A60129. Ah ! le joli chameau !
Le vieux b´edouin, sentant sa fin prochaine, partagea `a ses fils son troupeau de chameaux selon la r`egle suivante :
– au fils aˆın´e, un chameau, et le septi`eme du troupeau restant ; – au second fils, deux chameaux, et le septi`eme du troupeau restant ; – au troisi`eme fils, trois chameaux, et le septi`eme du troupeau restant ; – et ainsi de suite.
Quand le dernier fils eut re¸cu sa part, tout le troupeau avait ´et´e distribu´e.
Combien le b´edouin avait-il de fils ? et de chameaux ? Solution
Je note Rk l’effectif du troupeau restant apr`es que le k-i`eme fils a re¸cu sa part. La r`egle de partage donne
Rk= (6/7)(Rk−1−k).
Il s’agit de trouvern, nombre des fils, et R0, effectif initial du troupeau, par la conditionRn= 0.
La r´ecurrence surRk s’´ecrit
(7/6)kRk = (7/6)k−1Rk−1−k(7/6)k−1, ce qui donne (7/6)nRn=R0−1−2(7/6)−. . .−n(7/6)n−1.
Le polynˆomeP(X) = 1 + 2X+. . .+nXn−1 est le polynˆome d´eriv´e de 1 +X+X2+. . .+Xn= (Xn+1−1)/(X−1).
D´erivant cette fraction, on a
P(X) = nXn+1−(n+ 1)Xn+ 1 (X−1)2
CommeRn= 0,
R0 =P(7/6) =n7n+161−n−(n+ 1)7n62−n+ 36 = 36 + (n−6)7n61−n. Pour que cette expression soit un entier, il faut n= 6 et alors R0 = 36. Le b´edouin avait 6 fils et 36 chameaux, chaque fils recevant 6 chameaux.
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