D1875 Un Triangle Moyen MB
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Un triangle ABC non isocèle est appelé par convention « moyen en A » si BC2 = AB.AC.
On trace le cercle (Γ) de centre O circonscrit à un triangle ABC moyen en A. Les points G et K sont respectivement centre de gravité et point de Lemoine(1) de ce triangle.
Q Montrer que la droite OK est parallèle à la bissectrice extérieure de l’angle en A.₁
Q On désigne par A₂ 1 le point d’intersection des droites BK et CG et A2 le point d’intersection des droites BG et CK. Montrer que A1 et A2 appartiennent à la bissectrice intérieure de l’angle en A .
Q1) Le point de Lemoine a pour coordonnées barycentriques (a², b², c²), ici a² = bc.
Dans le repère (A, (AB)⃗ ,(AC⃗ ) ), coordonnées de K : [ b2
(b2+c2+bc), c2 (b2+c2+bc)
¿
] Le point O : (a²(–a²+b²+c²) , b²(a²–b²+c²), c²(a²+b²–c²) )
Dans le repère (A, (AB)⃗ ,(AC⃗ ) ), les coordonnées de O sont : [ (b2(bc−b2+c2))
[((b+c)2−bc)∗(bc−(b−c)2)], (c2(bc−c2+b2))
[((b+c)2−bc)∗(bc−(b−c)2)] ] (AO⃗ )− ⃗(AK)= ⃗(KO) = (2bc(b−c))
((b2+bc+c2)(b2−3bc+c2)) [ bAB−c⃗ AC⃗ ]
Le vecteur (KO⃗ ) a même direction que bAB⃗ −cAC⃗ donc la droite OK est parallèle à la bissectrice extérieure de l’angle en A.
Q2) Droite BK : X/a² = Z/c² , droite CG : X=Y , coordonnées barycentriques de A1:[a², a², c²]
A1:[bc, bc, c²] , donc (AA1⃗ ) = (bc) (2bc+c2)
(AB)+⃗ c2 (2bc+c2)
(AC⃗ ) = 1
(2b+c)(b(AB⃗ )+c(AC⃗ ))
Le vecteur (AA1⃗ :) a même direction que b(AB)+c⃗ (AC⃗ ) , le point A1 est sur la bissectrice intérieure de l'angle A.
De même (AA2⃗ ) = 1
(2c+b)(b(AB⃗ )+c(AC⃗ )) , le point A2 est sur la bissectrice intérieure de l'angle A.
