LES ONDES

LES ONDES

Le transport de l’ ´energie et de la quantit ´e de mouvement se fait uniquement par 2 m ´ecanismes fondamentaux : des particules qui se d ´eplacent ou des ondes qui se propagent. Ces 2 conceptions apparemment diff ´erentes sont subtilement li ´ees : il n’y a pas d’ondes sans particules et pas de particules sans ondes.

Une onde est une perturbation se propageant de proche en proche dans un milieu. Les sortes de perturbations et de milieux peuvent ˆetre tr `es diff ´erents .Quelques exemples :

– onde de surface : le milieu est la surface libre d’un liquide, la perturbation correspond au d ´eplacement des particules du liquide par rapport `a leur po- sition de repos (les vagues)

– onde sonore : le milieu est un solide, liquide ou gaz, la perturbation est une variation de pression

– onde ´electromagn ´etique : le milieu est la mati `ere ou le vide. La perturbation

correspond `a une variation du champ ´electromagn ´etique, la cause de cette

perturbation ´etant due `a l’acc ´el ´eration des charges ´electriques (la lumi `ere,

les ondes radio et TV, micro-ondes ....)

LES ONDES MECANIQUES

Nous allons ´etudier les ondes dans les milieux mat ´eriels : ce sont des ondes m ´ecaniques.

La source de toute onde est une vibration. C’est cette vibration se propageant qui constitue l’onde.

Une onde m ´ecanique progressive est un ´ebranlement ou une perturba- tion de l’ ´equilibre d’un milieu mat ´eriel qui se propage d’une r ´egion `a une autre et qui transporte de l’ ´energie et de la quantit ´e de mouvement.

Bien que la perturbation transportant l’ ´energie se d ´eplace dans le milieu sur de grandes distances, les atomes individuels participant au processus restent au voisinage de leurs positions respectives d’ ´equilibre.

La perturbation se propage mais sans d ´eplacement de mati `ere `a grande

´echelle.

Les types d’ondes

Ondes transversales : la vitesse de l’onde ~ v et la perturbation y ~ sont per- pendiculaires.

Les points successifs de la corde entrainent chaque point contigu suivant vers le haut → d ´eplacement longitudinal de la cr ˆete de l’onde.

Les forces de coh ´esion entre les parties contigu ¨es font voyager l’impulsion longitudinalement.

Les particules se d ´eplacent perpendiculairement `a la direction de

propagation de l’onde.

Les types d’ondes (suite)

Ondes longitudinales : la vitesse de l’onde ~ v et la perturbation ~ y sont pa- rall `eles.

Les particules se d ´eplacent parall `element `a la direction de propagation de l’onde.

Ces ondes longitudinales et transversales sont des ondes progressives car elles voyagent d’un point `a un autre (d’un bout d’une corde `a l’autre bout). Ce

sont les ondes qui bougent entre 2 points et pas la mati `ere (corde ou air) `a travers laquelle les ondes bougent.

La vitesse des particules de mati `ere 6= vitesse de l’onde.

Les types d’ondes (suite)

Dans un solide, il peut y avoir des ondes m ´ecaniques transversales et longitu- dinales. Ces 2 types d’onde peuvent voyager dans un solide puisque chaque atome ou mol ´ecule peut vibrer autour de sa position d’ ´equilibre, dans n’im- porte quelle direction. Par exemple les perturbations dues aux tremblements de terre.

Dans un fluide , il y a uniquement des ondes m ´ecaniques longitudinales de

compression appel ´ees ondes acoustiques . Ceci est d ˆu au fait que dans un

liquide un mouvement transversal ne rencontre pas de force de rappel.

Onde harmonique : repr ´esentation math ´ematique

L’ ´ebranlement le plus simple `a analyser math ´ematiquement est l’onde si- nuso¨ıdale et c’est aussi le plus r ´epandu dans la nature. En nous r ´ef ´erant aux ´equations du MHS, on peut ´ecrire la fonction repr ´esent ´ee ci-contre par :

y(x) = y

sin 2πx λ

L’argument (2πx/λ) est la phase de l’onde. Cette ´equation d ´ecrit le profil d’une onde harmonique fig ´ee au temps t = 0.

Le profil se r ´ep `ete avec une p ´eriode d’espace ´egale `a la longueur d’onde,λ ; donc y = 0 pour x = 0, λ, 2λ, 3λ....y

est l’amplitude, valeur toujours posi- tive, bien que y puisse ˆetre n ´egatif. Mais on cherche une ´equation g ´en ´erale qui d ´ecrit la propagation de l’onde `a la vitesse v. Au temps t, l’onde conservera la m ˆeme forme mais toutes ses parties auront boug ´e d’une m ˆeme distance, vt.

Si l’onde voyage vers la droite, il suffit de remplacer x par (x − vt), soit : y (x, t) = y

sin









2π

λ (x − vt)









Il y a une p ´eriodicit ´e dans l’espace et dans le temps.

Onde harmonique : repr ´esentation math ´ematique (suite)

La forme g ´en ´erale d’une onde sinuso¨ıdale progressive (onde harmonique) : y(x, t) = y

sin (kx − ωt + φ)

avec y

= amplitude de l’onde ; (kx − ωt + φ)= phase de l’onde ;

φ= d ´ephasage ; ω= fr ´equence angulaire/pulsation et k= nombre d’onde.

Posons φ=0,

(a)y (x, t = 0) = y

sin kx

(b)y (x = 0, t) = y

sin (−ωt)

– nombre d’onde :k

y

sin kx

= y

sin [k(x

+ λ )]

= y

sin (kx

+ kλ) k = 2π/λ en rad/m et λ : la longueur d’onde en m.

– fr ´equence angulaire :ω

y

sin ωt

= y

sin [ω(t

+ T )]

= y

sin (ωt

+ ωT ) ω = 2π/T en rad/s et T : la p ´eriode – fr ´equence :f

f = 1

= ω

La vitesse de propagation des ondes

Soit deux instantan ´es de l’onde

pris pour un intervalle de temps ∆t.

La forme de l’onde est fixe et se d ´eplace lat ´eralement sans d ´eformation.

∆x

∆t

est la vitesse de l’onde.

Lors du d ´eplacement, tous les points de l’onde gardent la m ˆeme valeur de y → argument du sinus doit ˆetre constant

kx − ωt = constante D ´erivons par rapport `a t :

k dx

dt − ω = 0 dx

dt = v = ω k v = ω

k = λ

T = λf

L’onde bouge d’une distance ´egale `a

une longueur d’onde pendant une os-

cillation, la vitesse est une longueur

d’onde par p ´eriode (voir TP M6).

La vitesse de propagation des ondes (suite)

y(x, t) = y

sin (kx − ωt) = y

sin









2π

λ (x − vt)









Cette ´equation d ´ecrit le mouvement d’une onde se d ´eplac¸ant vers les x crois- sants.

Pour trouver l’ ´equation d’une onde se d ´eplac¸ant vers les x d ´ecroissants, on remplace t par −t. Ceci correspond `a la condition :

kx + ωt = constante

condition qui impose que x doit d ´ecroˆıtre quand le temps augmente. Ainsi l’ ´equation d’une onde se d ´eplac¸ant vers les x d ´ecroissants est :

y (x, t) = y

sin (kx + ωt) et la vitesse de cette onde sera :

dx

dt = − ω k

Le signe − indique que l’onde se d ´eplace vers les x d ´ecroissants.

D’une mani `ere g ´en ´erale, une onde progressive est de la forme y(x, t) =

Exemple : une onde sinuso¨ıdale progressive

Soit l’onde sinuso¨ıdale le long d’une corde :

y(x, t) = 0, 00327 sin (72, 1x − 2, 72t) dans laquelle les constantes num ´eriques valent dans le SI : 0,00327 m, 72,1 rad/m et 2,72 rad/s.

– D ´eterminer son amplitude, k, λ, T , f ?

y

= 0, 00327 m, k = 72, 1 rad/m, ω = 2, 72 rad/s λ =

=

rad

72,1

rad/m = 0, 0871 m T =

=

rad

2,72

rad/s = 2, 31 s, f =

=

s = 0, 433 Hz – Quelle est la vitesse de l’onde ?

v =

=

rad/s

72,1

rad/m = 0, 0377 m/s

– Que vaut y au point x = 22, 5 cm et t = 18, 9 s ?

y = 0, 00327 sin (72, 1 × 0, 225 − 2, 72 × 18, 9) = 0, 00192 m – Calculer la vitesse transversale, u, de ce point ?

Prenons la d ´eriv ´ee partielle par rapport au temps : u =

= −ωy

cos (kx − ωt)

u = (−2, 72rad/s)(3, 27mm) cos (−35.1855rad) = 7, 2mm/s – Calculer l’acc ´el ´eration ?

a

=

= −ω

y

sin (kx − ωt) = −ω

y = −14, 2mm/s

Vitesse de propagation des ondes

La vitesse de l’onde est reli ´ee `a la longueur d’onde et `a la fr ´equence, mais est d ´efinie par le milieu. Si une onde se propage dans un milieu tel que l’eau, l’air, l’acier ou une corde tendue, elle fait osciller les particules de ce milieu. Pour que cela puisse se faire, il faut que le milieu poss `ede d’une part des propri ´et ´es inertielles (pour que l’ ´energie cin ´etique puisse ˆetre stock ´ee) et d’autre part des propri ´et ´es ´elastiques (de telle sorte que l’ ´energie potentielle puisse ˆetre r ´etablie). Ces 2 propri ´et ´es d ´eterminent la vitesse de propagation de l’onde. On peut donc calculer cette vitesse `a partir des propri ´et ´es du milieu.

D ´etermination dimensionelle

On examine les dimensions de toutes les quantit ´es physiques qui inter- viennent. Pour une corde tendue, sa caract ´eristique inertielle est la masse d’un ´el ´ement de corde, soit sa masse divis ´ee par sa longueur µ = m/l, ap- pel ´ee la masse lin ´eique exprim ´ee en kg.m

. Pour ´etirer une corde, il faut lui appliquer une force de tension F

de dimension kg.m.s

. Comment combiner µ et F

pour obtenir une vitesse ?. On trouve facilement :

v = C

v u u t

F_t

µ

C = constante sans dimension

Cette analyse ne permet pas de d ´eterminer la valeur de la constante. Pour

cela il faut faire une d ´erivation math ´ematique correcte en ´ecrivant les forces

La vitesse de propagation des ondes

Cette vitesse est d ´etermin ´ee par les propri ´et ´es ´elastiques et inertielles du mi- lieu. D’une mani `ere g ´en ´erale, on trouve que :

v =

v u u u u u t

f acteur de f orce elastique f acteur d

inertie

– Onde transversale sur une corde tendue : v =

F

/µ

F

est la tension et µ la masse par unit ´e de longueur (ou masse lin ´eique) (voir TP M6).

– Onde longitudinale dans une barre : v =

E/ρ

E est le module d’ ´elasticit ´e/Young (voir chapitre 10) et ρ la masse volumique.

– Onde longitudinale dans un liquide : v =

B/ρ B est le module de compressibilit ´e (voir chapitre 10).

– Onde acoustique dans un gaz : v =

γ P /ρ =

γ R T /M

γ = C

/C

est rapport des capacit ´es calorifiques molaires `a pression et

volume constant (voir chapitre 14) et vaut ∼ 1, 4 pour les gaz diatomiques

comme l’hydrog `ene, oxyg `ene et approximativement pour l’air. P est la pres-

sion, R la constante des gaz parfaits, M la masse mol ´eculaire du gaz et T

la temp ´erature absolue(voir TP M6).

Exemples : vitesse de propagation

EXEMPLE 1 : Une corde horizontale de longueur 2,0 m et de masse 40 g passe autour d’une poulie de masse n ´egligeable et sans frottement et porte,

`a son extr ´emit ´e libre, une masse de 2,0 kg. Calculer la vitesse de propagation d’une impulsion ondulatoire sur cette corde. N ´egliger le poids de la partie de la corde en suspension.

SOLUTION : Nous avons besoin de F

et de µ. La tension est exactement la charge en newtons, soit (2,0 kg)×(9,81 m/s

)=19,62 N. La masse lin ´eique µ = (0, 040kg)/(2, 0m) = 0, 020kg/m. D’o `u :

v =

v u u u u u t

F

µ =

v u u u u u t

19, 62N

0, 020kg/m = 31m/s

EXEMPLE 2 : Une explosion a eu lieu `a une faible profondeur au-dessous de

la surface de l’oc ´ean. Calculer la vitesse de l’onde de compression r ´esultante

mesur ´ee par des instruments plac ´es `a quelques m `etres au-dessous d’un na-

vire.

Exemples : vitesse de propagation (suite)

SOLUTION : Il s’agit d’une onde de compression dans l’eau de mer. Comme la source n’est pas profonde, on peut prendre comme masse volumique ρ = 1, 03 × 10

kg/m

et B = 2, 2GPa. On a donc :

v =

v u u u u u t

B ρ =

v u u u u u u t

2, 2 × 10

Pa

1, 03 × 10

kg/m

= 1, 46 × 10

m/s C’est 4 fois la vitesse du son dans l’air.

EXEMPLE 3 : Calculer la vitesse du son dans l’air dans les conditions nor- males de temp ´erature et de pression ?

SOLUTION : Les conditions normales sont : temp ´erature 0

C, pression 1 atm=1, 013 × 10

Pa, et ainsi ρ = 1, 29kg/m

. La vitesse du son est :

v =

v u u u u u t

γP

ρ =

v u u u u u u t

1, 4(1, 013 × 10

Pa)

1, 29kg/m

= 332m/s

Energie transmise par les ondes

Quand on envoie une onde dans une corde tendue, on fournit de l’ ´energie pour le mouvement de la corde. En s’ ´eloignant, l’onde trans- porte cette ´energie sous forme d’ ´energie cin ´etique et potentielle ´elastique.

L’ ´el ´ement de corde a de masse, dm = µdx, a un d ´eplacement maximum y

et l’ ´el ´ement b un d ´eplacement nul. L’ ´energie cin ´etique d’un ´el ´ement de corde `a chaque position d ´epend de sa vitesse transversale u, tandis que l’ ´energie potentielle d ´epend de la quan- tit ´e par laquelle l’ ´el ´ement de corde est ´etir ´e au passage de l’onde.

Quand l’ ´el ´ement passe par la position y = 0, sa vitesse transverse est maxi-

mun et donc aussi son ´energie cin ´etique. Par contre quand l’ ´el ´ement est dans

sa position extr ˆeme a, sa vitesse est nulle et E

= 0. En position y

, l’ ´el ´ement

n’est pas ´etir ´e, son ´energie potentielle ´elastique est nulle. En position y = 0, il

est ´etir ´e au maximun et son ´energie potentielle ´elastique est maximum. Ainsi

les r ´egions de la corde avec d ´eplacement maximum n’ont pas d’ ´energie et

ceux avec d ´eplacement nul ont une ´energie maximale.

Energie transmise par les ondes (suite)

Energie cin ´etique associ ´e `a dm : dE

=

dm u

=

µ dx u

u =

= −ω y

cos (kx − ωt) En regroupant ces 2 ´equations : dE

= 1

2 (µ dx)(−ωy

)

cos

(kx − ωt) En divisant par dt, on obtient le taux

de variation d’ ´energie cin ´etique d’un ´el ´ement de corde,

dE

dt = 1

2 µvω

y

cos

(kx − ωt) Le taux moyen de transmission









dE

dt









= 1

2 µvω

y

cos

(kx − ωt)

= 1

4 µv ω

y

car cos

(kx − ωt) = 1/2

On trouve le m ˆeme taux moyen de transmission pour l’ ´energie potentielle.

Puissance moyenne : taux moyen auquel les 2 sortes d’ ´energie sont transmises par une onde :

P = 2









dE

dt









= 1

2 µvω

y

Onde transversale : puissance moyenne : P =

√

µF

ω

y

Onde longitudinale : puissance moyenne : P =

√

ρBAω

y

L’ ´energie transport ´ee est pro-

portionnelle au carr ´e de l’ampli-

tude.

Exemple : Puissance moyenne

Une corde de masse lin ´eique µ=525 g/m est ´etir ´ee avec une tension F

de 45 N. Une onde dont la fr ´equence f et l’amplitude y

sont 120 Hz et 8,5 mm respectivement, se propage le long de cette corde. Calculer la puissance moyenne transmise par cette corde ?

SOLUTION : Calculons d’abord la fr ´equence angulaire ω et la vitesse de pro- pagation de l’onde,v :

ω = 2πf = (2π)(120Hz) = 754rad/s v =

v u u u u u t

F

µ =

v u u u u u t

45N

0, 525kg/m = 9, 26m/s Nous pouvons calculer la puissance moyenne :

P = 1

2 µvω

y

= 1

2 (0, 525kg/m)(9, 26m)(754rad/s)

(0, 0085m)

= 100W

Principe de superposition pour les ondes

y

(x, t) = y

(x, t) + y

(x, t) Dans la r ´egion o ` u deux ou plusieurs ondes de m ˆeme type se superposent, l’onde r ´esultante est la somme alg ´ebrique des contributions de ces ondes en chaque point.

Les ondes continuent `a se d ´eplacer ind ´ependamment l’une de l’autre.

L’onde r ´esultante n’est pas en

g ´en ´eral une onde sinuso¨ıdale

simple mais une onde compo-

site.

Analyse de Fourier

Jean-Baptiste Fourier (1786-1830) a expliqu ´e comment le principe de su- perposition peut ˆetre utilis ´e pour analyser des ondes nonsinuso¨ıdales. Se- lon Fourier, toute fonction p ´eriodique de fr ´equence f (fonction dont la structure est reproductible `a intervalles r ´eguliers) peut ˆetre d ´ecompos ´ee en une somme de sinuso¨ıdes avec des amplitudes et des phases appropri ´ees.

y(t) = a

sin (ωt + φ

) + a

sin (2ωt + φ

) +a

sin (3ωt + φ

) + .... =

n=1

a

sin (nωt + φ

)

= 1 f ondamentale + harmoniques avec ω = 2πf o `u f est la fr ´equence de la fonction analys ´ee. Le premier terme a la m ˆeme fr ´equence f : c’est le fondamental ou premier harmonique. Le terme suivant de fr ´equence f

= 2f est appel ´e deuxi `eme harmonique etc. Les amplitudes et les d ´ephasages d ´ependent de la fonction y (t) consid ´er ´ee.

Il nous suffira de savoir qu’une fonction quelconque y (t) de p ´eriode T

peut toujours ˆetre d ´ecompos ´ee en une fondamentale de m ˆeme p ´eriode

et ses harmoniques.

Les conditions aux limites : r ´eflexion

Consid ´erons une corde de longueur finie, dont une des extr ´emit ´es est tenue fixe ( `a gauche) ou compl `etement libre ( `a droite).

En rencontrant un obstacle fixe, l’ ´energie ne peut que se r ´efl ´echir. L’onde r ´efl ´echie trans- porte toute l’ ´energie incidente : y

+ y

= 0. Elle a donc m ˆeme amplitude, m ˆeme longueur d’onde MAIS signe oppos ´e. Elle est d ´ephas ´ee de 180

.

La corde monte jusqu’ `a ce que toute l’ ´energie soit emmagasin ´ee

´elastiquement. La corde descend en-

suite, produisant une onde r ´efl ´echie

de m ˆeme amplitude, m ˆeme longueur

d’onde et de m ˆeme signe.

Les conditions aux limites : absorption et transmission

– Absorption

Si l’extr ´emit ´e d’une corde dissipe de l’ ´energie par frottement ou autre pro- cessus, l’impulsion r ´efl ´echie a moins d’ ´energie. Donc l’amplitude est plus petite.

– Transmission

Quand une onde passe d’un milieu `a un autre de caract ´eristiques diff ´erentes, une redistribution de l’ ´energie se passe.

Cas (a) : Soit une impulsion ondulatoire

se propageant sur une corde de faible

masse lin ´eique et rencontrant l’interface avec

une deuxi `eme corde de plus grande masse

lin ´eique. La plus grande inertie de la 2eme

corde g `ene le mouvement au point de jonc-

tion. Le second milieu exerce une force de

r ´eaction qui s’oppose au mouvement et pro-

duit une onde r ´efl ´echie inverse (d ´ephasage

180

).

Les conditions aux limites : absorption et transmission

Mais le 2eme milieu se d ´eplace aussi. Une frac- tion de l’ ´energie incidente parait dans le second milieu sous la forme d’une onde transmise. Les vitesses des impulsions dans les 2 cordes sont diff ´erentes car les 2 cordes ont la m ˆeme tension mais des masses lin ´eiques diff ´erentes.

Cas (b) : Si le premier milieu est plus dense que le deuxi `eme, la situation ressemble `a celle avec une extr ´emit ´e libre. Il n’y a alors aucun changement de phase de l’onde r ´efl ´echie par rapport `a l’onde incidente et l’onde transmise a une plus grande longueur d’onde.

Si l’onde incidente est p ´eriodique, l’onde transmise aura la m ˆeme fr ´equence

mais une vitesse diff ´erente, donc λ diff ´erent (v = λ f ). Plus la densit ´e du

milieu est grande, plus petite est la longueur d’onde. Le fait que les fr ´equences

des ondes incidente, r ´efl ´echie et transmise sont les m ˆemes est vrai quelle que

soit la nature de l’ ´ebranlement (m ´ecanique, lumineux...).

Interf ´erences d’ondes

On r ´eserve le terme interf ´erence `a la superposition d’ondes coh ´erentes, ondes qui sont synchrones (m ˆeme ω ) et dont le d ´ephasage relatif ne varie pas avec le temps.

Supposons qu’on envoie 2 sinuso¨ıdes coh ´erentes dans la m ˆeme direction le long d’une corde tendue. Le r ´esultat va d ´ependre de la mani `ere dont les deux sinuso¨ıdes sont d ´ephas ´ees (d ´ecal ´ees) l’une par rapport `a l’autre.

y

(x, t) = y

sin (kx − ωt)

y

(x, t) = y

sin (kx − ωt + φ) D’apr `es le principe de superposition :

y

(x, t) = y

sin (kx − ωt)

+y

sin (kx − ωt + φ)

= [2y

cos 1

2 φ] sin (kx − ωt + 1

2 φ)

car (sin p + sin q) = 2 sin

(p + q) cos

(p − q). L’onde r ´esultante est aussi

une sinuso¨ıde voyageant dans la m ˆeme direction, mais qui diff `ere des ondes

originales par : (1) sa phase et (2) son amplitude. Pour φ = 0

: interf ´erence

totalement constructive. Pour φ = π rad(180

) : interf ´erence totalement des-

Les ondes stationnaires

Supposons une corde de longueur L fix ´ee `a une extr ´emit ´e.

Si une onde sinuso¨ıdale rencontre cette extr ´emit ´e, il y aura une onde r ´efl ´echie qui sera l’image sym ´etrique invers ´ee de l’onde incidente ; deux ondes sont donc pr ´esentes sur la corde et se propagent dans des directions oppos ´ees.

Les ondes incidente et r ´efl ´echie se combinent pour produire une onde sta-

tionnaire caract ´eris ´ee par des positions fixes ayant un d ´eplacement nul les

noeuds et des positions fixes ayant des d ´eplacements maxima les ventres.

Repr ´esentation math ´ematique des ondes stationnaires

Soit 2 ondes sinuso¨ıdales de m ˆeme longueur d’onde et amplitude, se propa- geant en sens inverse (posons φ = 0)

y

(x, t) = y

sin (kx − ωt) et y

(x, t) = y

sin (kx + ωt) D’apr `es le principe de superposition :

y

(x, t) = y

sin (kx − ωt) + y

sin (kx + ωt) y

(x, t) = [2 y

sin kx] cos ωt

Le terme entre crochets peut ˆetre interpr ´et ´e comme l’amplitude de l’oscillation d’un ´el ´ement de corde `a la position x. On voit que cette amplitude varie avec la position x, ce qui n’est pas le cas pour une onde sinuso¨ıdale progressive.

Cette fonction ne repr ´esente pas une onde progressive (y = h(kx ± ωt)) mais une onde stationnaire. L’amplitude de cette onde sera nulle pour des valeurs de k telles que sin kx = 0. Les valeurs des noeuds sont `a :

kx = nπ avec n = 0, 1, 2....

x = n λ

2 pour n = 0, 1, 2 De m ˆeme, on aura des ventres, aux positions :

x = (n + 1 2 ) λ

2 pour n = 0, 1, 2....

Les ondes stationnaires sur une corde tendue

Si la corde est fix ´ee aux 2 extr ´emit ´es, on impose un 2eme point fixe `a

y(x = L, t) = 0. Il doit y avoir au moins 2 noeuds. Ceci limite les fr ´equences auxquelles une onde stationnaire se produira le long d’une corde ; elle ne peut se produire que si L est un multiple entier de λ/2.

λ = 2 L

n , pour n = 1, 2, 3...

Les fr ´equences possibles correspondantes (f = v/λ) sont :

f

= n v

2L = n f

La fr ´equence la plus basse,f

, correspond au mode fondamental (ou premier harmonique) et la fr ´equence f

`a l’harmonique d’ordre n.

f

= v

2L = 1 2L

v u u u u u t

F

µ

La longueur d’onde est donn ´ee UNIQUEMENT par la longueur de la

corde, mais la fr ´equence d ´epend aussi de la vitesse v, qui est donn ´ee

par la tension et la masse lin ´eique .

Applications : instruments de musique `a cordes

Galil ´ee comprit qu’une corde vibrante “fait vibrer l’air qui l’entoure”, produisant un son de m ˆeme fr ´equence que la corde. Les cordes vibrantes ne peuvent pas ´ebranler une grande quantit ´e d’air, car elles n’ ´emettent pas elles-m ˆemes des sons de grande intensit ´e.

A cause de cela, elles sont tou-

jours coupl ´ees `a des caisses

de r ´esonance (comme dans

les pianos, violons et guitares).

Les ondes stationnaires dans un tuyau

On observe ´egalement des ondes stationnaires pour des ondes longitudi- nales (ondes sonores) dans un tuyau (instrument de musique). Une extr ´emit ´e ferm ´ee correspond `a un noeud de d ´eplacement et `a un ventre de pression.

Une extr ´emit ´e ouverte correspond `a un ventre de d ´eplacement et `a un noeud de pression.

Pour un tuyau ferm ´e aux deux extr ´emit ´es : les fr ´equences des modes normaux sont :

f

= n v

2L (n = 1, 2, 3...)

Pour un tuyau ouvert aux 2 extr ´emit ´es, le r ´esultat est le m ˆeme `a l’exception de l’emplacement des noeuds.

Pour un tuyau ouvert `a une extr ´emit ´e : les fr ´equences des modes normaux sont :

f

= n v

4L (n = 1, 3, 5...)

o `u v est la vitesse du son dans l’air.

Le son

L’id ´ee que le son est un ph ´enom `ene ondulatoire est tr `es ancienne.

L’onde sonore est longitudinale car elle se propage dans des fluides qui n’ont aucune raideur. Une onde m ´ecanique transversale ne peut donc pas s’y pro- pager car un fluide ne donne pas prise au cisaillement. Comme la mati `ere ne se d ´eplace pas avec l’onde, la vitesse de celle-ci peut ˆetre tr `es grande.

Le son se propage dans tout milieu qui peut r ´eagir ´elastiquement. La r ´egion entre source et d ´etecteur doit contenir une quantit ´e de mati `ere suffisante pour transmettre l’ ´ebranlement : Le son ne se propage donc pas dans le vide.

Mat ´eriau Vitesse (m/s) Air (20

) 343

Air (0

) 331 H ´elium 1005 Hydrog `ene 1300

Eau 1440

Fer et Acier ∼ 5000

Verre ∼ 4500

Aluminium ∼ 5100

La vitesse du son d ´epend du milieu

La vitesse du son dans un gaz parfait,

v =

v u u t

γP

ρ

, est donc ind ´ependante de la fr ´equence (heureusement pour les concerts !).

Le domaine audible pour l’oreille humaine est : 20 Hz `a 20000 Hz.

f ≥ 20000Hz : ultrasoniques (Chauve- souris sont sensibles `a des fr ´equences jus- qu’ `a 100000 Hz)

f ≤ 20 Hz : infrasoniques (tonnerre, tremble-

ments de terre..).

Audition des sons

– Un son pur est la sensation auditive produite par une onde harmonique simple s(x, t) = s

sin (kx − ωt) (ex : le diapason).

– Un son quelconque correspond `a une perturbation de nature p ´eriodique qui peut ˆetre d ´ecompos ´ee en une fon- damentale et des harmoniques (s ´erie de Fourier). L’oreille humaine est capable de percevoir la fondamentale et chaque harmonique s ´eparemment. Les diff ´erentes ampli- tudes relatives des harmoniques caract ´erisent le timbre du son produit. Les d ´ephasages φ

ne jouent pas de r ˆole dans la perception. Une note produite par un piano a un spectre de fr ´equence tr `es diff ´erent de celle d’un chanteur et l’oreille distingue facilement le chanteur de l’accompa- gnateur, m ˆeme quand les sons sont ´emis simultan ´ement.

– La hauteur du son est li ´ee `a la fr ´equence de sa fonda- mentale (f =1/T) : son grave → f < 200Hz, son aigu

→ f > 1000Hz.

– Un bruit est un ´ebranlement acoustique de nature ap ´eriodique et ne peut ˆetre d ´ecompos ´e en s ´erie de Fou- rier.

la

= 440Hz

par a) la flute b)

la trompette c)le

saxo d) le violon.

Repr ´esentation math ´ematique des ondes longitudinales

Une onde sonore, se d ´eplac¸ant `a travers un tube rempli d’air, `a la vitesse v, est constitu ´ee d’une succession p ´eriodique de compressions et de d ´epressions en mouvement. Au passage de l’onde, un ´el ´ement de fluide d’ ´epaisseur, ∆x, oscille de droite `a gauche en un mouvement harmonique simple autour de sa position d’ ´equilibre.

A l’instant montr ´e en (b), cet ´el ´ement est d ´eplac ´e vers la droite d’une distance, s, par rapport `a sa position d’ ´equilibre. Son d ´eplacement maximum est s

, soit vers la droite ou la gauche. Ce d ´eplacement est donn ´e par :

s(x, t) = s

cos (kx − ω t)

s

est l’amplitude du d ´eplacement qui est

parall `ele `a la direction x de propagation de

l’onde (on ´ecrit s(x, t) pour ´eviter d’ ´ecrire

x(x, t)).

Repr ´esentation math ´ematique des ondes longitudinales

Quand l’onde se d ´eplace, la pression en un point donn ´e, varie aussi sinuso¨ıda- lement. On peut donc consid ´erer les ondes longitudinales du point de vue des variations de pression plut ˆot que du d ´eplacement. Une onde sonore peut s’exprimer comme une variation de pression par rapport `a la pression atmosph ´erique :

∆P (x, t) = ∆P

sin (kx − ωt)

∆P

= (vρω)s

= B s

k = B s

( 2π λ ) v ´etant la vitesse du son. La pression est d ´ephas ´ee de π/2 ou λ/4 par rapport au d ´eplacement. Une valeur n ´egative de ∆P correspond `a une dilatation de l’air, et une valeur positive `a une compression.

∆P

est l’amplitude de pression : elle repr ´esente les variations maximales et

minimales de la pression par rapport `a la pression atmosph ´erique. ∆P

est

beaucoup plus faible que la pression atmosph ´erique.

Exemple : variation de pression

La variation de pression maximale que l’oreille humaine peut accepter pour des sons intenses est 28 Pa (ce qui est tr `es petit par rapport `a la pres- sion atmosph ´erique, ∼ 10

Pa). (a) Calculer l’amplitude de d ´eplacement des mol ´ecules d’air pour un tel son `a une fr ´equence de 1000 Hz ? (b) R ´ep ´eter ces calculs pour la variation minimale de pression qui est de 2, 8 × 10

Pa.

(a)

s

= ∆P

vρω = ∆P

vρ(2πf )

= 28Pa

(343m/s)(1, 21kg/m

)(2π )(1000Hz)

= 1, 1 × 10

m

(b) On trouve s

=1, 1 × 10

m, ce qui est environ un dixi `eme du rayon d’un

atome typique. L’oreille est un d ´etecteur tr `es sensible.

Fronts d’onde et intensit ´e

Les courbes reliant de proche en proche les points d’une onde qui ont le m ˆeme

´etat de vibration (c- `a-d les points qui vibrent en phase) sont les fronts d’onde.

Les ondes sonores sont `a 3 dimensions. Les sur- faces form ´ees par les points qui vibrent en phase, i.e les fronts d’onde, sont sph ´eriques. L’ ´energie sonore est distribu ´ee sur le front d’onde et dans le cas d’une onde sph ´erique isotrope, cette distri- bution d’ ´energie est uniforme dans toutes les di- rections. Ce qui caract ´erise l’onde est l’intensit ´e sonore,I , qui est l’ ´energie qu’elle transporte par unit ´e de temps et par unit ´e de surface. On peut montrer que

I = 1 2

r

ρBω

s

= ∆P

2ρ v en W/m

Soit une onde sph `erique qui se propage en s’ ´eloignant de sa source. La su-

perficie du front d’onde (4πR

) augmente. Comme c’est la m ˆeme puissance

qui se r ´epartit sur une surface de plus en plus grande, l’intensit ´e de l’onde

diminue en raison inverse du carr ´e de la distance `a la source. C’est la loi en

1/R

.

Sensibilit ´e de l’oreille humaine

La sensibilit ´e de l’oreille humaine s’ ´etend en fr ´equence de 20 `a 20000 Hz et en intensit ´e entre 10

et 1 W/m

. C’est une plage de fonctionnement incroya- blement ´etendue pour un d ´etecteur. La sensibilit ´e en intensit ´e n’est pas uni- forme sur tout le domaine de fr ´equence. On admet en g ´en ´eral 1 W/m

comme seuil de douleur et 10

W/m

comme seuil d’audition. Sans doute `a cause de l’ampleur de cet ´eventail, notre perception sonore n’est pas directement proportionnelle `a l’intensit ´e. Il est vrai que plus l’intensit ´e est grande plus le son semble fort. En fait pour produire un son perc¸u de volume sonore double, il faut une onde sonore d’une intensit ´e ∼10 fois plus ´elev ´ee. L’oreille est sen- sible au logarithme de l’intensit ´e. C’est la loi de Fechner qui postule que la sensation physiologique est proportionnelle au logarithme de l’excitation.

Ainsi un ˆetre humain perc¸oit le vo- lume sonore d’une onde d’intensit ´e 10

W/m

comme environ 2 fois plus

´elev ´e que celui d’une onde sonore

d’intensit ´e 10

W/m

et comme envi-

ron 4 fois plus ´elev ´e que celui d’une

onde sonore d’intensit ´e 10

W/m

.

Sensibilit ´e de l’oreille humaine (suite)

A cause de cette relation entre la sensation subjective volume sonore et la quantit ´e mesurable intensit ´e, on exprime d’ordinaire le niveau d’intensit ´e sonore `a l’aide d’une ´echelle logarithmique.

On d ´efinit le niveau d’intensit ´e du son, β , en d ´ecibel (dB) comme le rap- port de l’ intensit ´e I du son `a l’intensit ´e I

= 10

W/m

(seuil d’audition)

β = 10 log

I/I

Puisque log

1 = 0, le niveau d’in- tensit ´e du seuil d’audibilit ´e est β = 10 log

1 = 0 dB. L’ ´etendue totale de la gamme d’intensit ´e audible cor- respond `a 120 dB.

Source sonore Niveau (dB) Source sonore Niveau (dB)

Avion `a r ´eaction 140 Concert de Rock ∼120

Marteau piqueur 110 Circulation sur autoroute 75

Conversation normale 60 chuchottement 20

Sensibilit ´e de l’oreille humaine (suite)

10 log

I/I

= β – Pour I = 10

W/m

β = 10 log

10

W/m

10

W/m

= 10 log

10

= 10(6) = 60 dB – Pour I = 10

W/m

= I

, β = 0 dB

– Pour I = 10

W/m

, β = 40 dB – Pour I = 1 W/m

, β = 120 dB

Supposons qu’on augmente l’intensit ´e d’un son de I

`a I

dont les niveaux sonores sont β

et β

. La variation du niveau sonore est

∆β = β

− β

= 10 log

( I

I

) − 10 log

( I

I

) = 10 log

( I

I

)dB

En augmentant l’intensit ´e d’un facteur 10, on augmente le niveau sonore

de 10 dB. Si l’intensit ´e augmente d’un facteur 100, on augmente le niveau

sonore de 20 dB. Si on double l’intensit ´e, le niveau sonore n’augmente

Exemple : sensibilit ´e de l’oreille humaine

Consid ´erons 10 violons identiques, chacun de niveau 70 dB. Quel sera le niveau sonore s’ils jouent ensemble ?

SOLUTION : Consid ´erons d’abord le cas de 2 violons : β = 10 log

( 2I

I

) = 10 log

2 + 10 log

( I I

)

et le niveau sonore est (3 dB + 70 dB). Ainsi en doublant l’intensit ´e, le niveau sonore augmente de 3 dB.

Avec 3 violons jouant ensemble, le niveau sonore s’ ´el `eve `a 75 dB ; avec 4, il

s’ ´el `eve `a 76 dB ; avec 5, il s’ ´el `eve `a 77 dB ; avec 10, il s’ ´el `eve `a 80 dB. Dix

violons produisent une intensit ´e 10 fois celle d’un seul violon et donc 10 dB en

plus et ceci correspond `a doubler le volume sonore perc¸u.

Exemple : variation de l’intensit ´e en 1/R ²

Le niveau d’intensit ´e `a 30 m d’un avion `a r ´eaction est de 140 dB. Quel est le niveau d’intensit ´e `a 300 m ?

SOLUTION : D’apr `es l’ ´enonc ´e, le niveau d’intensit ´e `a 30m, soit β

vaut β

= 10 log

I

I

= 10 (log

I − log

I

) = 140 dB avec I

= 10

W/m

et I

est l’intensit ´e `a 30m.

A 300 m, soit 10 fois plus loin, l’intensit ´e est ´egale `a (

)

=

de ce qu’elle est `a 30 m, soit I

= I

/100. Par cons ´equent, le niveau d’intensit ´e `a 300m, soit β

vaut

β

= 10 log

I

100 I

= 10 log

I

I

− 10 log

100 = 140 − 10 × 2 = 120dB

M ˆeme `a 300 m de l’avion, on est au seuil de la douleur auditive. Il faut mieux

mettre des prot ´ege-oreilles ! !

Battements

Si on ´ecoute, `a quelques minutes d’intervalle, 2 sons dont les fr ´equences sont tr `es proches, disons 552 et 564 Hz, on ne peut en g ´en ´eral les distinguer. Mais si ces 2 sons atteignent notre oreille au m ˆeme instant, on entend un son dont la fr ´equence est 558 Hz, la moyenne de 2 fr ´equences. Mais son intensit ´e n’est pas constante, elle augmente et diminue donnant des battements de fr ´equence 12 Hz, la diff ´erence entre ces 2 fr ´equences.

Consid ´erons 2 sons purs de m ˆeme amplitude, de fr ´equences l ´eg `erement diff ´erentes et d ´ephas ´es l’un par rapport `a l’autre, se propageant dans la m ˆeme direction :

s

(x, t) = s

cos (k

x − ω

t) et s

(x, t) = s

cos (k

x − ω

t + φ) D’apr `es le principe de superposition :

s

(x, t) = s

cos (k

x − ω

t) + s

cos (k

x − ω

t + φ)

= [2s

cos ( ∆k

2 x − ∆ω

2 t)] cos (kx − ωt)

avec φ = 0, ω = (ω

+ ω

)/2 et |ω

− ω

| = ∆ω . On a des relations sem-

blables pour les nombres d’onde k. Comme ω

, on peut consid ´erer cette

fonction comme une sinuso¨ıde dont la fr ´equence angulaire est ω et dont l’am-

plitude est la quantit ´e entre crochets, quantit ´e non constante et de fr ´equence

angulaire

(ou p ´eriode T = 2π/(∆ω/2)).

Battements (suite)

En une position x particuli `ere, l’ampli- tude varie avec le temps de 0 `a 2s

avec une fr ´equence de ∆ω/2. Un bat- tement se produit toutes les fois o `u cos

t ´egale +1 ou -1, ce qui se produit 2 fois pour chaque r ´ep ´etition de la fonction cosinus. La fr ´equence angulaire de battements, ω

, vaut donc :ω

= 2

= |ω

− ω

|. Et la fr ´equence des battements est donc :

f

= |f

− f

|

Ce qu’on entend est la note porteuse dont l’intensit ´e passe par des maxima

`a la fr ´equence des battements.

Les musiciens utilisent les ph ´enom `enes de battements pour accorder leurs

instruments. Ils utilisent une fr ´equence de r ´ef ´erence et ajustent leur instrument

jusqu’ `a ce que les battements disparaissent : leur instrument est alors accord ´e.

Exemple : les battements

On utilise une sir `ene comme fr ´equence de r ´ef ´erence pour ajuster un diapa- son au la

. On r ´eduit lentement la fr ´equence de la sir `ene, ce qui produit un

“vibrato”. La fr ´equence de ce vibrato diminue et atteint un minimum lorsque la sir `ene a une fr ´equence de 440 Hz. Alors le volume du son r ´esultant varie entre un maximum et un minimum en 0,25s. Quelle est la fr ´equence du diapason ? SOLUTION : On a f

= 440Hz et la p ´eriode des battements est de 0,25 s. La fr ´equence de ces derniers est l’inverse de la p ´eriode, soit :

1

0, 25s = 4Hz = (f

− f

) = 440Hz − f

et f

= 436Hz

Effet Doppler

Chaque sorte d’onde se propage dans un milieu homog `ene `a une vitesse constante qui d ´epend seulement des propri ´et ´es physiques du milieu. Cela est vrai quelquesoit le mouvement de la source : elle ´emet l’onde qui se propage.

Cependant, la perception de la fr ´equence d’une onde et de sa longueur d’onde peut ˆetre modifi ´ee consid ´erablement par un mouvement relatif entre l’observateur et la source.

Nous avons tous observ ´e un changement dans la fr ´equence quand une am- bulance s’approche puis s’ ´eloigne. La hauteur du son est plus ´elev ´ee, lorsque la voiture s’approche que lorsqu’elle est immobile et encore plus grande que lorsqu’elle s’ ´eloigne. Ce ph ´enom `ene est appel ´e effet Doppler.

Soit v

la vitesse de la source et v

la vitesse de l’observateur. L’effet Doppler a lieu pour v

< v et v

< v, v ´etant la vitesse de propagation des ondes.

Nous envisagerons les 3 situations suivantes : – 1) Source en mouvement, observateur au repos – 2) Source au repos, observateur en mouvement

– 3) Source et observateur en mouvement (pas de d ´emonstration)

1) Source en mouvement, Observateur au repos

En a), on a une source au repos qui ´emet 2 cr ˆetes d’ondes successives dont la 2eme onde vient d’ ˆetre ´emise. La distance entre les 2 cr ˆetes est λ

et le temps entre chaque ´emission est T =

s

=

o `u v est la vitesse de l’onde.

En b), la source bouge `a une vitesse v

. Dans un temps T , la 1ere cr ˆete par- court une distance d = λ

= v T . Dans le m ˆeme temps, la source parcourt une distance d

= v

T . La distance entre 2 cr ˆetes d’ondes successives, qui est la nouvelle longueur d’onde λ

, est :

λ

= d − d

= λ

− v

T = λ

− v

λ

v = λ

(1 − v

v ) La variation ∆λ vaut :∆λ = λ

− λ

= −v

.

La variation de la longueur d’onde est propor- tionnelle `a la vitesse v

de la source.

La fr ´equence entendue par l’observateur vaut : f

=

o

=

s(1−v_s/v)

= f

s

.

Comme le d ´enominateur est plus petit que v, on a f

> f

.

Si la source s’ ´eloigne de l’observateur, on

trouve : f

= f

et f

< f

.

2) Source au repos, Observateur en mouvement

L’effet Doppler se produit aussi quand la source est au repos et l’observateur bouge. Si l’observateur se rapproche de la source, la hauteur du son est plus

´elev ´ee. Si, au contraire, il s’ ´eloigne de la source, la hauteur du son diminue.

Quantitativement, la variation de fr ´equence est l ´eg `erement diff ´erente de celle qu’on trouve dans le cas d’une source en mouvement.

Dans ce cas, la distance entre les cr ˆetes, la longueur d’onde λ

, ne change pas. Mais la vitesse des cr ˆetes par rapport `a l’observateur change. Si l’observateur se rapproche de la source, la vitesse des ondes par rapport `a l’observateur est v

= v + v

o `u v

est la vitesse de l’observateur.

La fr ´equence perc¸ue par l’observateur est donc : f

= v

λ

= v + v

λ

= f

( v + v

v )

Si l’observateur s’ ´eloigne de la source,

la vitesse relative est v

= v − v

et

f

= f

(

)

Effet Doppler : Formule g ´en ´erale

On peut combiner les r ´esultats pr ´ec ´edents en une seule formule, valide aussi bien pour les cas o ` u la source/l’observateur est en mouvement que pour ceux o ` u l’observateur et la source bougent :

f

= f









v ± v

v ∓ v









Les signes du dessus s’appliquent si la source et l’observateur se rapprochent l’un de l’autre et les signes du dessous s’ils s’ ´eloignent.

L’effet Doppler n’est perceptible que si v

ou v

n’est pas n ´egligeable devant v. Exemple : sir `ene des pompiers, la vitesse du v ´ehicule n’est pas n ´egligeable vis- `a-vis de la vitesse du son.

Le mouvement de la source r ´eduit l’ ´ecart entre

les fronts d’onde successifs avanc¸ant dans le

sens de ce mouvement.

Effet Doppler (suite)

Lorsqu’un obstacle en mouvement r ´efl ´echit une onde sonore, la fr ´equence de l’onde r ´efl ´echie est, `a cause de l’effet Doppler, diff ´erente de l’onde incidente (voir exemple page 11-49). La combinaison de l’onde incidente et de l’onde r ´efl ´echie produit une interf ´erence qui cause des battements. La fr ´equence des battements est ´egale `a la diff ´erence des 2 fr ´equences.

Il existe plusieurs applications de l’effet Doppler en m ´edecine o `u on utilise

g ´en ´eralement des ondes ultrasoniques dans un domaine de fr ´equences se

situant dans les m ´egahertz ; par exemple, les ondes r ´efl ´echies par les globules

rouges permettent de d ´eterminer la vitesse du sang.

Exemple 1 : effet Doppler

Une voiture roule `a 20,0 m/s et ´emet un son de sir `ene de fr ´equence 600 Hz.

D ´eterminer la fr ´equence perc¸ue par un observateur immobile pendant que la voiture s’approche et pendant qu’elle s’ ´eloigne.

SOLUTION : Nous avons ici v

= 0 car l’observateur est immobile et la voiture s’approche de l’observateur. Ainsi l’observateur perc¸oit la fr ´equence :

f

= vf

v − v

= (340m/s)(600Hz)

(340m/s) − (20, 0m/s) = 638Hz

Quand la voiture s’ ´eloigne, il faut changer le signe de v

et l’observateur perc¸oit la fr ´equence :

f

= f

v

v + v

= (340m/s)(600Hz)

(340m/s) + (20, 0m/s) = 567 Hz

Ainsi quand la source et l’observateur se rapproche, la fr ´equence perc¸ue est

plus grande. Quand la source et l’observateur s’ ´eloigne, la fr ´equence perc¸ue

est plus petite. C’est ce qu’on entend quand une voiture de police passe.

Exemple 2 : Effet Doppler

(a) Etablir l’expression du d ´ecalage de Doppler dans le cas d’une onde ´emise par une source immobile, f

, r ´efl ´echie sur une cible qui s’approche vers la source et intercept ´ee par un observateur immobile. (b) Application au cas suivant : une onde sonore de 1000 Hz est ´emise par une source immobile vers une cible qui s’approche. Si l’onde r ´efl ´echie a une fr ´equence de 1200 Hz, quelle est la vitesse de la cible ?

SOLUTION : (a) On a ici 2 effets Doppler superpos ´es : l’onde rec¸ue par la cible, est d ´ecal ´ee `a f

, `a cause du mouvement de la cible. Une onde est ensuite ´emise avec la fr ´equence f

, l’observateur la rec¸oit d ´ecal ´ee `a f

, de nouveau `a cause du mouvement de la cible qui joue maintenant le r ˆole d’une source.

Pour le 1er effet Doppler, la source est immobile (v

= 0), et la cible s’ap- proche `a la vitesse v

= v

(on retrouve le cas contraire `a la d ´emonstration).

Ainsi la fr ´equence rec¸ue par la cible est :

f

= f

v + v

v

Exemple 2 : Effet Doppler (suite)

Pour le 2eme effet Doppler, l’observateur qui est repos v

= 0 et la cible s’approche de l’observateur (on retrouve le cas de la d ´emonstration)

f

= f

v v − v

Ces 2 d ´ecalages augmentent la fr ´equence car la cible s’approche. Apr `es sub- stitution, on obtient :

f

= f

v + v

v − v

(b) On peut d ´evelopper l’expression pr ´ec ´edente et extraire v

: f

(v − v

) = f

(v + v

)

v(f

− f

) = v

(f

+ f

) v

= v(f

− f

)

f

+ f

= (332m/s)(200 Hz)

(2200 Hz) = 30, 2m/s

Ondes de choc

Les formules obtenues pour l’effet Doppler ont une limite v

< v et v

< v.

Si l’une de ces conditions n’est pas v ´erifi ´ee, on trouverait une fr ´equence f

n ´egative, ce qui n’est pas physique. Envisageons n ´eanmoins ce qui se passe- rait si l’une de ces conditions n’est pas v ´erifi ´ee :

– v

< v et v

> v. L’observateur se d ´eplace plus vite que l’onde qui par cons ´equent ne peuvent pas le rattraper : il ne perc¸oit donc rien.

– v

> v et v

= 0 pour simplifier.

Pendant le temps t

− t

, la source a parcouru la distance AD= v

(t

− t

) et l’onde, la distance AA’= v(t

− t

). De m ˆeme, l’onde ´emise en B s’est d ´eplac ´ee au temps t

de BB’ = v(t

−t

) alors que BD = v

(t

−t

) etc...Les triangles AA’D, BB’D, CC’D sont semblables et sin α =

=

BB⁰

BD

... =

s

. Donc toutes les ondes

´emises entre A et D sont comprises

dans un c ˆone d’ouverture α, le c ˆone

Ondes de choc (suite)

Le rapport v

/v est appel ´e le nombre de Mach, c’est le rapport de la vitesse de l’objet `a celle du son dans le milieu o `u il se d ´eplace.

Par exemple, le nombre de Mach d’un avion qui se d ´eplace `a 900m/s (3240km/h) dans la haute atmosph `ere o `u la vitesse du son est de seulement 300 m/s est de 3 ; on dit alors que l’avion vole `a Mach 3.

Un avion dont la vitesse avoisine celle du

son rencontre un mur d’ondes sonores.Un

avion qui voyage `a une vitesse superso-

nique provoque un bruit et une perturba-

tion de l’air sous forme d’onde de choc qui

contient une quantit ´e ´enorme d’ ´energie

sonore. Un bang supersonique ne dure

qu’une fraction de seconde mais l’ ´energie

qu’il contient suffit souvent `a briser des

vitres et `a causer des dommages.