Enoncé G136 (Diophante) Le QCM de la Reine
La reine Formica amène avec elle une colonie de fourmis sur un câble électrique AB de 10 mètres de long. A l’instantt = 0, toutes les fourmis se placent de manière aléatoire sur le câble à l’exception de Formica qui est au milieu. Elles se déplacent toutes y compris Formica à la vitesse constante de 50 centimètres par minute, certaines allant de A vers B, les autres de B vers A. Quand deux fourmis se rencontrent, elles font immédiatement demi-tour et reprennent leur vitesse de croisière. Quand l’une des fourmis atteint l’une des extrémités A ou B du câble, elle fait demi-tour. Formica calcule qu’au bout de 20 minutes elle a quatre chances sur 100 de se retrouver exactement au milieu du câble.
Déterminer l’ordre de grandeur du nombre de fourmis que Formica a ame- nées sur le câble :
A : 25 ; B : 50 ; C : 100 ; D : 200 ; E : 400.
Si Formica souhaite doubler la probabilité de se retrouver au milieu du câble à l’issue d’une balade de 20 minutes, combien doit-elle amener de fourmis avec elle ?
A : 20 ; B : 60 ; C : 100 ; D : 150 ; E : 300.
Dans chacune des questions, justifiez la réponse correspondant à la case que vous avez cochée.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Ayant du mal à distinguer une fourmi d’une autre, une fois qu’elles ont été mises en place sur le câble, je les équipe de dossards, numérotés de 1 à n+ 1 si Formica a amené nfourmis, dans l’ordre des positions de départ des fourmis, deA àB.
Tout se passe alors comme si deux fourmis qui se croisent ne font pas demi-tour, mais échangent leurs dossards pour que ceux-ci restent dans l’ordre.
Il n’y a demi-tour qu’aux extrémités du câble, et au bout de 20 minutes, chaque fourmi ayant parcouru 10 mètres, se trouve dans la position symé- trique de sa position de départ par rapport au milieu deAB.
Soit f le numéro de dossard de Formica. Au départ, il y a f −1 fourmis entreAet Formica qui est au milieu deAB. Après 20 minutes, il y a entre le milieu deAB etB f −1 fourmis dans les positions symétriques, donc n−f+ 1 fourmis entre A et le milieu deAB, et une fourmi au miieu de AB. Cette dernière a le dossard n−f+ 2.
Revenons au schéma de l’énoncé, où l’ordre des fourmis sur le câble est in- variable. Les fourmis gardent leur dossard d’origine, et la fourmi au milieu après 20 minutes est Formica si et seulement sin−f + 2 =f.
Cela se produit si la répartition au hasard des n fourmis sur le câble en place n/2 entre A et le milieu deAB. La probabilité de cette répartition estp= 2−nCnn/2.
La formule de Stirling donne pour cette probabilité la valeur approchée p2/(πn), donc n= 2/(πp2) environ.
Pourp= 4/100,n= 1250/π= 400 environ, réponse E.
Si on doublep= 8/100,nest divisé par 4, réponse C.
