Pr´eparation `a l’agr´egation externe Universit´e de Grenoble
Option calcul scientifique 2007/2008
TP n
o11 : transport et ondes
Equations de transport : on consid`ere l’´equation de transport la plus simple
∂f
∂t(x, t) +c∂f
∂x(x, t) = 0 et f(x,0) =f0(x).
Tester les sch´emas amont, aval et centr´e pour diff´erentes valeurs de c. On observera en particulier ce qui se passe en fonction du signe dec et de sa position par rapport `a dx/dt.
Equation des ondes : on consid`ere l’´equation des ondes
∂2f
∂t2(x, t) = ∂∂x2f2(x, t)
f(0, t) =f(1, t) = 0 , f(x,0) =f0(x) et ∂tf(x,0) = 0 .
Utiliser la discr´etisation de la d´eriv´ee seconde sous la forme un+1+udxn−21+2un. Consid´erer la stabilit´e du sch´ema en fonction du rapport dx2/dt.
M´ethode de Galerkin : on reprend l’´equation des ondes pr´ec´edentes. En d´ecomposant la fonction f(x, t) sous la forme
f(x, t) =X
n≥1
cn(t) sin(nπx) ,
r´esoudre explicitement l’´equation des ondes et pr´esenter une animation approch´ee.
