G 136. Le QCM de la Reine. ***
La reine Formica amène avec elle une colonie de fourmis sur un câble électrique AB de 10 mètres de long.
A l’instant t = 0, toutes les fourmis se placent de manière aléatoire sur le câble à l’exception de Formica qui est au milieu. Elles se déplacent toutes y compris Formica à la vitesse constante de 50 centimètres par minute, certaines allant de A vers B, les autres de B vers A. Quand deux fourmis se rencontrent, elles font immédiatement demi-tour et reprennent leur vitesse de croisière. Quand l’une des fourmis atteint l’une des extrémités A ou B du câble, elle fait demi-tour. Formica calcule qu’au bout de 20 minutes elle a quatre chances sur 100 de se retrouver exactement au milieu du câble.
Déterminez l’ordre de grandeur du nombre de fourmis que Formica a amenées sur la câble : A : 25 B : 50 C : 100 D : 200 E : 400
Si Formica souhaite doubler la probabilité de se retrouver au milieu du câble à l’issue d’une balade de 20 minutes, combien doit-elle amener de fourmis avec elle ?
A : 20 B : 60 C : 100 D : 150 E : 300
Dans chacune des questions, justifiez la réponse correspondant à la case que vous avez cochée.
Solution proposée par Michel Lafond Les unités sont le centimètre et la minute.
Le temps de parcours de A à B est de . Notons F Formica.
F n’est pas seule, sinon elle serait sûre de de retrouver au centre au bout de 20 minutes.
Soit f une fourmi quelconque.
Introduisons une fourmi virtuelle qui, au départ, occupe la même position M que f, avec a même vitesse et la même direction, mais qui ignore les autres fourmis, se contentant de rebondir en A et en B.
D’après la "règle du jeu", occupera constamment la position d’une certaine fourmi [Pas toujours la même].
Au bout de 20 minutes, se trouvera en M’ symétrique de M par rapport au centre.
Donc au bout de 20 minutes, une certaine fourmi se trouvera en M’, et en faisant le même raisonnement pour chaque fourmi, on arrive à la conclusion que :
Au bout de 20 minutes, l’ensemble des positions des fourmis sera le symétrique de l’ensemble des positions de départ par rapport au centre.
Or l’ordre des fourmis n’a pas changé.
Donc si on numérote les fourmis de gauche à droite 1, 2, 3, …, m+n+1 avec m fourmis à gauche de F et n fourmis à droite de F, au départ F a le numéro m + 1 et au bout de 20 minutes, la fourmi qui est au centre a n fourmis à sa gauche et m fourmis à sa droite [symétrie], c’est donc la fourmi n + 1.
Pour que ce soit F qui soit au centre au bout de 20 minutes, il faut et il suffit que m = n.
F doit donc amener un nombre pair non nul : 2 n de fourmis.
Ces 2 n fourmis étant placées au hasard, la probabilité qu’il y en ait n dans chaque moitié du câble est égale à
si n est grand.
Donc F doit amener environ 400 fourmis [option E pour une probabilité de 0,04]
Donc F doit amener environ 100 fourmis [option C pour une probabilité de 0,08]
