Devoir de math´ ematiques n
o8 - TES
24 mars 2010 - 2H
Exercice 1 5 points
Dans cet exercice, tous les r´esultats seront arrondis `a 10−3 pr`es.
Une ´etude sur le taux d’´equipement en t´el´ephonie des m´enages d’une ville a permis d’´etablir les r´esultats suivants :
– 90 % des m´enages poss`edent un t´el´ephone fixe ;
– parmi les m´enages ne poss´edant pas de t´el´ephone fixe, 87 % ont un t´el´ephone portable ; – 80 % des m´enages poss`edent `a la fois un t´el´ephone fixe et un t´el´ephone portable.
Notations : Si A et B sont des ´ev´enements, A d´esigne l’´ev´enement contraire de A et PB(A) la probabilit´e que l’´ev´enement A soit r´ealis´e sachant que l’´ev´enement B l’est.
On choisit un m´enage au hasard et on note :
– F l’´ev´enement : «le m´enage poss`ede un t´el´ephone fixe»; – T l’´ev´enement : «le m´enage poss`ede un t´el´ephone portable».
1. (a) Grˆace aux donn´ees de l’´enonc´e, donner P(F ∩T), P(F) et PF(T).
(b) Calculer PF(T).
2. D´emontrer que la probabilit´e de l’´ev´enement T est 0,887.
3. Sachant que le m´enage choisi n’a pas de t´el´ephone portable, quelle est la probabilit´e que ce soit un m´enage poss´edant un t´el´ephone fixe ?
4. On choisit successivement au hasard et de mani`ere ind´ependante trois m´enages.
Quelle est la probabilit´e qu’il y en ait au plus deux ayant un t´el´ephone portable ?
Exercice 2 4 points
R´esoudre l’in´equation :
2e2x−ex−1≤0 (poserX =ex)
Exercice 3 5 points
La courbe C donn´ee ci-contre est la repr´esentation graphique, dans un rep`ere orthonormal, d’une fonction fd´efinie et d´erivable sur ]−1 ; +∞[.
On sait que la fonction f est crois- sante sur ]−1 ; 1] et sur [3 ; +∞[
et que la droite D est asymptote `a C en +∞.
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 0 1 2 3
1 2 3 4
−1
−2
1 2
−1
−2C D
I. Etude graphique de la fonctionf
1. D´eterminer f(0) etf(1), puisf′(0) et f′(1).
2. R´esoudre, avec la pr´ecision permise par le graphique, l’in´equation f(x)≤2.
II. Etude de la fonction g d´efinie par g(x) =exp[f(x)]
1. Quel est le domaine de d´efinition de la fonctiong? 2. D´eterminer lim
x→+∞g(x), puis lim
x→−1g(x).
3. Etudier les variations deg et en dresser le tableau de variations.
4. Calculerg′(1) etg′(0).
Exercice 4 6 points
On consid`ere la fonction f d´efinie surRpar :
f(x) =xex−2
1. D´eterminer la limite def en +∞, puis en −∞, et donner une interpr´etation graphique.
(on rappelle que lim
x→−∞xex= 0)
2. Calculerf′(x) et ´etudier son signe ; en d´eduire le tableau de variations def.
3. Donner l’´equation de la tangente (T) `a (C), la courbe repr´esentative de f, au point d’abscisse 0.
4. Tracer (C) et (T) dans un rep`ere orthonormal d’unit´e 1 cm.
