D163. Retour à la fourmilière
Après une journée laborieuse, la fourmi rousse et la fourmi noire prennent le chemin du retour, chacune en direction de sa fourmilière. Leurs deux trajectoires sont rectilignes et à tout instant chaque fourmi garde sa vitesse et sa direction. A un certain moment, elles sont à une distance d > 0 l'une de l'autre, 17 secondes plus tard, cette distance est de 87 cm. 18 autres secondes après, cette distance est ramenée à 75 cm. Encore 70 secondes après, elles sont à 65 cm l'une de l'autre.
Vont-elles se rencontrer ? Si oui, à quel moment ?
Si non, quelle est la plus courte distance qui les séparera ou les a séparées ? ---
On note A et B les deux fourmis. On se place dans un repère R lié à la fourmi A.
A l’instant t = 17, B est à 87 cm de A.
Dans le repère R, A est immobile et B se déplace à une vitesse qui est la différence vectorielle des deux vitesses des deux fourmis, donc en ligne droite.
A l’instant t = 35, B atteint un point G du cercle (c) centré en A et de rayon 75, puis à t = 105, un point H du cercle (d) centré en A et de rayon 65.
Les distances BG et BH sont proportionnelles aux durées 18 et 88.
Le point H est donc obtenu comme intersection du cercle (c) et du cercle (c’) homothétique de (c) par rapport à B avec un rapport de 88/18.
Les fourmis ne se rencontreront pas. La plus courte distance qui les a séparées est AK, le point K étant la projection orthogonale de A sur BH.
On trouve également le point D, position de B à t = 0, défini par DB=BG * 17/18.
On obtient ainsi la valeur de d = AD à t = 0.
Dans des axes orthogonaux passant par A et tels que B soit à x = -87 à t = 17, On détermine aisément l’équation de (c’) dont les extrémités du diamètre sur xx’
ont pour abscisses (87 - 75) *88/18 - 87 = -85/3 et (87 + 75)*88/18 - 87 = 705.
Le centre de (c’) a pour abscisse (705 - 85/3) / 2 = 1015/3 = p et pour rayon 75*88/18 = 1100/3 = r (c’) a pour équations x = p + r*cos(f)
et y = r*sin(f)
Le point H est déterminé par (p + r*cos(f))² + (r*sin(f))² = 65² = p² + r² + 2*p*r*cos(f) d’où cos(f) = (65² - 1015²/9 - 1100²/9)/(2*1015*1100/9) = -1001/1015.
L’abscisse de H est 1015/3 - 1100/3*1001/1015 = -4725/203 = -23,2758 = u et l’ordonnée sqrt(65² - 23,2758²) = 60,6896 = v
La droite BH a pour équation v*(X + 87) –Y*(u + 87) = 0
La distance AK est donc 87*v / (sqrt(v²+(u + 87)²)) qui est égale à 60.
BK = sqrt(87² - 60²) = 63 et KH = sqrt(65² - 60²) = 25 soit BH = 88
Comme il faut 88 secondes pour aller de B à H, il en faut 63 pour aller de B à K.
Le point K a été atteint à t = 80 secondes et la distance entre les fourmis était de 60 cm.
Comme DB =17, DK = 80 et DA = sqrt(60² + 80²) = 100.
Au début, la distance d est égale à 100 cm.
