (a c ) b c 2c (a c )AB AC c a c ) b c c (a c )( a b c ) a b c

 

 

           

 

          



 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

(b c ) f b b c (a b ) 2b (a b )AB AC b a b ) b c (a c )( a b c ) a b c

 

 

           

         

 Donc :

2 2 2

2 2

a( a b c )

d b c

   

  et e f ₂^abc₂

b c

  

Pour les coordonnées de K dans le repère (D, I, J), on peut remplacer d et e par les valeurs proportionnelles  a² b²c² et a.

(6)

On trouve :

2 2 2 2

4 4 4 2 2 2 2

( a b c )

K a b c 2a b 2a c a b c 2a b 2a c

  

    

Comme les coordonnées de D, I, J, dans le repère (A, B, C), ont même somme, il suffit pour obtenir les coordonnées de K, dans le repère (A, B, C), de faire la combinaison linéaire des colonnes de coordonnées de D, I, J, avec les coefficients de K ci-dessus.

On trouve :

2 4 4 4 2 2 2 2

2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

2a ( a b c 2a b 2a c )

K ( a b +c )( a b c a b b c 2a c ) ( a b +c )( a b c a c b c 2a b )

     

        

Le centre O du cercle circonscrit a pour coordonnées :

2 2 2 2

a ( a b c ) O b (a b c )

c (a b c )

   

  

  

On vérifie qu’est nul le déterminant dont les trois colonnes sont les coordonnées de K, O, X.

Donc le point X appartient à la droite (OK).