D163. Retour à la fourmilière
Après une journée laborieuse, la fourmi rousse et la fourmi noire prennent le chemin du retour, chacune en direction de sa fourmilière. Leurs trajectoires sont rectilignes et à tout instant chaque fourmi garde sa vitesse et sa direction. A un certain moment, elles sont à une distance 0 l’une de l’autre, 17 secondes plus tard, cette distance est de 87 cm. 18 autres secondes après, cette distance est ramenée à 75 cm. Encore 70 secondes après, elles sont à 65 cm l’une de l’autre. Vont-elles se rencontrer ? Si oui, à quel moment ? Si non, quelle est la plus courte distance qui les séparera ou les a séparées ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Plaçons l’origine les temps 0 au moment de la première mesure, et notons la distance qui sépare les deux fourmis à l’instant .
Les fourmis se déplacent selon une trajectoire rectiligne uniforme. Dans un repère orthonormé, leurs coordonnées , , , sont donc des fonctions affines de .
Il en découle que est un polynôme de degré 2 en . On connait par hypothèse sa valeur en 3 points : 17 87, 35 75, 105 65. Ce qui suffit à établir que :
160 10000 Ce polynôme est minimum en 80 et vaut alors 80 3600.
La plus courte distance qui a séparé les deux fourmis est 60 cm.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0 20 40 60 80 100 120
d²(t)
