LA PROPAGATION DES ONDES DE MARÉE

640 LA H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL B/1957

La propagation des ondes d e m a r é e

T h e p r o p a g a t i o n o f t i d e waves***

P A R L. VANTROYS

C H E F D U S E R V I C E D E S U S I N E S M A R É M O T R I C E S A L ' É L E C T R I C I T É D E F R A N C E

Les hypothèses simplificatrices ayant permis d'aborder le problème de la propagation des ondes de marée sont mises en évidence :

•— Ce sont des « ondes longues » ou « ondes de masse », c'est-à-dire que (contrairement au cas de l'étude de la houle) on y néglige les gradients verticaux;

— Les oscillations de la surface libre sont infi- niment petites par rapport à la profondeur moyenne;

— Les oscillations étudiées sont rigoureusement sinusoïdales ce qui en permet la représentation par des nombres complexes.

Les hypothèses complémentaires définissent les différents cas étudiés :

1. Zone géographique restreinte, profondeur uni- forme, rotation uniforme, absence de frotte- ment, absence de potentiel générateur.

2. Zone géographique restreinte, profondeur uni- forme, rotation uniforme, frottement fonction linéaire de la vitesse du courant, absence de potentiel générateur.

3. (Cas des m a r é e s l i t t o r a l e s ) . Zone géographique restreinte, profondeur non uniforme, rotation uniforme, frottement, absence de potentiel générateur.

-L (Cas des m a r é e s o c é a n i q u e s ) . Zone géographi- que étendue, profondeur non uniforme, rota- tion non uniforme, absence de frottement, action du potentiel générateur.

Des développements mathématiques représen- tant les solutions des cas 1 et 2 ont pu être explicités. Par contre, pour les cas plus com- plexes 3 et k {profondeur non uniforme), à dé- faut de formule générale, des méthodes d'ap- proximation ont été indiquées permettant une solution des problèmes rencontrés par des mé^

thodes1 numériques ou par l'emploi de modèles réduits hydrauliques.

The following assumptions used in dealing with the problem of tide wave propagation are brought into évidence :

a) Thèse waves are «.long waves », so that their vertical gradients are neglected, {which is contrury to studies concerning swell) ;

b) The free surface oscillations are infinitely small, compared to the mean depth;

c) The oscillations observed arc strictly sinu- soïdal, so that they can be represented by complex numbers.

The complementary hypothèses define the va- rions cases considered, as foltows :

l.Restricted geographical area, uniform depth, uniform rotation, no friction, no generating pofential;

2. Restricted geographical area, uniform depth, uniform rotation, friction depending linearhj on stream velocity, no generating potential;

3. (Coastal t i d e case). Restricted geographical area, non-uniform depth, uniform rotation, friction, no generating potential;

•L (Océan tide case). Large geographical area, non-uniform depth, non-uniform rotation, no friction, active generating potential.

Mathematical developments representing solu- tions for cases 1 and 2 are explicited, but, in the absence of a gênerai formula, approxima- tion methods are given for the more complex cases 3 and k (non-uniform depth), by meuns of which encountered problems can be solved by numerical methods or hydraulic scale mo~

dels.

(*) Cette c o m m u n i c a t i o n p r é s e n t e sous u n e forme condensée q u e l q u e s r é s u l t a t s exposés d a n s u n e thèse de D o c t o r a t ès Sciences s o u t e n u e en S o r b o n n e le 23 février 1957 sous le t i t r e « Le r e m o u s d ' u n ouvrage d a n s u n e m e r à m a r é e »,

(*) This a r t i c l e gives a condensed account of a few r e s u l t s p r e s e n t e d in a Doctorat ès Sciences t h e s i s r e a d before t h e S o r b o n n e on t h e 23rd f e b r u a r y 1957 a n d entitled « The d i s t u r b a n c e s caused by a s t r u c t u r e in t i d a l sea ».

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957015

N" SPÉCIAL B/1957 M. VANTROYS 641

I. — É Q U A T I O N S D U P R O B L È M E

R e p r e n o n s la g e n è s e d e s é q u a t i o n s q u i s o n t à la b a s e d e l a t h é o r i e d e s m a r é e s . N o u s p o u r r o n s m i e u x a i n s i p e s e r les h y p o t h è s e s d o n t d é p e n d l e u r v a l i d i t é .

C o m p r i s e n t r e l ' a t m o s p h è r e , d o n t la s é p a r e s a s u r f a c e l i b r e , et l ' é c o r c e t e r r e s t r e , s u r l a q u e l l e elle r e p o s e , l ' h y d r o s p h è r e e s t s u s c e p t i b l e de m o u - v e m e n t s d i v e r s q u e la M é c a n i q u e c l a s s i q u e d é - t e r m i n e p a r l ' e n s e m b l e d e s r e l a t i o n s s u i v a n t e s :

Entre fond et surface libre, la m a s s e d ' e a u d e s o c é a n s et d e s m e r s , s u p p o s é e incompressible,

obéit à l ' é q u a t i o n d y n a m i q u e et à la c o n d i t i o n de c o n t i n u i t é q u i , rapportées à des repères liés à la Terre, s ' é c r i v e n t :

rfV

dt A V f(V) =grad + T + P

d i v ( V ) = 0

(D) (C)

t = v a r i a b l e « t e m p s », V = v i t e s s e d u c o u r a n t ,

« = v e c t e u r r o t a t i o n d e la T e r r e ,

/ (V) = fonctionnelle d u v e c t e u r V figurant l ' a c t i o n g l o b a l e d e s f r o t t e m e n t s , d e la v i s c o s i t é et de la t u r b u - l e n c e ,

p — p r e s s i o n ,

u. = m a s s e spécifique de l ' e a u de m e r , T = p o t e n t i e l d u c h a m p permanent de la

p e s a n t e u r (*),

P = p o t e n t i e l d u c h a m p perturbateur, gé- n é r a t e u r de la m a r é e (**).

Sur le fond, le v e c t e u r c o u r a n t d e v r a r e s t e r t a n g e n t à l a s u r f a c e l i m i t e , q u e n o u s s u p p o s e -

(*) Ce potentiel T c o m p r e n d l'attraction résul- tante de toutes les masses terrestres supposées rigi- dement liées les unes aux autres — l ' h y d r o s p h è r e étant en équilibre — et l'action de la force centri- fuge due à la rotation de la T e r r e . T est indépen- dant de la variable t.

(**) Ce potentiel P comprend, rapportées à des repères liés à la T e r r e , les attractions lunaire et solaire et l'attraction « du bourrelet », qui est la différence, due à la m a r é e elle-même, entre l'attrac- tion instantanée des forces terrestres et l'attraction p e r m a n e n t e qui entre dans la définition de T; cette différence est égale à l'attraction du bourrelet dit

« positif » diminuée de l'attraction du bourrelet dit

« négatif » ; le bourrelet « positif » est constitué p a r la masse d'eau qui s'est élevée au-dessus de la surface libre d'équilibre dans le c h a m p dérivant de T, le bourrelet « négatif » étant la masse d'eau qui serait nécessaire p o u r combler toutes les dépressions où la surface libre s'est abaissée au-dessous de cette situation d'équilibre. P est fonction du temps /.

r o n s fixe, ce q u i r e v i e n t à négliger toute défor- mation de l'écorce terrestre, et e n p a r t i c u l i e r les m a r é e s d e l ' é c o r c e t e r r e s t r e . Cette c o n d i t i o n s ' é c r i r a :

n. V = 0 ( F )

72 étant le vecteur unitaire n o r m a l au fond.

Sur la surface libre, il d e v r a y a v o i r é q u i l i b r e de p r e s s i o n e n t r e h y d r o s p h è r e et a t m o s p h è r e . Si nous négligeons la réaction sur l'océan des perturbations météorologiques, e t e n p a r t i c u l i e r de la m a r é e a t m o s p h é r i q u e , n o u s p o u r r o n s é c r i r e q u e la p r e s s i o n à la s u r f a c e l i b r e e s t u n i f o r m e et c o n s t a n t e :

P=P« (S)

L ' e n s e m b l e d e s é q u a t i o n s ( D ) , (C), ( F ) , ( S ) , et d e c o n d i t i o n s i n i t i a l e s à p r é c i s e r , définit le m o u - v e m e n t d e l ' h y d r o s p h è r e .

Si l ' o n n ' a en v u e q u e l ' é t u d e d e s m a r é e s , d i - v e r s e s h y p o t h è s e s p e r m e t t e n t d e s i m p l i f i e r les r e l a t i o n s c i - d e s s u s .

T o u t d ' a b o r d , s u p p o s a n t faibles les a m p l i t u - d e s d e s d é p l a c e m e n t s e t d e s c o u r a n t s , o n n é g l i - g e r a , d e v a n t c e u x d u p r e m i e r d e g r é , les t e r - m e s d u s e c o n d d e g r é p a r r a p p o r t a u c o u r a n t e t à ses d é r i v é e s ; d ' o ù :

dV dt

9 V + V . g r a d ( V ) #

dt = x v le s y m b o l e X r e p r é s e n t a n t l ' o p é r a t i o n d e d é r i v a - t i o n p a r r a p p o r t a u t e m p s , les v a r i a b l e s s p a t i a - les i-estant c o n s t a n t e s .

U n e r e m a r q u e e s s e n t i e l l e s ' i m p o s e , à s a v o i r q u e le c h a m p p e r t u r b a t e u r ( v a r i a b l e ) q u i d é r i v e d e P est extrêmement petit à côté d u c h a m p p e r m a n e n t q u i d é r i v e d e T ; le r a p p o r t d u p r e -

m i e r a u s e c o n d e s t de l'ordre de 1 0 ~^T. Il en r é s u l t e q u e l'effet d e ce c h a m p p e r t u r b a t e u r r e s - t e r a faible d a n s la d i r e c t i o n d u c h a m p p e r m a - n e n t ( c ' e s t - à - d i r e v e r t i c a l e m e n t ) , m a i s p o u r r a , p a r c o n t r e , a c q u é r i r d e g r a n d e s a m p l i t u d e s p a - r a l l è l e m e n t a u x s u r f a c e s d e n i v e a u d u c h a m p p e r m a n e n t ( c ' e s t - à - d i r e h o r i z o n t a l e m e n t ) . C'est ce q u ' o n c o n s t a t e e n f a i t d a n s l ' o b s e r v a t i o n d e s m a r é e s . A i n s i , e n M a n c h e , p o u r d e s d é n i v e l l a - t i o n s d e l ' o r d r e d e 10 m è t r e s , o n a d e s d é p l a c e - m e n t s h o r i z o n t a u x d e m a s s e s d ' e a u q u i d é p a s - s e n t 10 k i l o m è t r e s .

D a n s le d o m a i n e d u c a l c u l , ceci se t r a d u i t p a r la p r é s e n c e d a n s la m ê m e é q u a t i o n (D) de t e r - m e s t r è s g r a n d s à côté d e t e r m e s t r è s p e t i t s . F o r t h e u r e u s e m e n t , la d é c o m p o s i t i o n de c e l l e

IS42 LA H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL B/1957

é q u a t i o n v e c t o r i e l l e e n t r o i s é q u a t i o n s s c a l a i r e s va n o u s p e r m e t t r e d e n e faire figurer le champ permanent que dans une seule équation, et d e l'éliminer complètement des deux autres. Il n o u s suffira p o u r c e l a d e p r o j e t e r l ' é q u a t i o n (D) d ' u n e p a r t s u r la v e r t i c a l e a s c e n d a n t e d u l i e u , soit MZ, d ' a u t r e p a r t s u r d e u x d i r e c t i o n s h o r i z o n - t a l e s r e c t a n g u l a i r e s , s o i e n t MX', MY', r e s p e c t i - v e m e n t t a n g e n t e s a u x c o u r b e s x = C^{l c} et y — G^u' q u i p a s s e n t p a r le p o i n t M, .T e t y é t a n t les c o o r d o n - n é e s r e c t a n g u l a i r e s d a n s le p l a n ^xoij d e l ' i m a g e

t i c a l e w d e la v i t e s s e V d e v a n t s e s c o m p o s a n t e s h o r i z o n t a l e s u, v, et e n a s s i m i l a n t l'effet d e s f r o t - t e m e n t s à u n e r é s i s t a n c e p r o p o r t i o n n e l l e à la vi- t e s s e , c ' e s t - à - d i r e en p r e n a n t /',—•?", f²=9V. P o u r s i m p l i f i e r l ' é c r i t u r e , n o u s p o s e r o n s 2 ( o u . v ) = y >

coefficient d e Coriolis, d o u b l e d e l a c o m p o s a n t e v e r t i c a l e d e la r o t a t i o n t e r r e s t r e . N o u s o b t e n o n s a i n s i :

1 fk [ ( X- f^P) U — yv] +(/>,/|») = P^a ( D^t) ' l/k [ V H + ( X +^?) w ] + ( / v V ) = P „ ( D²) '

FIG. 1.

c a r t o g r a p h i q u e m d u p o i n t M d u g é o ï d e d a n s u n s y s t è m e d e r e p r é s e n t a t i o n conforme ( d ' a i l - l e u r s q u e l c o n q u e ) d o n t l ' é c h e l l e l o c a l e e s t ( m m ' / M M O = ( S x / 8 X ) = ( S i / / S Y ) (x, y), r e l a t i o n q u i e n t r a î n e la c o r r e s p o n d a n c e f o n c t i o n n e l l e 0 / S X W c (d/x), 0 / 3 Y ) ^ A - (d/dif).

S o i e n t «, v l e s v e c t e u r s u n i t a i r e s p o r t é s p a r les a x e s M X , MY', M Z . L ' é q u a t i o n (D) se d é c o m - p o s e a i n s i e n :

lu — 2 (cti.v) p-f-2 (w.p) . Ï P + / \ ( » , y, w)

Xp — 2 (to. a ) iP~{-2 ( w . v) , H - f- / a (i r> M')

= * [ ( — p » r/ t l ) + P / !

X«> 2 ( » . P ) » + 2 ( t O . « ) . P • /';. ( N , P . «»)

= ' ( - - ^ / ( O + T s + P s : ( D³) a v e c ;

V s x . M - f - g . V - f - v . l P

L ' i m p o r t a n c e d e T^z à c ô t é d e P^z et d e s t e r m e s e n h , v, w, p e r m e t — t o u t e n c o n s e r v a n t u n e t r è s g r a n d e p r é c i s i o n — d e r é d u i r e l ' é q u a t i o n ( D³) à s e s t e r m e s p r i n c i p a u x , soit :

Cp^z/V) T^z< =

Q u a n t a u x é q u a t i o n s ( D ^ et (I\>), n o u s l e s s c h é m a t i s e r o n s e n n é g l i g e a n t la c o m p o s a n t e ver-

R e v e n o n s à l ' é q u a t i o n ( D³) ' , q u i e x p r i m e le f a i t q u e la r é p a r t i t i o n d e s p r e s s i o n s e s t h y d r o - s t a t i q u e . I n t é g r é e , c e t t e é q u a t i o n p e u t s ' é c r i r e :

p—p (x, y, t)

—

S o i e n t Z = Ç (x, y, t) et Z = — h (x, y) les é q u a - t i o n s d e la s u r f a c e l i b r e ( f l u c t u a n t e ) et d u f o n d (fixe). L a r e l a t i o n ( D )⁸" é t a n t vérifiée, à la l i m i t e , s u r la s u r f a c e l i b r e , n o u s a u r o n s :

d ' o ù : Pi>=P (x, y, t) — ()•>.." (x, y, t)

P o s o n s P=ge et p o r t o n s d a n s ( D t ) ' e t ( D²) ' q u i d e v i e n n e n t :

kg (Ç, — £.,.)-}- ( X +^?) u — v o = 0 kg — (À-f ^?) p = 0 P a r a i l l e u r s , la c o n d i t i o n ( F ) s ' é c r i t :

k u+h^v p)-^rw (x, y, — J ? ) = 0

( D

(2)

( F ) ' et d ' a u t r e p a r i , p r è s d e la s u r f a c e l i b r e , n o u s a v o n s :

u? (x, y, 0)=XÇ

L e g r a d i e n t v e r t i c a l d e la v i t e s s e v e r t i c a l e , e n - t r e la s u r f a c e et le fond, a a i n s i p o u r v a l e u r m o v e n n e :

«• (»% g, O K ^ m (x, y, —- h)

h h •[K+k(h,^e «+h,

N » SPÉCIAL B/1957 M. VANTROYS 643

Si n o u s n é g l i g e o n s les g r a d i e n t s v e r t i c a u x d e s v i t e s s e s h o r i z o n t a l e s u, v, c ' e s t - à - d i r e si n o u s c o n s i d é r o n s q u ' i l s ' a g i t d e courants de masses d a n s l e s q u e l s la v i t e s s e h o r i z o n t a l e n e d é p e n d p a s d e la p r o f o n d e u r , et q u e les d é n i v e l l a t i o n s l r e s t e n t f a i b l e s , l ' é q u a t i o n d e c o n t i n u i t é : ,

d i v ( V ) = * + w^z= 0 (C)

E n é l i m i n a n t u e t v e n t r e (1), (2), (3), n o u s o b t e n o n s l ' é q u a t i o n d é t e r m i n a n t Ç, s o i t :

gh (àt — As) +g [h, — ^Y/ ( o + X ) . h „ } (Ç, — [ y / (^P+ À ) ] . K + h^v] « , — e^w) = f X / (^P+ X ) ] [ (^P+ »²+ Y²] « A "²) (I) Ç é t a n t d é t e r m i n é e , u e t y s ' e n d é d u i s e n t p a r :

[(? + X)2 + ^Y* ] ( H / * ) = -- Q - (?+ X ) «a— s , ) — " S'Y — %) (II) [ ( p + X ) 2 +Y 2] ( w / A ' ) = + S'Y (Ç*'— *.,) — ^ C ? -^{- X )} (Ç„ — «„) ( 1 0 )

s é c r i r a ici :

u , + ^ + ( l / / 0 [X ( Ç / / c ) + / ^ . K + A , i » ] = 0 ou :

(hu)^x+{lw)^y+\ ( Ç / f c ) = 0 (3)

II. — S O L U T I O N D E D I V E R S C A S P A R T I C U L I E R S

P o i n c a r é a m e n t i o n n é c o m m e n t il e n v i s a g e a i t l ' e m p l o i d e la m é t h o d e d e F r e d h o l m ( p a r les é q u a - t i o n s i n t é g r a l e s ) o u d e celle d e R i t z ( p a r la r é d u c t i o n à u n c a l c u l d e s v a r i a t i o n s ) p o u r la r é s o l u t i o n d ' u n e é q u a t i o n a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s d u t y p e (I) (*). C e p e n d a n t , si l ' o n t i e n t c o m p t e d e la f o r m e t o u r m e n t é e d u c o n t o u r d e s o c é a n s e t d u relief d e l e u r s f o n d s , l ' a p p l i c a t i o n n u m é r i q u e d e c e s m é t h o d e s s o u l è v e e n c o r e d e g r o s s e s difficultés, m ê m e a v e c les m o y e n s p u i s s a n t s a p p o r t é s p a r la t e c h n o l o g i e m o d e r n e d e s m a c h i n e s à c a l c u l e r .

A d é f a u t d ' u n e s o l u t i o n g é n é r a l e , n o u s a v o n s r e c h e r c h é p o u r c e r t a i n s c a s p a r t i c u l i e r s soit u n d é v e l o p p e m e n t m a t h é m a t i q u e , s o i t u n p r o c é d é a r i t h m é t i q u e ou a n a l o g i q u e f o u r n i s s a n t u n e r é p o n s e a u x p r o b l è m e s r e n c o n t r é s . N o u s i n d i q u o n s c i - a p r è s q u e l q u e s r é s u l t a t s d e c e t t e r e c h e r c h e .

P r é c i s o n s d ' a b o r d q u e n o t r e é t u d e s ' e s t l i m i t é e a u c a s d e s o s c i l l a t i o n s s i n u s o ï d a l e s . D é s i g n a n t p a r a l a p u l s a t i o n , n o u s a v o n s a i n s i X = / G . E n e x p l i c i t a n t les s o l u t i o n s , n o u s n é g l i g e o n s s y s t é m a t i q u e - m e n t le f a c t e u r t e m p o r e l e'^at, q u i s e r a s u p p o s é s o u s - e n t e n d u ( * * ) .

I . — Z o n e g é o g r a p h i q u e r e s t r e i n t e ; p r o f o n d e u r u n i f o r m e ; r o t a t i o n u n i - f o r m e ; a b s e n c e d e f r o t t e m e n t ; a b s e n c e d e p o t e n t i e l g é n é r a t e u r .

Avec k=l, / i n c o n s t a n t e , y = c o n s t a n t e , x = / ' o ; o—0, s = û les é q u a t i o n s ( I ) , ( I I ) , ( I I I ) s e r é d u i - s e n t à :

gh AÇ-f- («² — r ) Ç = 0

L a f o r m e d e s é q u a t i o n s a m è n e à d i s t i n g u e r t r o i s c a s s e l o n q u e | y / c j e s t : i n f é r i e u r à 1 : r o t a t i o n l e n t e o u h y p o - c r i t i q u e ,

é g a l à 1 : r o t a t i o n c r i t i q u e ,

s u p é r i e u r à 1 : r o t a t i o n r a p i d e ou h y p e r - c r i t i q u e .

(*) Réf. « Leçons de Mécanique céleste » p a r Henri P o i n c a r é , tome ITT, c h a p . X.

(**) Ainsi la solution Ç (x, //) représentera l'oscillation sinusoïdale, qu'on expliciterait complètement en ne r e t e n a n t que la p a r t i e réelle du p r o d u i t Ç (x, y) e / <

644 LA H O U I L L E B L A N C H E N " SPÉCIAL B/1957

S o u s l a f o r m e c i - d e s s u s , le s y s t è m e d ' é q u a t i o n s p e r d d ' a i l l e u r s s a signification d a n s le c a s c r i - t i q u e , s u r l e q u e l n o u s r e v i e n d r o n s p l u s loin.

P o u r | y A | < 1 (rotation lente), u n e s o l u t i o n é l é m e n t a i r e s ' e x p r i m e p a r les r e l a t i o n s (*) :

Ç=Ae*« e x p (\f°2 g h r • s h r,. Y j . e x p ( — / s j • c h '1 •X

U j~g~ ^{G c h} ' t + Y s h 7] _ v _ . f~g~ ^{n s h} ^ i + T^{c h}

T^{_ =} v i r * V a² — y^{2 :} VIT' y^^⁵"

a v e c et

X = . x . cos 0—j—?/. sin 0 U = u . cos 0 + w . s i n 0 Y — — a;.sin 8 + i / . c o s 0 V = — u . s i n Q+w . c o s 6

P o u r | y A | > 1 (rotation rapide), u n e s o l u t i o n é l é m e n t a i r e s ' e x p r i m e p a r l e s r e l a t i o n s :

TJ _ , y cr c h -ⁿ-f^Y s h r, . V • ,j g s h 7 i + y c h yj

T " ¹ VIT' v y²^¹^ ' ^ ~" V ir " v ^ = ^ a v e c l a m ê m e d é f i n i t i o n d e X, Y, TJ, V.

C h a c u n e d e c e s s o l u t i o n s é l é m e n t a i r e s e s t définie p a r d e u x c o n s t a n t e s c o m p l e x e s :

— le f a c t e u r A e » q u i e n d é t e r m i n e l ' a m p l i t u d e (A) e t l a p h a s e i n i t i a l e (a) ;

— l e p a r a m è t r e 8 + / 7 ) , q u i , p a r s a p a r t i e r é e l l e , (6), d é t e r m i n e l a direction e t le sens de la propagation et, p a r le coefficient d e j , (T)), d é t e r m i n e l a forme de la crête, l a célérité e t l a longueur d e l ' o n d e .

Q u e l q u e s c a s p a r t i c u l i e r s s o n t i n t é r e s s a n t s à s i g n a l e r . O n d e c y l i n d r i q u e (ou « à crête horizontale » ) s a n s r o t a t i o n .

P o u r y = 0 e t ï ] = 0 , l e s f o r m u l e s (L) d e v i e n n e n t : a

^ ; = A e -^;" . e x p ^ — j .X fgh

L ; V _ 0

O n d e a c r ê t e e x p o n e n t i e l l e s a n s r o t a t i o n .

L ' i n t r o d u c t i o n d ' u n e r o t a t i o n y ^ O n ' e s t n u l l e m e n t i n d i s p e n s a b l e p o u r r e t r o u v e r u n e o n d e à crête exponentielle : i l suffit e n effet, si y=0, d e faire vp^O d a n s les f o r m u l e s ( L ) p o u r t r o u v e r :

{ ^ . e x p . ( - ^ . s M . Y ) e x p ( - / c h „ . x )

• " f

\/ir -

^

- f

v / 1 "

N o t o n s q u e ,à l a différence d u c a s p r é c é d e n t , c e t t e o n d e c o m p o r t e u n c o u r a n t t r a v e r s i e r n o n n u l .

(*) Cette solution s'établit aisément en c h e r c h a n t à déterminer m et n p o u r que Ç = exp (mx+ny) véri- fie l'équation en Ç; on trouve la condition m?+n² — (î/gh) (y² — o²), à laquelle on satisfait en p r e n a n t m = ± V Ï Ï 7 P ) (y² — s²) - cos (6+fo) et / i = r t V W P H ? — s²) • sin (0+/•*))•

N" SPÉCIAL B/1957 M. VANTROYS 6 4 5

O N D E C Y L I N D R I Q U E (ou « à crête horizontale » ) E N R O T A T I O N L E N T E .

P a r c o n t r e [ e t c e t t e s o l u t i o n a é t é s i g n a l é e p a r P o i n c a r é (*) e t p a r S v e r d r u p ( * * ) ] , d a n s le c a s d ' u n e r o t a t i o n l e n t e ( ( M = | Y / o | < 1 ) , o n p e u t définir u n e o n d e à crête horizontale, m a i s à c o u r a n t t r a n s - v e r s a l n o n n u l , e n f a i s a n t T , = 0 d a n s l e s f o r m u l e s ( L ) :

JL JJL . ° — ; J V . . / J L . ? ^ 0

\ Ç V / l V *² — f X. ^J \ h \Zê*=y5~ ^

O N D E D E K E L V I N E N R O T A T I O N L E N T E .

P o u r a n n u l e r l e c o u r a n t t r a v e r s i e r V d a n s l e s r e l a t i o n s ( L ) , il f a u t p r e n d r e T, t e l q u e t h •»]= — (y/a) ; o n o b t i e n t a i n s i l ' o n d e d i t e « d e K e l v i n » :

Z=Ae^ja e x p ( ± = Y ^) e x p ( ³^^{= 1} X V Vff/i / V \/gh

f - ; V - 0

h

O N D E A C R Ê T E E X P O N E N T I E L L E E T A P R O F I L H O R I Z O N T A L E N R O T A T I O N R A P I D E .

E n f a i s a n t 7 ) = 0 d a n s ( R ) , o n t r o u v e :

ç==Ae*»exp (—

x A ^ - r ^

\ V

O N D E D E K E L V I N E N R O T A T I O N R A P I D E .

P o u r l ' o n d e définie p a r l e s f o r m u l e s ( R ) , l a p r o p a g a t i o n s'effectue d a n s l a d i r e c t i o n O Y . P o u r a n n u l e r l a c o m p o s a n t e U , q u i e s t a l o r s t r a n s v e r s a l e , il f a u t p r e n d r e t] t e l q u e t h -q— — (a/y) ; f o n d e , q u e n o u s b a p t i s e r o n s e n c o r e « o n d e d e K e l v i n », c o r r e s p o n d à l a r e p r é s e n t a t i o n :

Ç=Ae-<«.exp f z=r x " ) .exj}( j . ^q Y

\ Vgh J \ \Jgh

X

U - 0 ;

— = ~ V 1 T

C e r t a i n e s o n d e s é l é m e n t a i r e s , o u c e r t a i n e s c o m b i n a i s o n s s i m p l e s d e d e u x o u p l u s i e u r s d e c e s o n d e s , f o u r n i s s e n t l a s o l u t i o n d e p r o b l è m e s r e l a t i f s à l ' o s c i l l a t i o n d e l ' e a u d a n s d e s d o m a i n e s d e f o r m e g é o m é t r i q u e é l é m e n t a i r e ( c a n a l d e l a r g e u r c o n s t a n t e , r e c t a n g l e , e t c . ) . P a r m i l e s c o m b i n a i s o n s l i n é a i - r e s d e d e u x o n d e s é l é m e n t a i r e s , F i c h o t a b a p t i s é les o n d e s s u i v a n t e s :

O N D E D E P O I N C A R É D E P R E M I È R E E S P È C E (en rotation lente seulement) :

1=A. e*. e x p ( - j s j ^ j ^ - cos 0. x ) [ c o s ( y ⁷ . s i n 8. y j - - I c o t g 9 s i n (\J • s i n 0.

(*) « T h é o r i e des Marées » (Gauthier-Villars, Paris, 1910), § 66.

(**) « T h e Océans » (N.Y. Prentice Hall, 1946), formules (XIV, 30) et (XIV, 31).

646 LA H O U I L L E B L A N C H E N " SPÉCIAL B/1957

O N D E D E P O I N C A R É D E D E U X I È M E E S P È C E {en rotation lente)

Ç = A . e « . e x p y^/²—^- - s h K i . x )

s i n ^ y

- — ^

O N D E D E P O I N C A R É D E D E U X I È M E E S P È C E (en rotation l'apide) :

- A . e . . e x p ( - ^V ' ^ . c h „ . x ) [ s i n ( ^ 1 ^ . . s h , . y ) + / ^ t h

. . c o s ^ r ^

D ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , l a s o l u t i o n d ' u n p r o b l è m e c o m p o r t a n t , s u r u n e f r o n t i è r e p l u s o u m o i n s c o m p l i q u é e , d e s c o n d i t i o n s d u t y p e d e Dirichlet, d e Neumann, d e Cauchij o u d ' u n t y p e mixte s ' é t a - b l i r a e n s o m m a n t u n e n s e m b l e fini o u infini d e s o l u t i o n s é l é m e n t a i r e s .

R O T A T I O N C R I T I Q U E .

R e v e n o n s s u r les c a s p a r t i c u l i e r s o ù y—-±n; p o u r fixer les i d é e s , s u p p o s o n s Y=-j-5. D a n s c e c a s , l a m é t h o d e d ' é l i m i n a t i o n d e u, v, e n t r e les é q u a t i o n s ( 1 ) , (2) e t (3) t o m b e e n d é f a u t , c a r les é q u a t i o n s (1) e t (2) n e p e u v e n t ê t r e r é s o l u e s e n u e t v (le d é t e r m i n a n t d e s coefficients d e u e t d e v d a n s c e s d e u x é q u a t i o n s e s t n u l ) ; o n p e u t m o n t r e r q u e , d a n s ce c a s , l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s e s t p l u s é t e n d u q u e d a n s le c a s g é n é r a l . L a dénivellation Ç e s t a s s u j e t t i e — e n p l u s d e s d o n n é e s a u x l i m i - t e s — à l a c o n d i t i o n d ' ê t r e u n e fonction analytique de la variable complexe x — jy, soit (*) :

Ç = F (x — jy)

L a d é f i n i t i o n d e s c o m p o s a n t e s u e t y d e l a vitesse f a i t a l o r s i n t e r v e n i r u n e a u t r e fonction analytique, n o n p l u s d e l a v a r i a b l e x — jy, m a ï s d e la variable conjuguée x-\-jy, soit G(x+jy);

o n a ( * * ) :

- - s K i ^

) -

i )

Zy V 2 7 7^{F + G} ) + (Â ~ ^j W) fe/J^F'-^L°^-^^')

F ' = = F ( x ' --jy') e t r= JW^^^'+ïy'^^)²

M A R É E S T A T I Q U E D E I.A T R O I S I È M E S O R T E .

L e s f o r m u l e s c i - d e s s u s m o n t r e n t q u e a v e c Çs=0 o n p e u t a v o i r ( « , " w ) = g r a d ' [ G ( . r + / ' j / ) ] ^ 0 , la f o n c t i o n G n e d é p e n d a n t q u e d e s d o n n é e s a u x l i m i t e s .

O n o b t i e n t u n e marée statique a u s e n s d o n n é à c e m o t p a r P o i n c a r é , q u i e n t e n d a i t p a r l à q u e , d a n s u n e t e l l e m a r é e , la f o r m e d e l a s u r f a c e l i b r e n ' e s t p a s affectée p a r le m o u v e m e n t . R a p p e l o n s q u e P o i n c a r é d i s t i n g u a i t la « m a r é e s t a t i q u e d e la p r e m i è r e s o r t e », d a n s l a q u e l l e il n ' y a p a s d e c o u r a n t , et l a « m a r é e s t a t i q u e d e l a d e u x i è m e s o r t e », d a n s l a q u e l l e l e s c o u r a n t s s o n t p e r m a n e n t s . L a défini- t i o n c i - d e s s u s s e r a p p o r t e à u n e « t r o i s i è m e s o r t e » d e m a r é e s t a t i q u e d a n s l a q u e l l e les c o u r a n t s s o n t a l t e r n a t i f s ( d e p u l s a t i o n c=^0).

(*) Telle est la condition de compatibilité des équations (1) et (2).

{**) Les formules e x p r i m a n t u et v à l'aide des fonctions G et F s'établissent à p a r t i r des relations

A V + M = 0 ^{et h}(^v®— ^lÇ—sÇ = û qui définissent le rotationnel et la divergence du vecteur vitesse en fonction de la dénivellation. La fonction F (x — jy) est celle qui représente Ç. La fonction G (x+jy) est introduite p a r l'intégration (cf. Lamb : « H y d r o d y n a m i c s », § 154. et Villat : « Leçons sur la t h é o r i e des tourbillons », c h a p . I I ) .

N° SPÉCIAL B/1957 M. VANTROYS

2 .

avec

Z o n e g é o g r a p h i q u e r e s t r e i n t e ; p r o f o n d e u r u n i f o r m e ; r o t a t i o n u n i - f o r m e ; f r o t t e m e n t f o n c t i o n l i n é a i r e d e l a v i t e s s e d u c o u r a n t ; a b s e n c e d e p o t e n t i e l g é n é r a t e u r .

A v e c A = l , / i n c o n s t a n t e , ^T= c o n s t a n t e , l=ja, p = c o n s t a n t e , ^£= 0 , l ' é q u a t i o n ( I ) se d é d u i t à

gh AÇ —

-J* ^{( O + /}

C)²+ T² ï = 0 L a s o l u t i o n é l é m e n t a i r e s ' é c r i t :

Z,=A&«. e x p (— rX c h -q+sY s h iù . e x p [/ (— sX c h 7) — r Y s h Ï J ) ]

X=x cos e-j-y s i n 0 ;

et r²=

gh

V ( s2+ 92) r ( s +Y)2+ P2 j [(g — T) » + P21 • 2 ( < j²+ P²)

y ( c²+ g^a) { U + Y )²+ g²] f fr^ T )²+ P²1 - x s i n 8-f-n c o s 0

gh 2 ( < j2+? 2)

Si Y²< ( I²+ Ç >² ( r o t a t i o n Zenfe) o n a r²< s²; Si Y^{2 i}>^{5 3}+ P² ( r o t a t i o n rapide) o n a r²> s²; m a i s le c a s i n t e r m é d i a i r e ( y²= < x²- | - ?²) , n'est pas u n c a s c r i t i q u e , c a r o n a a l o r s :

<*P 0/1 =0

L a p r i s e e n c o m p t e d a n s les é q u a t i o n s d'un frottement non nul (p=^0) fait d o n c disparaître toutes les singularités a n a l y t i q u e s attachées au cas critique, tel q u e n o u s l ' a v o n s é t u d i é d a n s l ' h y p o - t h è s e p r é c é d e n t e ( p = 0 ) .

3. — (Cas schématique des marées littorales).

Zone g é o g r a p h i q u e r e s t r e i n t e ; p r o f o n - d e u r n o n u n i f o r m e , m a i s p e n t e d u f o n d f a i b l e ; r o t a t i o n u n i f o r m e ; f r o t t e m e n t ; a b s e n c e d e p o t e n t i e l g é n é r a t e u r .

L e s h y p o t h è s e s d e ce s c h é m a se t r a d u i s e n t p a r A*=l, h^x#0#h^y, s = 0 , ce q u i c o n d u i t à l ' é q u a t i o n a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s :

g h AÇ — h

( p + Z ' P + Y²

-

(e)

à l a q u e l l e o n p e u t , e n v u e d e s a p p l i c a t i o n s n u - m é r i q u e s , s u b s t i t u e r u n système d'équations aux différences finies q u i l u i s o i t p r a t i q u e m e n t é q u i - v a l e n t e t q u i p e r m e t t e l ' e m p l o i d ' u n p r o c e s s u s de c a l c u l « a r i t h m é t i q u e ».

O n p e u t e n c o r e r e c h e r c h e r u n e s o l u t i o n « a n a - logique » d e s p r o b l è m e s r e l a t i f s a u x m a r é e s lit- t o r a l e s p a r l a m i s e e n œ u v r e d ' u n m o d è l e r é d u i t h y d r a u l i q u e . M a i s , e n l ' a b s e n c e d ' u n e r o t a t i o n d ' e n t r a î n e m e n t i m p o s é e à la p l a t e - f o r m e q u i le p o r t e , le t e r m e e n y se t r o u v e p r a t i q u e m e n t éli-

m i n é d e l ' é q u a t i o n q u i d é t e r m i n e les d é n i v e l l a - t i o n s d e la s u r f a c e l i b r e d u m o d è l e , soit :

gh' AÇ — ; < r ( ? ' + 7 « ) Ç = 0

Il e s t c e p e n d a n t p o s s i b l e d ' i d e n t i f i e r (e) et (e') e n p r e n a n t :

h , ^{= h} 1 ^{r t =}.^r 1 + [ Y V ( P²+ ^ ) " 1

î _ | y / (^?2 ^{+ c}2 ) j «" ^~> J | - y 2 / (?2 _ L . „ 2 \ 1

c ' e s t - à - d i r e e n « dis tordant » c o n v e n a b l e m e n t la p r o f o n d e u r h' e t l a r u g o s i t é ?' q u e l'on r e p r o - d u i r a s u r le m o d è l e .

L a r e p r é s e n t a t i o n q u i e n r é s u l t e r a p o u r le c h a m p d e s d é n i v e l l a t i o n s Ç s e r a c o r r e c t e si les c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s le s o n t . M a i s le c h a m p d e s v i t e s s e s s e r a l u i - m ê m e d i s t o r d u , s e l o n la c o r - r é l a t i o n :

( V + J NT) " V ' = | " ( ? + » + Y . " 7 A f v ( * )

(*) v désignant le vecteur u n i t a i r e p o r t é p a r la

—>

verticale MZ, l'opérateur géométrique v À est un verseur droit dans le plan horizontal.

648 LA H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL B/1957

d o n t il f a u d r a t e n i r c o m p t e d a n s les c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s , l à o ù elles s o n t d o n n é e s e n f o n c t i o n d e s v i t e s s e s : a i n s i u n e p a r o i i m p e r m é a b l e d a n s l a n a t u r e s e t r o u v e r a r e p r é s e n t é e p a r u n e s o u r c e d e d é b i t f l u c t u a n t .

4 . — (Cas schématique des marées océaniques).

Zone g é o g r a p h i q u e é t e n d u e ; p r o f o n d e u r n o n u n i f o r m e , m a i s p e n t e d u f o n d f a i b l e ; r o t a t i o n n o n u n i f o r m e ; a b s e n c e d e f r o t - t e m e n t ; a c t i o n d u p o t e n t i e l g é n é r a t e u r . A v e c h , . m # K

d e v i e n t :

X = / < y et p — 0 , l ' é q u a t i o n (I)

(E)

C o m m e d a n s le c a s p r é c é d e n t , les p r o b l è m e s r e l a t i f s a u x m a r é e s o c é a n i q u e s p e u v e n t ê t r e a b o r - d é s soit, « a r i t h m é t i q u e m e n t », e n s u b s t i t u a n t à (E) u n s y s t è m e a u x d i f f é r e n c e s finies, soit e n c o r e ,

« a n a l o g i q u e m e n t », p a r l ' e m p l o i d ' u n m o d è l e r é d u i t d o n t les d é n i v e l l a t i o n s d e la s u r f a c e l i b r e s e r o n t d é t e r m i n é e s p a r l ' é q u a t i o n :

gh' (AÇ' — A s ' ) - f Ç ' = 0 ( E ) ' q u ' i l e s t p o s s i b l e d ' i d e n t i f i e r à ( E ) p a r u n e n s e m - b l e a p p r o p r i é de distorsions non uniformes des

échelles de similitude.

E s s e n t i e l l e m e n t , l ' é c h e l l e d e s p r o f o n d e u r s s e r a :

h' k² o'² 1

h *² — y² 1 — ( y²/ *²)

(avec s / V = 6 = é c h e l l e d e s t e m p s , u n i f o r m e ) . Cette é c h e l l e d e s p r o f o n d e u r s (h'/h) p o u r r a ê t r e t o u t e d i f f é r e n t e d e l'échelle d e s d é n i v e l l a - t i o n s ( Ç ' / O — « A ) , q u i s e r a c h o i s i e beaucoup plus grande ( j u s q u ' à 1 000 fois p l u s g r a n d e ) , p o u r o b t e n i r , s u r le m o d è l e , u n r a p p o r t (Ç'/V) m e s u r a b l e , a l o r s q u e (Ç/e), q u i e s t de l ' o r d r e de 1 0 - * , n ' e s t p r a t i q u e m e n t p a s m e s u r a b l e d a n s la n a t u r e . L a p u i s s a n c e a p p o r t é e p a r l ' a c t i o n d u p o t e n t i e l ge s u r la m a r é e Ç d a n s u n e a i r e S é t a n t p r o p o r t i o n n e l l e à </s.SÇ, o n r é a l i s e r a u n e é c h e l l e u n i f o r m e d e s é c h a n g e s m o y e n s d ' é n e r g i e en a d o p t a n t p o u r l ' é c h e l l e (s'Ç'/sÇ) u n e loi de r é - p a r t i t i o n i n v e r s e d e celle q u i définit l ' é c h e l l e d e s a i r e s ( S ' / S ) = i t², c ' e s t - à - d i r e e n a d o p t a n t :

( Ç y ç ) = ( « 7 0 = m⁰( A / / r⁰) - i

m⁽⁾ e t k⁰ é t a n t d e s c o n s t a n t e s .

D a n s ces c o n d i t i o n s , les c h a m p s d e s v i t e s s e s

m o d è l e ( V ) e t n a t u r e (V) se c o r r e s p o n d r o n t s e - l o n la r e l a t i o n :

V'=m⁰k⁰k~² [ l + ( r / » v A ] V

R e s t e à p r é c i s e r c o m m e n t , s u r le m o d è l e , o n p e u t r e p r é s e n t e r l ' a c t i o n d u p o t e n t i e l g é n é r a t e u r q u i f i g u r e d a n s les é q u a t i o n s p a r les t e r m e s e n s.

S a n s n o u s é t e n d r e s u r c e t t e q u e s t i o n , i n d i q u o n s s e u l e m e n t q u e d e s fluctuations d u f o n d d ' a m p l i - t u d e s d o n n e n t à l ' e a u la m ê m e i m p u l s i o n q u e d e s f l u c t u a t i o n s d u n i v e a u d ' é q u i l i b r e d e m ê m e a m p l i t u d e s, la disposition relative de la surface libre actuelle et de sa position d'équilibre étant la même dans l'un et l'autre cas.

O n p e u t , d a n s u n e p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , p r e n d r e p o u r s u n h a r m o n i q u e d o n n é d u p o t e n - tiel g é n é r a t e u r l u n i - s o l a i r e ( c a l c u l a b l e à p a r t i r d e s é p h é m é r i d e s a s t r o n o m i q u e s ) ; le t e r m e c o r - r e s p o n d a n t d u p o t e n t i e l d u b o u r r e l e t p e u t ê t r e c a l c u l é , en v u e d ' u n e s e c o n d e a p p r o x i m a t i o n , à p a r t i r d e s r é s u l t a t s d ' u n e p r e m i è r e m e s u r e .

N o t o n s t o u t e f o i s q u e l ' a n a l o g i e p r o p o s é e n e v a u t q u e si les é c h e l l e s a u x q u e l l e s elle c o n d u i t s o n t a c c e p t a b l e s . E n p a r t i c u l i e r , o n d o i t a v o i r ( n ' / n ) > 0 , c ' e s t - à - d i r e J Y A | < 1 , ce q u i l i m i t e l a z o n e g é o g r a p h i q u e r e p r é s e n t é e a u x d e u x p a r a l - lèles c r i t i q u e s , d e l a t i t u d e s L^c= ± A r c s i n (a/2 u>), soit L⁽, = ± 7 5 " p o u r le c a s de l ' o n d e s e m i - d i u r n e l u n a i r e M². D a n s c h a c u n e d e s z o n e s h y p e r - c r i t i - q u e s p o l a i r e s , d e l a t i t u d e L > | L^C| ou L < — J L^e| , l ' a n a l o g i e p o u r r a i t c e p e n d a n t ê t r e t r a n s p o s é e s u r u n m o d è l e a n i m é d ' u n e r o t a t i o n p l u s r a p i d e q u e l ' i m a g e d e la r o t a t i o n w à l ' é c h e l l e d e s t e m p s , 0.

N o u s n e n o u s é t e n d r o n s p a s s u r c e s e x t e n s i o n s p o s s i b l e s . N o u s n o t e r o n s s e u l e m e n t q u e l ' a n a l o - gie s u r u n m o d è l e fixe s ' a d a p t e parfaitement à l ' é t u d e d e F o n d e s o l a i r e s e m i - d i u r n e S² p o u r l a q u e l l e les p a r a l l è l e s l i m i t e s se r é d u i s e n t a u x d e u x p ô l e s ( L^c # ± 9 0 " ) et très bien à l ' é t u d e d e l ' o n d e l u n a i r e s e m i - d i u r n e M²( L^C# ± 7 5 " ) q u i est p r e s q u e p a r t o u t la c o m p o s a n t e p r é p o n d é r a n t e d e l a m a r é e . Car, si ce n ' e s t p a r l ' o u v e r t u r e ( t r o n ç o n n é e p a r l ' I s l a n d e et les F e r o ë ) , e n t r e E c o s s e et G r o e n l a n d , q u i m e t en c o m m u n i c a t i o n l ' A t l a n t i q u e - N o r d a v e c l ' O c é a n A r c t i q u e , la q u a s i - t o t a l i t é d e s o c é a n s p r o f o n d s , s i t u é s d a n s le z o n e h y p o - c r i t i q u e ( | L | < 7 5 ° ) , n e p e u v e n t é c h a n - ger d e d é b i t s i m p o r t a n t s a v e c les z o n e s h y p e r - c r i t i q u e s p o l a i r e s , o ù l ' a c t i o n d i r e c t e d u p o t e n t i e l g é n é r a t e u r e s t d ' a i l l e u r s t r è s m i n i m e .

P o u r les o n d e s d i u r n e s (L^f. # 30" o u 2 9 ° ) , l ' e m - ploi d e m o d è l e s t o u r n a n t s figurant les z o n e s p o - l a i r e s s ' i m p o s e r a i t s a n s d o u t e , ce q u i s o u l è v e r a i t d ' a i l l e u r s le d é l i c a t p r o b l è m e d u r a c c o r d e m e n t e n t r e m o d è l e fixe et m o d è l e t o u r n a n t s u r le p a - r a l l è l e c r i t i q u e , p o u r l e q u e l l ' e m p l o i b r u t a l d e s f o r m u l e s ( q u i n é g l i g e n t le f r o t t e m e n t ) c o n d u i t à u n e p r o f o n d e u r i n f i n i m e n t g r a n d e s u r l ' u n et l ' a u t r e m o d è l e s .

N " SPÉCIAL B / 1 9 5 7 M. V A N T R O Y S 6 4 9

Schéma " Nature"

- S ( t ) : surface libre actuelle

(t) : surface équipotentielle actuelle

r-Z⁰ : position moyenne (fixe) de 2

Schéma " M o d è l e "

S' (t) : surface libre actuelle

•5!⁰: surface horizontale fixe

- F⁰ : position moyenne (fixe) de F' F'(t) : fond mobile actuel

Fie. 2.

Q u a n t a u x o n d e s de p l u s l o n g u e p é r i o d e ( s e m i - m e n s u e l l e s , m e n s u e l l e s , s e m i - a n n u e l l e s , a n n u e l - les), il y a t o u t lieu d e p e n s e r q u e les p h é n o m è - n e s d ' i n e r t i e y p e u v e n t ê t r e n é g l i g é e s et q u e , p a r

s u i t e , l ' é t u d e d y n a m i q u e e n s e r a i t v a i n e ; la m a - r é e v r a i e à l o n g u e p é r i o d e e s t s a n s d o u t e t r è s p r o c h e de la m a r é e s t a t i q u e ( Ç # e ) .

III. — C O N C L U S I O N

L e s d i v e r s e s m é t h o d e s , t h é o r i q u e s ou e x p é r i - m e n t a l e s , s o m m a i r e m e n t d é c r i t e s c i - d e s s u s , p e r - m e t t e n t — g r â c e a u x t e c h n i q u e s d o n t d i s p o s e n t les c h e r c h e u r s m o d e r n e s — d ' a p p r o c h e r l a solu- t i o n d e s p r o b l è m e s q u e p o s e le p h é n o m è n e d e s m a r é e s .

D e s c o n s i d é r a t i o n s g l o b a l e s , d ' o r d r e é n e r g é t i - que, d o n n e n t à p e n s e r q u e , grosso modo, les o n d e s o c é a n i q u e s s o n t s t a t i o n n a i r e s et q u e l ' é n e r - gie a p p o r t é e a u x o c é a n s p r o f o n d s p a r l ' a c t i o n d u p o t e n t i e l g é n é r a t e u r (.puissance m o y e n n e d e l'or- d r e d u m i l l i a r d d e k W ) est p r e s q u e i n t é g r a l e - m e n t t r a n s m i s e a u x m e r s l i t t o r a l e s , p e u p r o f o n - des, où l e s c o u r a n t s i n t e n s e s d e s o n d e s d é r i v é e s ,

à c a r a c t è r e le p l u s s o u v e n t p r o g r e s s i f , l a d i s s i - p e n t p a r f r o t t e m e n t , v i s c o s i t é et t u r b u l e n c e . Mais c e t t e i n t e r p r é t a t i o n e s t e n c o r e d i s c u t a b l e .

O n p o u r r a s a n s d o u t e , si c e l a s ' a v è r e u t i l e , c o n s a c r e r les m o y e n s n é c e s s a i r e s à la r é a l i s a t i o n d e s é t u d e s d o n t n o u s a v o n s e x p o s é les p r i n c i p e s , p o u r s a v o i r d a n s q u e l l e m e s u r e les m a r é e s o c é a - n i q u e s se r a p p r o c h e n t d u s c h é m a de W h e w e l l a v e c le s e u l O c é a n A n t a r c t i q u e g é n é r a t e u r d ' o n - d e s p r o g r e s s i v e s d é r i v é e s v e r s l ' O c é a n I n d i e n , le P a c i f i q u e et l ' A t l a n t i q u e , ou d e celui d e H a r r i s a v e c s a p a r t i t i o n , u n t a n t i n e t a r b i t r a i r e , d u d o - m a i n e o c é a n i q u e e n b a s s i n s de r é s o n a n c e .

D I S C U S S I O N Président : M . G I B R A T

M. le P r é s i d e n t r a p p e l l e que M. V A N T H O Y S vient de pré- senter au Comité T e c h n i q u e , avec d'ailleurs, quelques indications s u p p l é m e n t a i r e s , l'essentiel de la thèse de doctorat ès-sciences qu'il a s o u t e n u e très b r i l l a m m e n t le 23 février d e r n i e r .

A propos d ' u n e r e m a r q u e de M. V A N T R O Y S , M. le P r é - sident i n d i q u e que, si les P a t a g o n s p e n s a i e n t que les marées v e n a i e n t de la l u n e , c'est qu'ils croyaient être sur une m e r l i t t o r a l e , et non océanique, puisque l'appli-

cation des é q u a t i o n s de M. V a n t r o y s relatives a u x m e r s l i t t o r a l e s d o n n e u n e p r é p o n d é r a n c e à l'effet l u n a i r e .

M. V A N T B O Y S précise que la P a t a g o n i e est, en l'ait, très près des fonds océaniques (Baie de San-.losé).

M. H U P N E R se d e m a n d e si le géographe qui avait des idées un peu b i z a r r e s sur les marées ne serait pas Pa- ganel, e m b a r q u é , d'après J u l e s Verne, avec les enfants du Capitaine Grant.

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650 LA H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL B/1957

M. G O U O E K H E I M i n d i q u e que e'est M. Marcel B O L L , qui d a n s u n de ses ouvrages, a t t r i b u e à Sarcey la p h r a s e :

« Les p a y s a n s b r e t o n s (il s'agissait des Bretons et non des P a t a g o n s ) sont si a r r i é r é s q u ' i l s a t t r i b u e n t à la l u n e u n e influence sur les m a r é e s » . M. Boll et son collabora- t e u r n ' o n t pu l u i d o n n e r la référence e x a c t e ; il ne l'a pas r e t r o u v é e n o n p l u s d a n s la collection des feuillets de Sarcey publiés d a n s le Temps.

M. G O U G E N H E I M félicite M. V A N T R O Y S de l'impulsion nouvelle qu'il a donnée a u x recherches sur les m a r é e s . L'enseignement de Poincaré a v a i t suscité quelques t r a - v a u x (thèses de Jaeger, de Blondel, de Bertrand) qui d é - coulaient d i r e c t e m e n t de ses idées, m a i s d'une m a n i è r e p e u t - ê t r e t r o p stricte. M. V A N T R O Y S , sous la nécessité des besoins p r a t i q u e s , a prolongé les t r a v a u x de P o i n c a r é d a n s u n e voie encore p e u explorée. Ses recherches sur l'application des modèles r é d u i t s a u x m a r é e s s o n t en grande p a r t i e nouvelles et en t o u t cas beaucoup p l u s poussées que t o u t ce qui a v a i t été fait a n t é r i e u r e m e n t . Leur r é a l i s a t i o n est é m i n e m m e n t s o u h a i t a b l e .

M. K R A V T C H E N K O souligne l'intérêt de l'exposé de M.

V A N T R O Y S et se propose d e préciser les différences entre les cas h y p o - c r i t i q u e , critique et h y p e r - c r i t i q u e , signalés p a r M. V A N T R O Y S et qui correspondent à trois régimes p h y s i q u e s distincts. Il s o u h a i t e que l'étude a n a l y t i q u e des solutions du t y p e non elliptique soit p o u r s u i v i e .

M. V A N T R O Y S a j o u t e que la distorsion des p r o f o n d e u r s , sur la c a r t e de Mercator, q u ' i l a représentée, est r e l a t i v e a u cas h y p o - c r i t i q u e , m a i s que la zone h y p e r - c r i t i q u e p e u t être représentée s u r u n modèle t o u r n a n t , en i n t r o d u i s a n t u n coefficient Y' non n u l d a n s l'équation du modèle, de m a n i è r e à identifier les é q u a t i o n s « modèle » et « n a t u - re » sans être conduit à a t t r i b u e r des valeurs négatives au r a p p o r t h'/h.

D ' a u t r e p a r t , en r é p o n s e à deux questions de M . H U P -

N E R , M. V A N T R O Y S rappelle le sens de ses n o t a t i o n s et précise la n o t i o n de « l a t i t u d e c r i t i q u e » .

Y est le double d u p r o d u i t de la vitesse a n g u l a i r e de la t e r r e p a r le sinus de la l a t i t u d e ( = 2 m sin L)

0 est la p u l s a t i o n [ = ( 2 j t / T ) ] , T é t a n t la période (12 h. 25 p o u r l'onde s e m i - d i u r n e l u n a i r e , 12 h . p o u r l'onde s e m i - d i u r n e s o l a i r e ; ce s e r a i t de 6 secondes à 12 secondes p o u r la h o u l e ) .

Quand on décrit une oscillation sinusoïdale, on p e u t poser :

x = a cos (0 t - ep)

x é t a n t la h a u t e u r v a r i a b l e et a l ' a m p l i t u d e de l'oscilla- tion. D ' a u t r e p a r t , l a l a t i t u d e c r i t i q u e est celle, définie p a r son sinus, p o u r laquelle on a : y = 0

Cette l a t i t u d e c r i t i q u e varie donc d ' u n e oncle compo- s a n t e à u n e a u t r e . Une p r e m i è r e é t u d e descriptive des m a r é e s p e u t se l i m i t e r à l'onde s e m i - d i u r n e l u n a i r e Ma c'est à cette onde que se r a p p o r t e l'exemple g r a p h i q u e projeté, on complète ensuite, si nécessaire, p a r l'étude des a u t r e s composantes.

M. G I B E R T d e m a n d e à M. V A N T R O Y S s'il a eu c o n n a i s - sance des t r a v a u x de la c o m m i s s i o n chargée a u x P a y s - Bas, sous la direction du Professeur Lorentz, d'étudier la modification de la m a r é e l i t t o r a l e p r o d u i t e p a r la fer- m e t u r e du Zuydersee. M. G I B E R T pense qu'il s'est agi s u r - t o u t d'un p r o b l è m e de p r o p a g a t i o n de la m a r é e d a n s u n système complexe de c h e n a u x et il ne croit p a s qu'il a i t été t e n u c o m p t e de l'influence de la force de C o r i o l i s ; p a r a i l l e u r s , le t e r m e de f r o t t e m e n t a v a i t été p r i s p r o - p o r t i o n n e l à la vitesse.

M. V A N T R O Y S r é p o n d qu'il n ' a eu que q u e l q u e s échos des t r a v a u x d u P r o f e s s e u r L o r e n t z ; et que d ' a u t r e part, Poincaré, sans s'étendre s u r le cas du f r o t t e m e n t , a r e p r é s e n t é d a n s u n e p a r t i e de son exposé le f r o t t e m e n t par u n terme p r o p o r t i o n n e l à la vitesse.

En réponse à la question posée p a r M. G I B E R T^r M.

K R A V T C H E N K O cite u n r a p p o r t inédit, en h o l l a n d a i s , de J.M. Burgers sur les m a r é e s de la mer du Nord et les"

t r a v a u x de Van Dantzig, d ' A m s t e r d a m et de ses élèves H v e l t k a m p et L a u r i e r . Ces t r a v a u x o n t fait l'objet d'une c o m m u n i c a t i o n (à p a r a î t r e ) a u x Actes du Congrès de Mé- c a n i q u e de Bruxelles, en 1956.

M. V A N T R O Y S a j o u t e que les a p p l i c a t i o n s n u m é r i q u e s les p l u s poussées sont, à sa connaissance, celles de l'océanographe a l l e m a n d W a l t e r H a n s e n : il a calculé la m a r é e à l ' i n t é r i e u r de la m e r d u Nord à p a r t i r de d o n - nées a u x limites.

M. C H A P O U T H I E R r e m a r q u e que la p r i s e en compte des frottements s u p p r i m e le passage p a r la solution critique.

Cette circonstance a n a l y t i q u e t r a d u i t sans d o u t e u n e différence p h y s i q u e . Quelle est sa signification? Com- m e n t , d a n s le cas de rugosité, passe-t-on d'un régime à l ' a u t r e ? ( 1 )

M. K R A V T C H E N K O i n d i q u e q u ' a u p o i n t de vue m a t h é - m a t i q u e , la prise en compte du f r o t t e m e n t r e v i e n t à in- t r o d u i r e d a n s l'équation différentielle du second o r d r e à coefficient constant, qui est l'image la p l u s simple du phénomène, u n t e r m e p r o p o r t i o n n e l à la d é r i v é e première.

( 1 ) M. V A N T R O Y S a fait au cours de la discussion de la communication de M. B O N N E F I L L E une réponse à cette question, basée sur les résultats obtenus par ce dernier.

E R R A T U M N° A 1957.

P a g e 298, l^{i e} c o l o n n e , l i g n e 6 e n r e m o n t a n t : a u lieu d e gS/a=a., l i r e : a/gS—a..

2" c o l o n n e , f i g u r e 4, a u p o i n t b.5 : a u lieu d e — 4 8 , 5 0 , lire : — 4 8 , 0 5 .

P a g e 299, l^{r e} c o l o n n e , l i g n e 7 :

a u lieu de « l ' e x t r é m i t é C », lire : « de l ' e x t r é m i t é A ».