Retour à la fourmilière
Problème D163 de Diophante
Après une journée laborieuse, la fourmi rousse et la fourmi noire prennent le chemin du retour, chacune en direction de sa fourmilière. Leurs deux trajectoires sont rectilignes et à tout instant chaque fourmi garde sa vitesse et sa direction. A un
certain moment, elles sont à une distance d > 0 l'une de l'autre, 17 secondes plus tard, cette distance est de 87 cm ;18 autres secondes après, cette distance est ramenée à 75 cm. Encore 70 secondes après, elles sont à 65 cm l'une de l'autre.
Vont-elles se rencontrer ? Si oui, à quel moment ? Si non, quelle est la plus courte distance qui les séparera ou les a séparées ?
Solution
Les deux fourmis (assimilées à des points N et R) sont animées de mouvements uniformes, que nous symbolisons par les équations : N = A + t i et R = B + t j, où A et B sont leurs positions initiales (à l’instant 0) ; i et j les vecteurs de déplacements dans l’unité de temps et t la variable temps.
Nous savons qu’à trois instants u, v, w, avec v = u + 18 et w = v +70 elles étaient distantes de 87, 75 et 65 (en secondes et centimètres)
Le vecteur NR a pour équation NR = AB + t (j-i). Dans le plan d’origine N, nous obtenons le schéma suivant :
87
P W z
V U
N
75 65
où R parcourt l’axe z et les distances UV et VW sont proportionnelles à 18 et 70.
Compte tenu de cette dernière condition, pour reconstituer une figure exacte, il s’agit de trouver un point N à des distances de U, V, W proportionnelles à 87, 75, 65.
Plaçons U, V et W et traçons les cercles C1 tels que PU / PV = 87 / 75 et C2 tel que PV / PW = 75 / 65.
Afin d’éviter de fastidieux calculs de fractions, choisissons U comme origine de l’axe z, V d’abscisse 108 et W d’abscisse 528
Les équations des cercles C1 et C2 sont :
(x - 58) (x - 783) + y2 = (x - 333) (x – 3 258) + y2 = 0 d’où
(3 258 + 333 – 58 - 783) x = 3 258*333 – 58*783 2 750 x = 1 039 500
x = 378
y2 = 320*405 = 129 600 y = 360
alors UN, VN, WN mesurent respectivement : 522, 450, 390 soit 6 fois 87, 75, 65 L’unité arbitrairement choisie sur l’axe z correspond à un sixième de
centimètre. la distance PN est donc de 60 cm.
L’instant du passage au plus près des deux fourmis (pour x = 378) se situe 45 secondes après l’instant v (où elles étaient à 75 centimètres l’une de l’autre).
Remarque
En présupposant des résultats simples, on pouvait calculer : 872 = 602 + 632 ; 752 = 212 + 722 = 452 + 602 et 652 = 162 + 632 = 252 + 602 = 332 + 562 = 392 + 522 et voir que seul 60 donne la solution ;
87
P W z
V U
N
75 60 65
25 45
63
où UV vaut 18 et VW vaut 70. C’est miraculeux !
D’où une deuxième remarque : dans l’énoncé 18 et 70 mesurent des durées et au résultat, sur l’axe z, mesurent des longueurs.
Le rédacteur du problème aurait pu faire un choix moins ambigu, par exemple 9 et 35 ou toute autre paire proportionnelle.
