Enonc´e noD163 (Diophante) Retour `a la fourmili`ere
Apr`es une journ´ee laborieuse, la fourmi rousse et la fourmi noire prennent le chemin du retour, chacune en direction de sa fourmili`ere. Leurs trajectoires sont rectilignes et `a tout instant chaque fourmi garde sa vitesse et sa direc- tion. A un certain moment, elles sont `a une distance d >0 l’une de l’autre, 17 secondes plus tard, cette distance est de 87 cm. 18 autres secondes apr`es, cette distance est ramen´ee `a 75 cm. Encore 70 secondes apr`es, elles sont `a 65 cm l’une de l’autre. Vont-elles se rencontrer ? Si oui, `a quel moment ? Sinon, quelle est la plus courte distance qui les s´eparera ou les a s´epar´ees ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Siw(0) est le vecteur allant de la fourmi rousse `a la fourmi noire `a un instant 0,u etv les vecteurs-vitesse de la fourmi noire et de la fourmi rousse, `a un instanttle vecteur allant de la fourmi rousse `a la fourmi noire est
w(t) =w(0) +t(u−v).
Le carr´e de la distance entre les fourmis s’obtient par le carr´e scalaire du vecteurw(t)
w(t)2=w(0)2+ 2tw(0)·(u−v) +t2(u−v)2.
Cette fonction du temps est un trinˆome du second degr´e f(t).
Prenant pour instant origine le passage `a la distance 75 cm, ce trinˆome sera d´etermin´e par
f(−18) = 872,f(0) = 752,f(70) = 652.
Ecrivantf(t) = 752+at+bt2, les coefficientsaetb satisfont les relations 18b−a= (872−752)/18 = 108, 70b+a= (652−752)/70 =−20,
puis 88b= 88, b= 1,a=−90.
f(t) = 752−90t+t2 = 602+ (t−45)2
Il en d´ecoule que la distance entre les fourmis n’est jamais inf´erieure `a 60 cm, valeur atteinte 45 secondes apr`es l’observation `a 75 cm et 25 secondes avant celle `a 65 cm.
La distancedmentionn´ee par l’´enonc´e est pf(−35) = 100 cm.
1
