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Correction TP 6 : Relation d’ordre

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Correction TP 6 : Relation d’ordre

Licence 2 MASS semestre 2, 2007/2008

Exercice 1 : Relations binaires

• relation d’´egalit´e sur les entiers : – r´eflexive : ∀nentiern=n,

– sym´etrique : ∀n, mentiers sin=malorsm=n´egalement, – transitive : ∀n, m, pentiers sin=met m=palorsn=p,

• relation de perpendicularit´e sur les droites du plan :

– irr´eflexive : une droite ne peut pas ˆetre perpendiculaire `a elle mˆeme, – sym´etrique

– nontransitive : soientd1,d2etd3trois droites du plan, sid1perpen- diculaire `ad2,d2perpendiculaire `ad3, alorsd1etd3sont parall`eles !

• relation de parall`elisme sur les droites du plan :

– r´eflexive : une droite est toujours parall`ele `a elle-mˆeme, – sym´etrique

– transitive

• relation ”ˆetre un carr´e de” sur l’ensemble des entiers : – irr´eflexive : un nombre n’est jamais le carr de lui-mˆeme

• relation ”avoir un cˆot´e de mˆeme longueur” sur l’ensemble des triangles : – r´eflexive : un triangle a toujours trois cˆot´es de mˆemes longueurs que

ses propres cˆot´es ...

– sym´etrique

– nontransitive : soientt1,t2ett3trois triangles tels quet1a un cˆot´e de mˆeme longueur quet2 et t2 a un cˆot´e de mˆeme longueur que t3, alors on ne peut rien en conclure surt1ett3parceque dans ces deux relations ce n’est pas forc´ement le mˆeme cˆot´e qui est en commun entre des deux triangles !

Une relation d’´equivalence doit ˆetre r´eflexive, sym´etrique et transitive, les seules relations de l’exercice qui entre dans cette cat´egorie sont donc relation d’´egalit´esur les entiers et la relation deparall´elisme sur les droites du plan.

(2)

Exercice 2 : Ordre lexicographique

L’algorithme prend en param`etre deux mots repr´esent´es par des listes de lettres et renvoie vrai si le premier param`etre est plus petit que le second, et faux sinon.

Algorithme plus petit(M1,M2 : liste de lettres) : bool´een d´ebut

silisteEstVide?(M1)alors silisteEstVide?(M2)alors

retourner Vrai sinon

silisteTˆete(M1) = listeTˆete(M2)alors

retourner plus petit(listeQueue(M1), listeQueue(M2)) sinon

sicompare(listeTˆete(M1),listeTˆete(M2))alors retourner Vrai

sinon

retourner Faux fin si

fin si fin si fin si fin

Exercice 3 : Relation d’ordre partielle

Une relation d’ordre est une relation binaire r´eflexive, antisym´etrique et tran- sitive. De plus, elle est partielle si au moins un couple d’´el´ements ne peut pas ˆetre compar´e.

La relation de divisibilit´e sur l’ensemble des entiers est bien une relation d’ordre :

• r´eflexive : ∀nentier,nse divise lui mˆeme,

• antisym´etrique : ∀n, mentiers, sindivisemalorsn≥met simdivisen alorsm≥n, par cons´equent,n=m,

• transitive : ∀n, m, pentiers, sin divisemalors∃q entier tel quem=qn, si m divisepalors ∃r entier tel que p=rm, par cons´equent p=rqn ce qui signifie quendivisep.

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Exercice 4 : Diagramme de Hasse

a- {(1,1),(1,2), . . . ,(1,12),

(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12), (3,3),(3,6),(3,9),(3,12),

(4,8),(4,12), (5,10), (6,12)}

b-

7 11

1 5

10

2 3

4 8

9 6 12

premiers nombres

c- 1 est le plus petit lment.

7, 8, 9, 10, 11, 12 sont des lments au bout des chanes maximales.

Exercice 5 : Petits diagrammes de Hasse

Il y a 15 formes diff´erentes de diagrammes de Hasse pour un ensemble ordonn´e de 4 ´el´ements :

(4)

a b

c

a b c d a

b

c d

a b

c d

a b

c d

a b c

d

a

b c d

a b c d

a b d c

a

b c

d

a b

c

d

a b

c d

a b

c

a b c d

d

a

b c d

(24)

(24)

(4)

(4)

(24) (24) (12)

(12) (1)

d (12)

(12)

(12)

(24)

(12) (12)

Exercice 6 : Chaˆıne maximale

a- Pour que A domine B il faut que A ⊂ B par d´efinition de ⊂ et que

∀C∈ P(E) siA⊂C etC⊂B alorsC=AouC=B. Ceci signifie tout simplement que B = A∪ {e} o e ∈E et e 6∈ A : il y a exactement un

´

el´ement deE de plus dans B que dans A, sinon on pourrait ”intercaler”

un autre ensembleC entreAetB qui serait `a la fois diff´erent deAet de B.

b- On sait qu’un ´el´ements de P(E) de la chaˆıne contient exactement un

´

el´ement de plus que son pr´ed´ecesseur, par cons´equent comme il y a n

´

el´ements dansE, on peut avoirn´el´ements deP(E) successifs. Comme∅ ∈ P(E) on commence la chaˆıne avec l’´el´ement∅et on ajoute successivement lesn´el´ements deE pour construire lesn´el´ements deP(E) de la chaˆıne.

La longueur maximale pour une chaˆıne est doncn+ 1, car on ne peut plus rien y ajouter.

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Exercice 7 : Ordre Produit

a- Montrons que≤est une relation d’ordre, c’est--dire r´eflexive, antisym´etrique et transitive :

– r´eflexive : ∀a ∈ A,∀b ∈ B on a a ≤A a et b ≤B b car ≤A et ≤B sont des relations d’ordres surAetB respectivement ce qui implique (a, b)≤(a, b), c’est-`a-dire que≤est r´eflexive.

– antisym´etrique : soient a, a0∈Aet b, b0 ∈B tels que (a, b)≤(a0, b0) et (a0, b0)≤(a, b), par d´efinition de ≤on a donc a≤A a0, a0A a, b ≤B b0 et b0B b. Comme ≤A et ≤B sont des relations d’ordres surAet B respectivement, on en d´eduit que a=a0 etb=b0, ce qui implique (a, b) = (a0, b0), c’est-`a-dire que≤est antisym´etrique.

– transitive : soienta, a0, a00∈Aetb, b0, b00∈B tels que (a, b)≤(a0, b0) et (a0, b0)≤ (a00, b00), ceci implique que a≤A a00 et b ≤B b00 car ≤A

et ≤B sont des relations d’ordres sur A et B respectivement, par d´efinition de ≤on obtient donc que (a, b)≤(a00, b00), ce qui signifie que≤est transitive.

b- A×Bn’est pas totalement ordonn´e mˆeme siAetBle sont, en effet on ne peut pas comparer (a, b) et (x, y) lorsquea≤Axety≤Bbpour a, x∈A etb, y ∈B.

c- Les ´el´ements maximaux deA×B sont le produit des ´el´ements maximaux deA et de ceux deB. Supposons que a∈Aet b∈B sont maximaux, il n’existe donc pas dex∈Ani de y∈B tels quea≤Axoub≤By, on ne peut donc pas trouver dansA×B de (x, y) tel que (a, b)≤(x, y). De plus ces ´el´ements sont les seuls ´el´ements maximaux deA×Bcar (a, b)∈A×B est maximal implique qu’on ne peut pas trouver de x ∈ A ni de y ∈ B tels que a≤A xou b≤B y, sinon on aurait des ´el´ements (x, b)∈A×B ou (a, y)∈A×B tels que (a, b)≤(x, b) ou (a, b)≤(a, y) ce qui contredit que (a, b) est maximum.

On proc´ede de la mˆeme fa¸con pour prouver que les ´el´ements minimaux de A×B sont le produit des ´el´ements minimaux deAet de ceux deB.

d- A×B admet un plus grand ´el´ement si AetB admettent chacun un plus grand ´el´ement a ∈ A et b ∈ B. Le plus grand ´el´ement de A×B est alors (a, b), il est bien comparable `a tous les autres ´el´ements deA×B et plus grand qu’eux cara et b le sont dansAetB.

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