ethode rigoureuse pour l'etude de la propagation des ondes electromagnetiques dans les guides periodiques

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Methode rigoureuse pour l'etude de la propagation des ondes electromagnetiques dans les guides periodiques

ABDELKADER A M R I , J. CHANDEZON ET G. CORNET Lnboratoire de Radiotlectricitt. B . P . 45, 631 70 Aubiere, France

R e ~ u le 18 avril 1983

Les auteurs proposent une mCthode rigoureuse de I'Ctude de la propagation d'une onde Clectromagnttique dans les guides pCriodiques parfaitement conducteurs. Cette mCthode est appliqute aux guides possCdant en plus de la symCtrie de translation une symCtrie de' rCflexion. Le formalisme des Cquations de Maxwell sous forme covariante et un systeme de coordonntes non orthogonales dit de "translation" ont CtC utilisks. Grace a ce formalisme et 2 ce systeme de coordonnCes, la rCsolution des Cquations de propagation a CtC ramenCe a celle de la recherche des valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice caractkristique du guide. La dktermination des valeurs propres de cette matrice foumit la relation de dispersion et celle des vecteurs propres, les composantes du champ ClectromagnCtique. Les rCsultats numkriques et expCrimentaux sont confrontks pour le guide "Cchelette" ayant la symCtrie de translation rtflexion.

The authors propose an exact method for studying electromagnetic propagation in perfectly conducting periodical wave- guides with glide reflection symmetry. Maxwell's equations, written in a covariant,form, are solved in a nonrectangular coordinate system in order to satisfy the boundary conditions. As a result, the dispersion (Brillouin) diagrams are given by the eigenvalues of a matrix which characterizes the waveguide, and the eigenvectors of this matrix determine the components of the electromagnetic field. Computed and measured results are compared for an "echelette" waveguide with glide reflection symmetry.

Can. J. Phys. 61, 1311 (1983)

1. Introduction

La propagation des ondes tlectromagnCtiques dans les guides pkriodiques a fait l'objet d e nombreuses in- vestigations, a cause d e leurs applications dans la reali- sation des tubes a ondes progressives, amplificateurs et oscillateurs, et dans celle des accClCrateurs lineaires d e particules. Un cas particulier inttressant d e guide ptriodique 2 mCandres est celui qui posskde, e n plus de la symCtrie d e translation, une symetrie d e reflexion. Un tel guide p o s d d e d e nombreuses applications (antennes log-piriodiques, antennes en zig-zag, lignes meandres, lignes a retard, etc ...) (3, 4). Mittra et Laxpati ( 5 ) ont Ctudit rigoureusement la propagation des ondes dans un cas particulier d e tel guide, o b le domaine d e propagation peut Etre divise en sous domaines, aux frontikres dequels o n raccorde les solutions connues dans chaque sous-domaine. Cette mCthode d e raccorde- ment s'applique seulement si le domaine de propagation peut s e diviser e n sous-domaines dans lesquels nous connaissons les solutions des equations d e Maxwell, ceci n'est malheureusement pas le cas dans la plupart des applications.

4 notre connaissance, tous les travaux entrepris jusqu'alors sont bases, pour la determination du diagramme complet d e dispersion, sur des theories Clabo- r6es a partir des circuits equivalents. Nous savons q u e c e formalisme analogique est incapable d e represeater I'intCgralitC des phenomknes physiques et n'est le plus souvent valable q u e dans des domaines trks restreints.

L'utilisation des equations d e Maxwell sous forme

covariante (7) permet d e s'affranchir d e la difficult6 d'Ccrire les conditions aux limites qui emp6chait jusqu'alors 1'Claboration d e theories rigoureuses et gene- rales. En effet, il est alors possible d e choisir le systkme d e coordonntes afin q u e certaines surfaces d e coordon- nCes co'incident avec les surfaces limitant le domaine d e propagation. A l'aide d e c e formalisme, nous avons developpk une thCorie rigoureuse permettant d'inter- prtter les phenomknes d e propagation dans les guides ptriodiques e n g t n t r a l et dans le cas particulier d e guide periodique possedant la symktrie d e translation reflexion.

-

2.-Formulation du problerne

Nous nous proposons d'ktudier la propagation d'une onde Clectromagnttique, fonction harmonique du temps (dependant du temps par le facteur e'"'), dans un milieu diklectrique et magnttique parfait, limit6 par deux surfaces cylindriques infiniment conductrices.

Nous nous intkressons a c e que nous considkrons comme fondamental, c'est-a-dire I'etablissement et a 1'Ctude d e I'Cquation d e dispersion. Nous entendons par relation d e dispersion, pour 'un guide d'onde d e structure d o n n t e , la formule reliant les dimensions gCo- metriques d e la structure, la longueur d'onde d e fonctionnement dans le vide h (ou la frkquence d e fonc- tionnement v) et la longueur d'onde guidCe h,.

Nous considerons q u e le milieu est le vide et les directrices des deux surfaces limites sont deux fonctions pkriodiques d e la variable .r. Ces deux surfaces se d6- Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 12/09/14 For personal use only.

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1312 C A N . J. PHYS.

FIG. I . Excmplc dc structure avcc symktric dc translation rktlexion.

FIG. 2. Exemple de structure n'ayant pas la symetrie de translation retlexion.

duisent I'une de I'autre par des translations paralleles a l'axe Oy. Les figures 1 et 2 illustrent les structures dtfinies ci-dessus.

Notre forrnalisrne a cornrne point de dtpart les equations de Maxwell sous forme covariante (6). Leur rtsolution ntcessite au prealable le choix d'un systeme de coordonntes pour pouvoir les projeter. Le systeme de coordonntes dit de "translation" semble le mieux adap- t t a notre problerne.

2.1 Systktne cie coordonne'es de translation

A partir du systerne carttsien ( x i = x, x 2 = y, x ' = z), nous dtfinissons un nouveau systeme ( x i '

- X, X" = 1 4 , X" = Z ) avec

ou h est le facteur d'amplitude. a ( x ) est une fonction au rnoins dtrivable deux fois par rapport a x et dont la valeur maxirnale est egale a un.

max a(.r) = 1 (fonction sans dimension) La surface de coordontes (x", 11 = 110, x3') coi'ncide avec la surface lirnite suptrieure du guide, soit

VOL. 61, 1983

FIG. 3. illustration des coordonnCcs dc translation et de lcurs vcctcurs dc base dans le cas a ( . r ) = cos ( 2 ~ l D ) x .

La surface de coordonntes (x", u = 0, x") co'incide avec la surface limite infkrieure du guide, soit

Pour ce systeme de coordonntes le tenseur mttrique s'tcrit:

1 + h 2 a " h a ' (gi,,j') =

[

^{h a 1}₀ ₀¹

avec

a

⁼^{1, g}⁼diterminant de (g,,,,), a ' = d a l d x et

[ 5 ] ds' = ( 1

+

h'a") dx'

+

du'

+

dz'

+

2ha' dx d ~ c Les vecteurs de base du nouveau systerne sont lies aux vecteurs debase du systeme carthien par les relations:

La figure 3 est relative aux coordonntes de translation dans le cas oG

Les courbes de coordonntes u = 0 et uo = 2h sont tractes dans le plan z = cte.

Le systerne d'tquation dtrivt des Cquations de Max- well sous forme covariante (voir annexe).

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AMRI ET AL.

avec %" indicateur de Levi Civita, s'ecrit dans les coordonntes de translation ; dans le cas de la symttrie plane definie par a / d z = 0 :

a

E.

- ha" -

+

^k2E,⁼⁰

a

u

La relation [ 101 est independante de [ 8 ] et [9]. I1 existe donc deux types independants de solutions. Si nous nous interessons aux ondes de type transverse Clectrique (TE), [ l o ] suffit a risoudre completement le probleme.

3. Mode transverse electrique, resolution generale Les conditions aux limites se traduisent par la nullite des composantes covariantes tangentielles du champ Clectrique E sur les surfaces limitant le domaine de propagation. Dans [ l o ] , E; est fonction a la fois de la variable x et de la variable u , soit

Les conditions aux limites s'kcrivent

3.1 Dipetzdance transversale du champ

E,(x, ^{U )}: fonction donnee sur le segment [ 0 , uo].

Nous prolongeons cette fonction arbitrairement sur le segment [-u0, 0 ] de telle sorte que

[13] E T ( x , U ) = - E T ( x , - u )

Ori obtient une fonction impaire, se dtveloppant en strie de sinus sur le segment [ 0 , uo] d'oh

r,=x

[I41 E , ( x , u ) ⁼

C

E , ( x ) sin q n -, U u E 10, uo]

r/= l 110

E,(x) ^:q''"" composante de Fourier de E,(x, u ) , elle depend uniquement de la variable x . Nous savons que, si chaque terme d'une serie infinie possede une dtrivee, et si la strie des dCrivCes est uniformement conver- gente, alors la strie peut Ctre dtrivie terme a terme, c'est-a-dire

(/==

n u

d E 2 =

c

q -E,(x) cos q n -

~ 5 1 -

au

,=,

^uo ^uo

d2EZ q=" U

[ l f j ] ^-⁼

2

- ( q ~ ) 2 ~ q ( x ) sin q n -

d u 2 ^{( / = I} uo

En rempla~ant dans [ l o ] E,, dE,/du et d2E:/du2 par leurs dtveloppements respectifs, il vient

q = r

a2Eq . u u n

a 4

u

[I71

C [z

sln q n s - (1

+

h2a") E, sin q n - - 2 h a 1 q - - cos q n -

'/=I uo uo uo

U U

- h a U q H ~ , cos q n -

+

k 2 E q sin qn-] = 0

uo uo uo

Afin de pouvoir projeter [17] sur la base de Fourier, dtveloppons cos q n ( ~ ~ / u ~ ) en sCrie de sinus dans l'intervalle

[O, uol

-

³

,,==

U U

[I81 cos q n - =

C

LC/,, sin n n - u E [ O , uo]

, , = I uo '

avec

U 11

cos q n - sin n n - d u

r l n , uo uo

si les indices n et q sont de mCme paritt ou s'ils sont Cgaux, les coefficients de developpement L,,, sont nuls. Dans le cas des parites diffkrentes, nous avons:

Compte tenu de la nouvelle expression de cos q n ( u / u O ) , [17] s'ecrit Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 12/09/14 For personal use only.

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1314 C A N J . PHYS VOL. 61. 1983

d2E,l ^'/=" n dE,

1211

C [2

- (I

+

^h'o") E,,

+

k2E,, - 2h01

2

^{q -} ^-^{L , ,}

,,=I ,,= ^'0 d l

q = x

- ha" 'q E, L , , ] sin n n U = 0

q = I

L'ensemble des fonctions sin n n ( u / ~ i ~ ) forme une base complete dans I'espace dlHilbert, il faut donc que chaque composante soit nulle pour satisfaire A [2 I], c'est-A-dire

Ces tquations [22] sont valables pour toute fonction a ( x ) au moins deux fois dtrivable et tiennent compte des conditions aux limites u = 0 et u = uo. Nous poursuivons le calcul en prenant pour a ( x ) une fonction ptriodique.

3.2 Dbperzdance longitudit~ale du champ

a ( s ) : fonction periodique de ptriode D , elle est donc dtcomposable en strie de Fourier

/I' !-x

1231 a ( x ) =

C

al,e-'p""lD"

I)=-"

Posons p = 2 ~ r / D : "pulsation" spatiale.

avec

1 = + x

[251 bp =

C

^{j ( p}^-^j)ap-,a,

j = - =

I1 s'ensuit que

D'apres le theoreme de Floquet-Bloch, relatif a la propagation des ondes dans les structures piriodiques de ptriode D , suivant la direction de propagation Ox, les composantes de champ dependent de x par une fonction de la forme

,,,= ^{+ x}

[27] E,,(x) =

C

E ,,,,, e-'Y,rl'

I , , = - x

L'arnplitude E,,,,, de I'harrnonique d'ordre rn est une amplitude comptexe qui tient cornpte du dtphasage tventuel entre les differents harmoniques. y,, = y,

+

^rnP est la constante de propagation de I'harmonique d'espace d'ordre rn avec yo = 2~r/X,. Faisons agir l'operateur d2/dx2 sur la fonction E,,(x):

En reportant les expressions [24], [26], [27] et [28] dans I'tquation [22], il vient

L'ensernble des fonctions e-IYm' forme une base complete dans I'espace d'Hilbert. L'tquation [29] sera satisfaite si toutes les composantes sont nulles. Nous pouvons tcrire les deux relations suivantes.

(5)

AMRl ET AL.

-

{ '

m . Compte tenu de ces remarques, [29]

oh 6 ,,, , et 6,,, representent le symbale de Kronecker 6 ,,,, - p = m peut slCcrire sous la forme

Nous sommes en prCsence avec [32] d'un systkme algebrique linCaire homogkne dont les inconnues sont les amplitudes complexes E,. Ce systkme comporte m fois n Cquations dont les solutions peuvent Ctre portees dans [27] d'ou l'ensembles des E,(x). Le report de l'ensemble des E,(x) dans la relation [I41 donne la composante E l ( x , u ) du champ electrique. La condition d'existence d'une solution non triviale du systkme est que son determinant soit nul. Si nous satisfaisons a cette condition, nous obtenons une relation entre k et yo, c'est-a-dire entre la longueur d'onde dans le vide A et la longueur d'onde guidCe A, qui n'est autre que 1'Cquation de dispersion du guide.

Afin d'obtenir des courbes de dispersion valables pour l'infinite de guides "homothCtiquesW les uns des autres, nous rapportons les longueurs d'onde et les dimensions de la structure a la pCriode D ou a la largeur du guide uo.

A cet effet, posons

En pratique, il est plus facile de calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice que de chercher les zeros d'un determinant. Cependant, il n'est pas toujours possible de ramener la recherche des zeros d'un determinant au calcul des valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice. Heureusement notre formulation du problkme permet bien ce passage. Dans ce but nous Ccrirons [32] sous la forme suivante.

- G,,,a2n'b,,,-, - a ( m - p)a,,,-,(2r + m + PI&,, Eqp Si nous associons h E l , le ket

I

^E, ^>la relation 1341 s'ecrit alors:

J

1351 A ~ E , > = K ' ~ E , >

A est une matrice definie par son Clement ( m n , pq): -

C i

1361 A ( m n , p q ) = 6,,,,6,,,

(r

⁺^mI2⁺^-^-G,,,a2n2b,,,-, - a ( m - p ) a ,,,-, ( 2 r

+

m

+

p)qL,,, 4 R 2

"' 1

La matrice A et par suite ses valeurs propres K 2 = ( D / A ) ~ sont des fonctions de

r

⁼D/A,, ce qui donne K = K ( T ) .

3.3. Cas 02 h = (u,/'Tr)a = 0

Les relations [ 2 ] et [ 3 ] indiquent qu'il s'agit d'un guide d'onde plan parallkle. Les parois supCrieures et inferieures de ce guide coi'ncident avec les surfaces de coordonnCes y = uo et y = 0 du systeme de coordon- nCes cartCsien ( x , y, z ) . La matrice A se rkduit a une matrice diagonale dont les valeurs propres sont donnees Par

La relation 1371 n'est autre que 1'Cquation de dispersion du mode transverse electrique d'ordre n (TE,,,) d'un guide rectangulaire de largeur uo = RD. L'indice m est le numCro d'ordre des harmoniques d'espace. Chaque mode est caractCrisC par une longueur d'onde de cou- pure A, = 2 u o / n ( n E N*).'

La figure 4 donne les courbes de dispersion du guide rectangulaire pour le fondamental ( m = 0 ) du mode TEo, et ses harmoniques ( m = k 1 ) . Dans le cas prC- sent, seule l'onde fondamentale ( m = 0 ) existe, les autres ondes "partielles" ( m f 0 ) ont leur amplitude nulle.

(6)

CAN. 1. PHYS. VOL. 61. 19x3

Frc. 4. Diagramme de dispersion du guide rectangulaire.

- Courbe de dispersion du mode TE,, - -- Courbes de dispersion des harmoniques d'espace ^{( m =}? 1).

Frc. 5 . Illustration du guide h symktrie de translation rC- flexion. --- Plan de glissement.

3 . 4 . Cas ^OKh = (u,/n)a Z 0

Dans ce cas les difftrents modes et leurs harmoniques sont couplts entre eux par l'intermtdiaire des coefficients b,,,-,, et a,,,-, caracttrisant la gtntratrice du guide. Les ondes partielles correspondant aux harmoniques d'espace ont une existence physique. La relation [35] est valable pour toute fonction a ( x ) ptriodique, au moins deux fois dtrivable. Nous appliquons notre formalisme a l'ttude de la propagation des ondes tlectro- magnttiques dans les guides ptriodiques a symetrie de translation rtflexion (STR). Ces structures ont fait l'objet de nombreux travaux (8, 9, 5), en raison de leur application pratique.

translation-rtflexion (STR) si celle-ci demeure inva- riante, non seulement pour une translation parallele a la direction x, de ptriode D , mais aussi pour une translation de D / 2 suivie par une symetrie par rapport au plan milieu (plan de glissement) (voir fig. 5). Ce type de structure est dtsignt dans la litttrature anglosaxonne sous le vocable "glide rtflection symmetry." Le terme

"glide" lui-m&me est empruntt 2 la litttrature de l'ttat solide.

Nous pouvons dtmontrer (1) que la matrice A carac- ttristique du guide STR est une matrice hermitique. Ses valeurs propres K2 sont donc reelles pour tout

r

⁼D/X, (2). La matrice A est d'ordre infini. Pour effectuer les calculs il faut limiter cet ordre a une valeur S. Cette limitation est justifite par la convergence des valeurs propres. Autrement dit, le champ Clectroma- gnttique est assez bien represent6 par S vecteurs propres

1

E, > ayant S composantes E, non nulles.

E,,, = 0 pour

I p 1

^LP et/ou q L Q avec p ^EZ et q E N*.

La matrice A est alors d'ordre S = (2P

+

^1)Qet elle comporte S valeurs propres ~f,,,, c'est-a-dire, S valeurs positives de K,,,,,. Ces difftrentes valeurs propres correspondent aux diff6rents modes et aux divers harmoniques. Pour fixer les idtes, supposons que le champ tlectromagnttique est bien represent6 par vingt et un vecteurs propres, c'est-h-dire, que nous avons limitt:

I p I

P ⁼3 et q Q ⁼3. Dans ce cas les vingt et une

valeurs propres correspondent:

- trois aux modes fondamentaux (TEoI, TEo2, TEo3);

- chaque mode fondamental a six harmoniques.

5. Quelques exemples d'etudes numerique et expbimentale de la courbe de dispersion du guide

STR

Des calculs numtriques ont t t t effectuts sur ordina- teur pour determiner les valeurs propres et les vecteurs propres de 1a"matrice caracttristique du guide, d'ou les courbes de dfspersion. Nous avons trait6 deux exemples de guide STR:

- le guide sinusoi'dal STR - le guide 6chelette STR.

5.1. Guide sinusoi'dal STR

Pour un tel guide la fonction a ( x ) est dtfinie par

p = + x

a ( x ) = cos -x 2Tr = cos px = D ^p=-"

[381 _-_{- -}l .ipr +

l

^e-;p.

2 2

d'ou les coefficients a, intenenant dans les Cltments de la matrice A:

4. Guide a symetrie de translation-reflexion 1 a _ , = a l = -

Definition 1391 2

Une structure ptriodique est dite a symttrie de a,, = 0 V p $?! {+l,-1) Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 12/09/14 For personal use only.

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A M R l ET AL. 13 17

TABLEAU 1. Convergence avec P et Q de K = D/A du guide sinusoi'dal dCfini par les paramktres gComCtriques : a = 1019, R = uo/D = 0,45,

r

⁼D/A, = 0,25

FIG. 6. Coupe longitudinale d'un guide homothCtique au guide CtudiC.

Nous avons post [24]

p = + m - -p'

C

^b,,e-'ij".'

[41] a'' -

/,=-*

L'identification des expressions [40] et [41] donne les coefficients 6,:

FIG. 7. Courbes de dispersion du guide sinusoi'dal avec R = uo/D = 0,4f et cl' = -rrh/tlu = 1019. Premikre et deuxikme bandes i'nterdites.

5.1 . I . Etude de la convergence

Nous avons Ctudit en fonction de P et de Q ( P et Q sont les limites suptrieures de la variation des indices p et q ) pour une valeur donnte de

r

⁼D/A,, la convergence de la valeur propre K = D/A. Ces valeurs numtriques sont rassembltes dans le tableau 1. Nous constatons qu'au-deli d'un couple de valeur ( P , Q), K,,,,, devient constante. C'est prtcistment cette valeur constante de K,,,,, que nous prenons pour le tract de la courbe de dispersion.

La figure 6 reprtsente une coupe longitudinale d'un guide homothttique au guide ttudit. Le tableau 2 donne les valeurs de K assocites au diagramme de Brillouin de la figure 7. Le tableau 3 est relatif au diagramme de Brillouin de la figure 8.

5 .I .2. Considbrations gbnbrales

Les courbes que nous obtenons sont difftrentes de celles des structures ptriodiques classiques (guide i iris pour acctltrateur lintaire par exemple). La figure 9 donne une coupe longitudinale d'une structure classique. La figure 10 donne les courbes de dispersion correspondantes.

Nous notons l'absence de bande interdite au "mode .rr" qui correspond i

r

⁼0,5 dans les diagrammes de dispersion. ~ ' a ~ ~ a r i t i o n de cette dernikre est fonction du paramktre R. Nous pouvons distinguer deux cas de figure:

R < V 5 / 2 : apparition de la premikre bande interdite et les autres au mode 2.rr, c'est-i-dire i

r

⁼1;

(8)

C A N . J . PHYS. VOL. 61, 1983

TABLEAU 2. Valeurs numeriques associkes la figure 7

TABLEAU 3. Valeurs numkriques associkes a la figure 8

R > V 5 / 2 : l'apparition de la premikre bande interdite se situe entre le mode ^Tet le mode 2 ~ ;

R = f i / 2 s'obtient en imposant la courbe de dispersion de l'harmonique m = 1 du mode TE,, de passer par la frkquence de coupure du mode TEo2.

Notons aussi que chaque bande passante est caractC- riske par deux branches se dCduisant l'une de l'autre par une simple translation parallele

a r

dans le plan (T, K) de

r

⁼1. Chaque branche est pkriodique, de pCriode

r

⁼^2.

5.1.3. Etude qualitative

L'absence de la bande interdite au mode ^Test due a l'absence du couplage entre le fondamental et son pre-

mier harmonique. Ceci se traduit par un simple croise- ment entre les deux branches de la premikre bande passante.

Dans le cas ou les frkquences de coupure des diffk- rents modes du guide lisse sont suffisamment espackes (voir fig. 1 l ) , ce qui c o e s p o n d 5 R G d / 2 , l'apparition de la premiere bande interdite peut Etre attribuCe : - au couplage entre I'harmonique d'espace fondamen- tale du mode TE,, du guide lisse et son deuxieme har- monique (m ⁼$2).

Dans le cas o~ les frCquences de coupure des modes du guide lisses sont strrkes (voir fig. 12) R

*

^{V?/2 il}

y a chevauchement des divers modes et de leurs harmo- Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 12/09/14 For personal use only.

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AMRl ET AL

FIG. 8. Courbes de d ~ s p e r s ~ o n du guide sinuso~dal avec R = u o / D = 8 et a = 1019. Premikre et deuxikme bandes interdites.

FIG. 9 . Coupe longitudinale du guide en crCneaux.

0, 5 I 1.5

Frc. 10. Courbes de dispersion du guide en creneaux.

niques et on ne peut, 2 priori, rien dire sur I'apparition prematuree de la bande interdite. Cependant, nous si- gnalons qu'une methode de perturbation inspiree de celle utilisCe dans la physique du solide est en cours d'klaboration au laboratoire, cette methode qui fera

Frc. 11. Courbes de dispersion du guide lisse avec R = u o / D = 2. - Mode transverse Clectrique T G I I ,

mode transverse Clectrique TG,?, - . - mode transverse Clectrique TE,],, --- mode transverse Clectrique TE,,.

l'objet d'un autre article nous permettra de suivre I'evo- lution du diagramme de dispersion en fonction de la perturbation des parois du guide. Y.

-

5.2. Guide Pchektte STR

La figure 13 illustre le guide Cchelette STR avec le choix approprik des axes de coordonnees pour dCter- miner I'expression analytique de la directrice du guide ( a ( x ) ) . Cette directrice est pCriodique de periode D , il suffit donc de connaitre son expression dans I'intervalle [ - 0 1 2 , D / 2 ] pour qu'elle soit completement difinie.

L'expression de la directrice s'Ccrit

dans l'intervalle x E [O, D / 2 ] et

dans l'intervallex E [ - D / 2 , 0 ] . Afin de determiner les coefficients a,,,-, et b,,,-, qui figurent dans I'expression Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 12/09/14 For personal use only.

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1320 ^CAN.J . PHYS. VOL. 61. 1983

cos p x

+

^-1 cos 3 p x

0 0 , s I 1 . 5 Tr- 9

FIG. 12. Courbes de dispersion du guide lisse avec R = 8.

- Mode transverse tlectrique TE,,,, mode transverse tlectrique TEoZ, -. - mode transverse Clectrique TE,,?,

--.... mode transverse Clectrique TEo,.

de l'tltment ( m n , pq) de la matrice A ([36]), dtveloppons a ( x ) en strie de Fourier. Pour cela nous choisis- sons l'axe Ox de telle sorte que

a ( x ) = a(-x) [451 p = t r

a ( x ) =

C

^ape-ipP'

p = -"

tout calcul fait

4 1

b , = - , 4

Tr-

[471

b,,,-, = 0, V(m - p ) # 0

FIG. 13. Coupc longitudinale du guide cchelettc STR.

les calculs des valeurs propres, il faut que l'ordre de la matrice A soit fini (limitation justifite par la convergence des valeurs propres), ceci se traduit par une limitation de termes du dtveloppement de a ( s ) . Ce nombre est au plus tgal ii ( 2 P

+

l), ce qui h i t disparaitre les angles vifs de a ( x ) et de d a l d x comme le montre la figure 14. Dans'cette figure, a ( x ) est donnte par

1 1

+

- cos 5 p x

+

^-cos 7 p x

25 49

avec

p

⁼2 ~ r / D .

En toute rigueur on ne resoud pas exactement le probleme du guide tchelette STR, mais un probleme voisin prtsentant les conditions de dtrivabilitt requise par [lo]. Nous donnons comme exemple un guide tchelette STR dont on a fait I'ttude thtorique et experimen- tale. Les caracteristiques gtomttriques de ce guide (fig. 15), sont les suivantes:

Le tableau 4 donne les valeurs de la courbe de dispersion exptrimentale et le tableau 5 donne les valeurs de la cource de dispersion thtorique. La figure 16 donne la 5.2.1. Etude "um'rique du guide STR courbe associte au tablead 5; les valeurs exptrimentales La fonction a ( x ) caracttrisant la directrice des sur-

reprtsenttes par des croix.

faces limites du guide prtsente des angles vifs ainsi que sa dtrivte premiere. L'tquation [lo] ntcessite la conti-

nuitt de a ( x ) , de d a l d x et d2a/dx'. Nous pouvons 6. Conclusion

contourner cette difficultt, si nous prenons en compte le Dans le but d'ttudier rigoureusement la propagation fait que ce n'est pas la fonction a ( x ) qui intervient dans des ondes electromagnttiques dans les guides ptrio- la rtsolution de l'tquation [lo], mais son dtveloppe- diques en gtntral, et dans les guides ptriodiques ii ment en strie de Fourier. Or, nous savons que pour faire symttrie de translation reflexion, en particulier, nous Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 12/09/14 For personal use only.

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AMRl ET AL. 1321 TABLEAU 5. Valeurs thCoriques associCes a la

figure 16

I (GHzl 2

FIG. 14. Approximation du guide Cchelettc STR.

/

FIG. 15. Coupe longitudinale du guidc Cchclette ayant fait I'objet de I'Ctude thCoriquc et expCrimentalc.

/'

TABLEAU 4. Valeurs numCriques expCrimentales associCes h la figure 16

FIG. 16. Courbes de dispersion du guide Cchelctte STR.

- Courbe thCorique, + + + + - points experimentaux, courbc du guide lisse avec = 19,168 mm.

avons utilisC les Cquations de Maxwell sous forme covariante et un systkme de coordonnkes dit de translation nous permettant d'Ccrire de maniere analytiquement simple les conditions aux limites.

Grice A cette mkthode, nous avons pu substituer la recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d'un opkrateur linCaire A la rCsolution d'tquations aux dCrivtes partielles. Dans le cas des guides posstdant la symktrie de translation reflexion, nous avons dkmontrk Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 12/09/14 For personal use only.

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1322 CAN. J . PHYS. VOL. 61. 1983

q u e la matrice associee a cet operateur est une matrice hermktique. Cette propriett remarquable nous a permis d e faire appel aux rCsultats des nombreux travaux d'analyse numerique rnis au point pour rCsoudre les problkmes d'algebre lineaire et, en particulier, pour calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une telle rnatrice ; c e qui a considCrablement facilite notre t k h e .

Notre mithode apporte une contribution a la resolution des problemes de propagation des ondes Clectroma- gnktiques dans les guides ptriodiques. Elle est suscepti- ble d e se gtneraliser aux guides presentant des pertes dans les parois.

Cependant, elle sernble difficilement generalisable pour les guides ditlectriques a meandres. C'est pour- quoi parallklement a c e travail nous avons dCveloppC une autre mCthode issue d e nos travaux relatifs a la diffraction par les rCseaux qui ne souffre pas des m&mes limitations, mais elle est plus difficile a mettre en oeuvre pour les guides d e conductivitt infinie.

1. A. AMRI. Thkse de 3kme cycle d'electronique, numCro d'ordre 683. Clermont-Ferrand, France. 1982.

2. A. ANGOT. Co~nplCments de mathematiques. Masson et Cie, Paris, France. 1972.

3. A. HESSEL et A. A. OLINER. Electromagnetic wave theory. Edited by J . Brown. Pergamon Press, New York, NY. 1965. pp. 251-260.

4. R . B. KIEBURTZ et J . IMPAGLIAZZO. lEEE Trans. Anten- nas Propag. 18, 3 (1970).

5. R. MITTRA et S. LAXPATI. Can. J . Phys. 43, 353 (1965).

6. E. J . POST. Formal structure of electromagnetics. North- Holland, Amsterdam, Les Pays-Bas. 1962.

7. J . CHANDEZON. Thkse d'Etat 6s sciences physiques, strie E, numCro 261. Clermont-Ferrand, France. 1979.

8. A. HESSEL, M. H. CHEN, R . C. M. LI et A. A. OLINER.

Proc. IEEE, 61, 183 (1973).

9. P. J . CREPEAU et P. R. MC ISAAC. Proc. IEEE, 52, 33 (1964).

Annexe: Les equations de Maxwell sous forme covariante

Dans l'espace quadri-dirnensionnel espace-temps, le champ Clectrornagnttique est caracterist par un tenseur antisymttrique F representant le couple ( E , B) et un pseudo-tenseur antisymktrique '3 reprtsentant le couple

( D , H I .

Dans tout systeme d e coordonnkes x q e cet espace, les Cquations d e Maxwell sous forme tensorielle covariante, reliant les composantes de F ou de '3, s'kcrivent, e n l'absence d e charges et d e courants

dlEinstein qui sous-entend la sommation pour les indices rtpCtCs dans le m&me monbme, soit

3

a"%x"

- ^x

_"=a ^a"%Au

L e s propriCtCs tlectromagnetiques du milieu sont ca- racteriskes par un pseudo-tenseur X , reliant les tenseurs F e t '3.

Les Cquations [ A l l sont covariantes (elles conservent le m&me aspect formel) dans toute transformation holo- nbrne d e coordonnkes faisant passer d'un systeme x"

un systeme x". Les relations d e passage d'un systeme

a

l'autre pour les cornposantes des differents tenseurs slCcrivant

[A31 FA^,^ = A:. A

:.

^FA,

[A41

I

^A^L'( '3"'" = A;' A

:'

^'3'"

[A51

I

A:'

I

X A 1 ' a K = A

k.

^A

:.

^{A t .}^A

:,

X A ' V ' u ' K '

avec

( A : '

I

representant le determinant d e la matrice dont les ClCments sont A

1

.

U n e transformation d e coordonnkes est holon6me si

a z x A '

- azxA

[A71 - - - (A, v , A' = 0, 1, 2, 3)

~ X ~ ~ X " X ~ X ~ '

C e formalisrne gtneral est trks puissant mais lourd

a

utiliser pour la rtsolution des problemes d e propagation tlectromagn&tique. U n formalisme plus l t g e r et plus commode (eT,voisln d e la forme classique des Cquations d e Maxwell), rnais conservant les proprietts fondamen- tales du precedent peut &tre obtenu

a

partir, d e celui-ci d e la maniere suivante. A partir des composantes du tenseur ClectromagnCtique F et '3 d e l'espace quadri- dirnensionnel, o n dtfinit dans l'espace trois dirnen- sions, les composantes d e deux vecteurs covariants E et H e t d e deux pseudo-tenseurs controvariants 93et 9 par les relations

Les indices en lettres grecques ttant r6servCes

a

_H' ₌_-¹

_z..

9 . k

l'espace-temps : A, v , K = 0, 1, 2, 3 , avec x u = t . I J ~

L'tcriture d e ces Cquations utilise la convention Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 12/09/14 For personal use only.

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AMRl ET AL. 1323 Les indices en lettres latines Ctant rtservees a I'espace a trois dimensions : i , j , k = 1 , 2, 3 ; %'lL et desi- gnant les indicateurs de Levi-Cevita.

0 si deux indices sont Cgaux

+

1 si les indices sont obtenus au moyen d'un nombre pair de permutations a partir de 1, 2, 3

- 1 dans le cas contraire

Avec ces nouvelles dtfinitions, les Cquations de Maxwell [All deviennent

Ecrites sous cette forme, ces Cquations sont covariantes dans toute transformation de coordonntes n'affectant pas la variable temps. Les relations de passage s'ecri- vant alors

i

^E;.^3''⁼⁼^Al ~ j , I ~ j ' % ;

^{j ,}

^Ei [A101 Hi. = A;. H;

9" ⁼/ A ; , ( A ; ' 9' i , i l = 1, 2, 3

Le pseudo-tenseur

x

(quatre fois contravariant) caracttrisant le milieu donne naissance, dans ce nouveau formalisme, 2 deux pseudo-tenseurs ; l'un (deux fois contravariant) de composantes ei' =

xQ"'

^;l'autre (deux fois covariant) de composantes

xi,

⁼%iL1%j,,,,,xk'""l. Ten- seurs au moyen desquels les relations de milieu peuvent

&tre Ccrites

Ces relations sont rapprocher, dans le cas d'un milieu homogkne et isotrope, des relations de 1'ClectromagnC- tisme classique

oh ^Eet CL sont des constantes, indtpendantes du sysdme de coordonnCes. Par contre, dans le formalisme covariant, les pseudo-tenseurs de milieu E" et

x,,

sont fonctions du systkme de coordonntes, mais 1'Ccriture des Cquations de Maxwell [A91 en est indtpendante, ce qui est d'une grande commoditt en coordonntes non orthogonales.

Les tenseurs de milieu peuvent alors s'Ccrire en fonction du tenseur metrique (g,]) ou (g") du systkme de coordonntes, au moyen des relations

avec g =

I

gij

1

⁼

/

g6l-I.

Pour une onde monochromatique de pulsation w , en utilisant les amplitudes complexes pour lesquelles d l d t = i w (avec k = w / c , E ~ C ' = 1 ) ; les tquations de propagation du champ Clectrique peuvent &tre obtenues a partir des Cquations de Maxwell [A91 et des relations de milieu [A l I] et [A1 31, soit

Des Cquations_analogues peuvent &tre obtenues pour les autres compcsantes ( 9 , 3 , H ) du champ Clectroma- gnCtique mais I'tquation [A141 suffit ⁱⁱrtsoudre com- plktement les problkmes dans le cas ou le domaine de propagation est limit6 par des surfaces infiniment conductrices. Si ces limites co'incident avec une surface de coordonntes, il suffit alors d'tcrire la nullitt des composantes covariantes tangentielles de E sur cette surface.