La reine Formica amène avec elle une colonie de fourmis sur un câble électrique AB de 10 mètres de long. A l’instant t = 0, toutes les fourmis se placent de manière aléatoire sur le câble à
l’exception de Formica qui est au milieu. Elles se déplacent toutes y compris Formica à la vitesse constante de 50 centimètres par minute, certaines allant de A vers B, les autres de B vers A. Quand deux fourmis se rencontrent, elles font immédiatement demi-tour et reprennent leur vitesse de croisière. Quand l’une des fourmis atteint l’une des extrémités A ou B du câble,elle fait demi-tour.
Formica calcule qu’au bout de 20 minutes elle a quatre chances sur 100 de se retrouver exactement au milieu du câble.
Déterminer l’ordre de grandeur du nombre de fourmis que Formica a amenées sur la câble : A : 25 B : 50 C : 100 D : 200 E : 400
Si Formica souhaite doubler la probabilité de se retrouver au milieu du câble à l’issue d’une balade de 20 minutes, combien doit-elle amener de fourmis avec elle ?
A : 20 B : 60 C : 100 D : 150 E : 300
Dans chacune des questions, justifiez la réponse correspondant à la case que vous avez cochée.
Si nous imaginons que la reine Formica part avec un bâton de relai qu’elle transmet à chaque fourmi qu’elle rencontre, ce bâton va progresser à la vitesse de 50 cm/mn toujours dans le même sens, jusqu’au bout du câble, puis revenir en sens inverse : il aura ainsi parcouru 10 m en 20 mn, et se retrouve alors à son point de départ, le milieu du câble. Il y a donc une fourmi au milieu du câble au bout de 20 mn : la question est donc de savoir s’il s’agit de la Reine.
En raisonnant de même avec les autres fourmis, on peut conclure qu’un bâton de relai initialement porté par une fourmi quelconque se trouvera in fine dans la position symétrique par rapport au milieu du câble : les positions finales des fourmis sont donc les symétriques des positions initiales. Comme l’ordre des fourmis sur le câble reste inchangé, Formica se trouvera au milieu du câble si elle est strictement au milieu de la colonie (s’il y a initialement autant de fourmis de chaque coté du câble, ce qui
suppose que le nombre de fourmis de la colonie est pair).
Chacune des 2k fourmis se plaçant aléatoirement sur le câble a une probabilité 1/2 d’être sur chacune des moitiés. La probabilité d’en avoir autant de chaque coté est alors C2kk/22k. Elle est voisine de 4% pour k=200 (réponse E : 400) et de 8% pour k=50 (réponse C : 100)
