D163 : Retour à la fourmilière
Après une journée laborieuse, la fourmi rousse et la fourmi noire prennent le chemin du retour, chacune en direction de sa fourmilière. Leurs deux trajectoires sont rectilignes et à tout instant chaque fourmi garde sa vitesse et sa direction. A un certain moment, elles sont à une distance d
> 0 l'une de l'autre, 17 secondes plus tard, cette distance est de 87 cm. 18 autres secondes après, cette distance est ramenée à 75 cm. Encore 70 secondes après, elles sont à 65 cm l'une de l'autre. Vont-elles se rencontrer ? Si oui, à quel moment ? Si non, quelle est la plus courte distance qui les séparera ou les a séparées ?
Plaçons nous dans un repère lié à l’une des fourmis située au point A, et prenons l’origine des temps lorsque elles sont séparées par une distance a=87cm (l’autre fourmi est en O, que nous prenons comme origine, et A a pour abscisse a). Après un temps t1=18s, l’autre fourmi est située en M, sur un cercle de centre A de rayon b=75cm, Après un temps t2=88s, elle est en N sur un cercle de centre A de rayon c=65cm : l’homothétie de centre O de rapport t1/t2 transforme N en M, donc ce dernier cercle en un cercle de centre I, transformé de A (OI=at1/t2) de rayon ct1/t2.
M est donc à l’intersection des cercles d’équation (x-a)2+y2=b2 et (x-at1/t2)2+y2=(ct1/t2)2 soit 2a(1-t1/t2)x= a2(1-t12/t22)-b2+(ct1/t2)2 soit x=13,03cm et y=√(b2-(x-a)2)=12,41cm : l’angle de la trajectoire de la fourmi est α=Arctan(y/x)=43,6° et la plus courte distance ayant séparé les deux fourmis est asinα=60cm.
