La fourmi se promène
Casse-tête de Diophante, été 2015
Son point de départ est l’un des sommets d’une boite rectangulaire dont les dimensions sont x, y et z.
Elle se déplace sur les faces de la boite en décrivant des segments de droite qui font toujours des angles de 45° avec les côtés de la boite. Lorsque la fourmi arrive sur un côté de la boite, elle choisit la direction géodésique qui lui ferait décrire une ligne droite si les deux faces partageant ce côté étaient dépliées dans un même plan.
La fourmi s’arrête quand elle atteint un sommet de la boite, pas nécessairement distinct du point de départ. On désigne alors par N le nombre de segments de droite parcourus par la fourmi et par L la longueur de son périple.
Q1 On prend x = √2, y = π et z = e = 2.718281828... Démontrer que quel que soit le sommet retenu comme point de départ et quelle que soit la première face choisie par la fourmi, celle-ci parvient toujours à revenir à son point de départ. Donner les valeurs possibles de N et de L.
Q2 Prouver s’il existe ou non les dimensions entières x, y, z d’une boite rectangulaire sur laquelle :
- la fourmi partant d’un sommet A parvient à un sommet distinct de A avec N = 5, - la fourmi partant d’un sommet A revient en A avec N = 6,
- la fourmi partant d’un sommet A revient en A avec N = 9,
- la fourmi partant d’un sommet A parvient à un sommet pas nécessairement distinct de A avec N = 2015.
Solution
Pour être précis, étiquetons les sommets de la boite par les nombres de 0 à 7, repérés dans un système orthonormés : (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (x,y,0) (0,0,z) (x,0,z) (0,y,z) (x,y,z).
Premier constat
Avec z très grand par rapport à x et y, la fourmi partant de 0 dans la face 0154 arrive successivement en : A1 = (x,0,x) ; A2 = (x,y,x+y) ; A3 = (0,y,2*x+y) ; A4 = (0,0,2*x+2*y) ; A5 = (x,0,3*x+2*y) ; etc .
La fourmi monte en hélice. Notons hK la cote du point AK. En choisissant pour z la valeur hK, la fourmi arrive au sommet AK, en ayant parcouru K segments.
Lemme 1. Quel que soit N > 1, il existe des boites pour lesquelles la fourmi va d'un sommet à un autre (différent) en ayant parcouru N segments.
Deuxième constat
Supposons y+z > x > y > z et observons le parcours de la fourmi, qui part de 0 dans la face 0132.
Il apparaît que : A1 = (y,y,0) ; A2 = (x,y,x-y) ; A3 = (x,x-z,z) ; A4 = (z,0,z) ; A5 = (0,0,0) = 0 .
Lemme 2. Pour une boite dont les trois côtés x > y > z peuvent former un triangle (c'est à dire x < y+z) , si la fourmi part d'un sommet dans la plus grande face xy alors elle revient à son point de départ dans la face xz, en cinq étapes.
Cette situation peut s'illustrer par le schéma ci-dessous :
où les faces successives qu'emprunte la fourmi sont déployées dans un même plan.
Q1 Avec x = π , y = e = 2.71828 ... et z = √2, nous pouvons utiliser le lemme 2 car π est moindre que e + √2 .
Tous les sommets jouent le même rôle mais en chacun d'eux ce n'est pas le cas pour les faces. Ci-dessus, on observe que partant dans la plus grande face on revient au point de départ par la face moyenne et réciproquement.
En partant dans la plus petite face, on ne peut évidemment pas revenir au point de départ (le parcours ne pouvant pas être son propre inverse) et, contrairement à ce qui est énoncé, on n'atteindra jamais un autre sommet.
La conviction que j'en ai provient du fait qu'à chaque étape je regarde si le nouveau segment arrive en un sommet par un test de type : u=v ? et le programme ne s'arrête pas (dans un temps raisonnable !). Ce qui ne prouve rien, dans la mesure où les valeurs entrées de π, e et √2 ne sont pas exactes.
Alors je remplace u=v ? par le test : ABS(u-v) < 0,0001 ? Ainsi, le programme s'arrête mais tout dépend du nombre de zéros écrits dans le test. Je ne trouve pas un résultat fiable.
Dans les parcours cités plus haut, on a N = 5 et L = √2 *(π + e + √2).
Q2 Pour N = 5 et (x,y,z) = (1,2,5), la fourmi part d'un sommet de la petite face et arrive à un autre (en diagonale dans la face moyenne).
Pour N = 6, la fourmi ne peut pas revenir à son point de départ.
Pour N = 9 et (x,y,z) = (5,9,19), la fourmi part d'un sommet de la petite face pour y revenir.
Une autre solution vaut pour (x,y,z) = (51,22,10)
Pour N = 2015, nous savons selon le lemme 1, qu'il existe plusieurs solutions.
En voici quelques unes, avec les triplets :
(3022, 1, 2) (3023, 2, 1) (4029, 1, 3) (5034, 1, 4) (5037, 2, 3)
Remarque supplémentaire
Lorsque les valeurs x, y, z sont commensurables la fourmi partant d'un sommet atteint nécessairement un autre sommet.
Qu'en est-il pour des valeurs non commensurables ? Je pense qu'il y a des parcours qui, partant d'un sommet n'atteignent jamais un autre sommet mais ne peux rien prouver.
