Correction TP 6 : Relation d’ordre
Licence 2 MASS semestre 2, 2007/2008
Exercice 1 : Relations binaires
• relation d’´egalit´e sur les entiers : – r´eflexive : ∀nentiern=n,
– sym´etrique : ∀n, mentiers sin=malorsm=n´egalement, – transitive : ∀n, m, pentiers sin=met m=palorsn=p,
• relation de perpendicularit´e sur les droites du plan :
– irr´eflexive : une droite ne peut pas ˆetre perpendiculaire `a elle mˆeme, – sym´etrique
– nontransitive : soientd1,d2etd3trois droites du plan, sid1perpen- diculaire `ad2,d2perpendiculaire `ad3, alorsd1etd3sont parall`eles !
• relation de parall`elisme sur les droites du plan :
– r´eflexive : une droite est toujours parall`ele `a elle-mˆeme, – sym´etrique
– transitive
• relation ”ˆetre un carr´e de” sur l’ensemble des entiers : – irr´eflexive : un nombre n’est jamais le carr de lui-mˆeme
• relation ”avoir un cˆot´e de mˆeme longueur” sur l’ensemble des triangles : – r´eflexive : un triangle a toujours trois cˆot´es de mˆemes longueurs que
ses propres cˆot´es ...
– sym´etrique
– nontransitive : soientt1,t2ett3trois triangles tels quet1a un cˆot´e de mˆeme longueur quet2 et t2 a un cˆot´e de mˆeme longueur que t3, alors on ne peut rien en conclure surt1ett3parceque dans ces deux relations ce n’est pas forc´ement le mˆeme cˆot´e qui est en commun entre des deux triangles !
Une relation d’´equivalence doit ˆetre r´eflexive, sym´etrique et transitive, les seules relations de l’exercice qui entre dans cette cat´egorie sont donc relation d’´egalit´esur les entiers et la relation deparall´elisme sur les droites du plan.
Exercice 2 : Ordre lexicographique
L’algorithme prend en param`etre deux mots repr´esent´es par des listes de lettres et renvoie vrai si le premier param`etre est plus petit que le second, et faux sinon.
Algorithme plus petit(M1,M2 : liste de lettres) : bool´een d´ebut
silisteEstVide?(M1)alors silisteEstVide?(M2)alors
retourner Vrai sinon
silisteTˆete(M1) = listeTˆete(M2)alors
retourner plus petit(listeQueue(M1), listeQueue(M2)) sinon
sicompare(listeTˆete(M1),listeTˆete(M2))alors retourner Vrai
sinon
retourner Faux fin si
fin si fin si fin si fin
Exercice 3 : Relation d’ordre partielle
Une relation d’ordre est une relation binaire r´eflexive, antisym´etrique et tran- sitive. De plus, elle est partielle si au moins un couple d’´el´ements ne peut pas ˆetre compar´e.
La relation de divisibilit´e sur l’ensemble des entiers est bien une relation d’ordre :
• r´eflexive : ∀nentier,nse divise lui mˆeme,
• antisym´etrique : ∀n, mentiers, sindivisemalorsn≥met simdivisen alorsm≥n, par cons´equent,n=m,
• transitive : ∀n, m, pentiers, sin divisemalors∃q entier tel quem=qn, si m divisepalors ∃r entier tel que p=rm, par cons´equent p=rqn ce qui signifie quendivisep.
Exercice 4 : Diagramme de Hasse
a- {(1,1),(1,2), . . . ,(1,12),
(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12), (3,3),(3,6),(3,9),(3,12),
(4,8),(4,12), (5,10), (6,12)}
b-
7 11
1 5
10
2 3
4 8
9 6 12
premiers nombres
c- 1 est le plus petit lment.
7, 8, 9, 10, 11, 12 sont des lments au bout des chanes maximales.
Exercice 5 : Petits diagrammes de Hasse
Il y a 15 formes diff´erentes de diagrammes de Hasse pour un ensemble ordonn´e de 4 ´el´ements :
a b
c
a b c d a
b
c d
a b
c d
a b
c d
a b c
d
a
b c d
a b c d
a b d c
a
b c
d
a b
c
d
a b
c d
a b
c
a b c d
d
a
b c d
(24)
(24)
(4)
(4)
(24) (24) (12)
(12) (1)
d (12)
(12)
(12)
(24)
(12) (12)
Exercice 6 : Chaˆıne maximale
a- Pour que A domine B il faut que A ⊂ B par d´efinition de ⊂ et que
∀C∈ P(E) siA⊂C etC⊂B alorsC=AouC=B. Ceci signifie tout simplement que B = A∪ {e} o e ∈E et e 6∈ A : il y a exactement un
´
el´ement deE de plus dans B que dans A, sinon on pourrait ”intercaler”
un autre ensembleC entreAetB qui serait `a la fois diff´erent deAet de B.
b- On sait qu’un ´el´ements de P(E) de la chaˆıne contient exactement un
´
el´ement de plus que son pr´ed´ecesseur, par cons´equent comme il y a n
´
el´ements dansE, on peut avoirn´el´ements deP(E) successifs. Comme∅ ∈ P(E) on commence la chaˆıne avec l’´el´ement∅et on ajoute successivement lesn´el´ements deE pour construire lesn´el´ements deP(E) de la chaˆıne.
La longueur maximale pour une chaˆıne est doncn+ 1, car on ne peut plus rien y ajouter.
Exercice 7 : Ordre Produit
a- Montrons que≤est une relation d’ordre, c’est--dire r´eflexive, antisym´etrique et transitive :
– r´eflexive : ∀a ∈ A,∀b ∈ B on a a ≤A a et b ≤B b car ≤A et ≤B sont des relations d’ordres surAetB respectivement ce qui implique (a, b)≤(a, b), c’est-`a-dire que≤est r´eflexive.
– antisym´etrique : soient a, a0∈Aet b, b0 ∈B tels que (a, b)≤(a0, b0) et (a0, b0)≤(a, b), par d´efinition de ≤on a donc a≤A a0, a0 ≤A a, b ≤B b0 et b0 ≤B b. Comme ≤A et ≤B sont des relations d’ordres surAet B respectivement, on en d´eduit que a=a0 etb=b0, ce qui implique (a, b) = (a0, b0), c’est-`a-dire que≤est antisym´etrique.
– transitive : soienta, a0, a00∈Aetb, b0, b00∈B tels que (a, b)≤(a0, b0) et (a0, b0)≤ (a00, b00), ceci implique que a≤A a00 et b ≤B b00 car ≤A
et ≤B sont des relations d’ordres sur A et B respectivement, par d´efinition de ≤on obtient donc que (a, b)≤(a00, b00), ce qui signifie que≤est transitive.
b- A×Bn’est pas totalement ordonn´e mˆeme siAetBle sont, en effet on ne peut pas comparer (a, b) et (x, y) lorsquea≤Axety≤Bbpour a, x∈A etb, y ∈B.
c- Les ´el´ements maximaux deA×B sont le produit des ´el´ements maximaux deA et de ceux deB. Supposons que a∈Aet b∈B sont maximaux, il n’existe donc pas dex∈Ani de y∈B tels quea≤Axoub≤By, on ne peut donc pas trouver dansA×B de (x, y) tel que (a, b)≤(x, y). De plus ces ´el´ements sont les seuls ´el´ements maximaux deA×Bcar (a, b)∈A×B est maximal implique qu’on ne peut pas trouver de x ∈ A ni de y ∈ B tels que a≤A xou b≤B y, sinon on aurait des ´el´ements (x, b)∈A×B ou (a, y)∈A×B tels que (a, b)≤(x, b) ou (a, b)≤(a, y) ce qui contredit que (a, b) est maximum.
On proc´ede de la mˆeme fa¸con pour prouver que les ´el´ements minimaux de A×B sont le produit des ´el´ements minimaux deAet de ceux deB.
d- A×B admet un plus grand ´el´ement si AetB admettent chacun un plus grand ´el´ement a∗ ∈ A et b∗ ∈ B. Le plus grand ´el´ement de A×B est alors (a∗, b∗), il est bien comparable `a tous les autres ´el´ements deA×B et plus grand qu’eux cara∗ et b∗ le sont dansAetB.
