A 539 Antoine Verroken
Q1. x^y + y^x = z (1) x,y,z nombres premiers
1. puisque z est un nombre premier, et z = 2 ne solutionne pas (1) , z est impair --> x ou y est égal à 2 .Prenons x = 2 --> 2^3 + 3^2 = 17
2. prenons y > 3
(1) --> 2^y + y^2 = z (2)
tout nombre premier est un multiple de 3 plus 1 ou 3 plus 2
(2) --> 2^y + ( 9*k² + 6*k + 1 ) = 0 (mod 3 ) (3)
--> 2^y + ( 9*k² + 12*k + 4 ) = 0 (mod 3 ) (4) (3) (4) --> z est un multiple de 3 : impossible
3. x = 2 et y = 3
Q2. 3^x + 4^y = 5^z (0) x,y,z >= 0
3^2 + 4^2 = 5^2 ; comme Wiles a prouvé en 1995 ,(0) n'a pas de solution si x=y=z > 2 1. 3^x + 4^y = 5^z (mod 3 ) --> 1 = 2^z (mod 3 ) = (-1)^z (mod 3 ) --> z pair.
2. z = 2*a
3^x = 5^(2*a) - 4^y = ( 5^a + 2^y ) * ( 5^a - 2^y )
puisque la somme de ( 5^a + 2^y ) et ( 5^a - 2^y ) n'est pas un multiple de 3 , un des deux termes n'est pas un multiple de 3.
5^a + 2^y = 3^x (1)
5^a - 2^y = 1 (2)
(1) + (2) 2*5^a - 3^x = 1 (mod 3 ) --> 2*(-1)^a = 1 (mod 3 ) --> a impair (1) - (2 ) 2*2^y - 3^x = -1 (mod 3 ) --> 2*2^y = 2 (mod 3) --> y pair 3. y > 2 a impair
(1) 5^a + 2^y - 3^x = 0 (mod 8 ) --> 5 - 1 = 0 ( mod 8 )
ou --> 5 - 3 = 0 ( mod 8 ) impossible
--> y =< 2 y = 2
(2) 5^a - 4 = 1 --> a = 1 --> z = 2 --> 3^x + 16 = 5^2 --> x = 2 y = 0
(0) 3^x + 1 = 5^z ( mod 4 ) --> 3^x = 0 (mod 4 ) impossible 4. x = 0 y = 1 z = 1 --> (0) 1 + 4 = 5
y > 1
(0) 1 + 4^y = 5^z ( mod 3 ) --> 1 + 1 - 2^z = 0 (mod 3 ) --> z impair (0) 1 + 4^y = 5^z ( mod 8 ) --> 1 - 5^z = 0 (mod 8 ) --> z pair
impossible 5. donc x = 2 y = 2 z = 2 x = 0 y = 1 z = 1
