FreeFem++ الحلول العددية لمسألة ناقصة بإستعمال برنامج

(1)

Ministère de l’Enseignement Supérieur

ùÒÊªË@ ImF.Ë@ð úÍAªË@ ÕæÊª JË@ èP@ Pð

et de la Recherche ScientifiqueEcole Normale Supérieure

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏ@

-Vieux Kouba - (Alger) (

QK@ Qm.Ì'@

⁾

- éÖßY®Ë@ éJ.®Ë@ -

Département de Mathématiques

HAJ AKQË@ Õæ¯

éJ¯A K éË

AÖÏ éKXYªË@ ÈñÊmÌ'@

FreeFem++ l .×A KQK. ÈAÔª JAK.

øñ KAJË@ ÕæÊªJË@ XAJ

@ èXAîD ÉJ JË h.Q m' èQ¿ YÓ : XAJ

B@ ¬@Qå@ Im' : X@Y«@

QK QªË@ YJ.« øQKñ

^⋆

YJkð ¬A¢¯

: é ¯A JÖÏ@ é Jm.Ì ¬Q£ áÓ

^2010/05/29

ÐñK I ¯ñ K A KP

...

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

@

^...

ámÌ'@ P@ Q«ð -

A ¯QåÓ

...

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

@

^...

QK QªË@ YJ.« øQKñ - A ¯A JÓ

...

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

@

^...

PAÒ« èXñÔg YËð -

2010/2009 : éJªÓAm.Ì'@ é JË@

2010 : à@ñk. éª ¯X

(2)

Qê ®Ë@

1 . . .

éÓY®Ó

3 FreeFem++

l .×A KQK. Õç'Y ®K

¹

4 . . .

l .×A KQ.Ë@ Õç'Y ®K

^1.1

5 . . .

l .×A KQ.Ë@ á« éJ m'PAK è YJ. K

^2.1

5 . . .

IJ.JË@

^3.1

6 . . .

ÉJ ª Ë@ éJ ®J»

^4.1

7 . . . FreeFem++

ú ¯ ém.×Q.Ë@ é ªË

^5.1

8 . . .

HAJ¢ªÖÏ@ ¨@ñ K

@

^1.5.1

9 . . .

éJKQË@ ¨@ñ K

B@ éÖ ßA¯

^2.5.1

11 . . .

éÊÓA Ë@ H@Q ªJÖÏ@

^3.5.1

12 . . .

H.AmÌ'@

^4.5.1

15 . . .

Yg@ð Q ªJÓ H@ X ©K.@ñJË@

^5.5.1

16 . . .

áKQ ªJÓ H@ X ©K.@ñJË@

^6.5.1

18 . . .

Èð@Ym.Ì'@

^7.5.1

19 . . .

h.@Q kB@ ð ÈA gXB@

^8.5.1

21 . . .

HA KAJJ.Ë@ Q«

^9.5.1

23 . . .

½J. Ë@ ¨@ñ K

@

^10.5.1

27

éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

²

28 . . . H¹(Ω)

¬BñK.ñ ZA ¯

^1.2

32 . . . H^m(Ω)

¬BñK.ñ H@ZA ¯

^2.2

(3)

33 . . .

HQ.Êë H@ZA ¯ Èñk Q» YK

^3.2

36 . . .

éJK Qk. HA®J Ó H@ X éJÊ A ®JË@ HBXAªÖÏ@

^4.2

38 . . .

éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

^5.2

40 . . .

èXQm.ÙÛ@ éKQKA ªJË@ éË

AÖÏ@

^6.2

43 . . . 2

éJ.KQË@ áÓ éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

^7.2

51 . . .

éJ.KQ®JË@ éË

AÖÏ@

^8.2

52 . . . 1

YªJ.Ë@ ú ¯ éJîD JÖÏ@ QåA JªË@

^9.2

57 . . . 2

YªJ.Ë@ ú ¯ éJîD JÖÏ@ QåA JªË@

^10.2

67 −

HA KAJJ.Ë@

⁻

ÉKAÖÏ@ ªJ.Ë éKXYªË@ ÈñÊmÌ'@

³

68 . . . 1

ÈAJÓ

^1.3

70 . . . 2

ÈAJÓ

^2.3

74 . . . 3

ÈAJÓ

^3.3

79 . . .

éÖßA g

80 . . .

©k.@QÖÏ@

(4)

éÓY®Ó

ð ú ¯ éJA

@ è@X

A¿ ,

^[1]

Qå« áÓAJË@ àQ®Ë@ ú ¯ éJK Qk. HA®J Ó H@ X éJÊ A ®JË@ HBXAªÖÏ@ HQê £ Y®Ë , ùªK.A JË@ ÉJÊmFË@ð ú æ AKQË@ ÉJÊmFË@ ú ¯ éJA

B@ H@ðX

B@ QKñ¢ ú ¯ IÒëA AÒ» ,Që@ñ ¢Ë@ áÓ YKYªË@

éJKPñ ¯ ÉJÊm'ð éJÊ A ®JË@ éY JìÛ@ Iª ð AëPðYK. ú æË@ð ¬BñK.ñ ÈAÔ«

@ Ym. ' H@ðX

B@ è Yë áÖÞ áÓð ú æË@ð , HAªK PñJË@ ú ¯ èQîDË@ éJKQ ¢ JK. QKP@ñ ÑëA AÒ» , éJ®JJ.¢JË@ HAJ AKQË@ð øXYªË@ ÉJÊmFË@ úÍ@

. HAªK PñJË@ éKQ ¢ Pñê £ ÉJ.¯ éÒîD.Ó I KA¿ ú æË@ HAJÊÔªË@ áÓ YKYªË@ HPQK.

QJºË@ ú ¯ ,AîDm.Ì'AªÖÏ Q£ èY« Pñê £ úÍ@ AìÛñÊg á« ImF.Ë@ð HBXAªÖÏ@ áÓ ¨ñ JË@ @ YîE. ÐAÖÞëB@ øX

@ éËAÖÏ@ áÓ ÈñmFÊË Aª ¯@X I KA¿ HAK.ñªË@ è Yë , éË

AÒÊË J¯YË@ ÉmÌ'@ úÎ« ÈñmÌ'@ I.ª àAJk B@ áÓ . I.KQ ®JË@ ú ¯ I.ºKQÖÏ@

A¢ mÌ'@ Qåkð øXYªË@ ÉmÌ'@ á« ImF.Ë@ Q£ð , éJ.KQ®JË@ éË

AÖÏ@ úÍ@ é®J¯YË@

è Yë áÓ , ÉmÌ'@ úÎ« ÈñmÌ'@ éJÊÔ« ÉîD l .×@QK. èY« HQê £ ,ø XYªË@ Ém Ì'@ úÎ« ÈñmÌ'@ PA£@ ú ¯ ÉmÌ'@ úÎ« ÈñmÌ'@ éJ ®J» A JËðA JK è Yë A JKQ¿ YÓ ú ¯ð ,

^FreeFem++

ð

^Scilab

,

^Matlab

Ym. ' l.×@Q.Ë@

.

^FreeFem++

l .×A KQK. ÈAÔªJAK. éJ¯A K éËAÖÏ ø XYªË@

: Èñ ¯ HCK úÍ@ A JÊÔ« A JÖÞ ¯ Y¯ð , l .×A KQ.Ë@ á« éJ m'PAK è YJ. K Õç' ,éA k Ñë

@ð

^FreeFem++

l .×A KQ.Ë Qk.ñÓ Õç'Y ®JK. ImF.Ë@ éK@YK. ú ¯ A JÔ ¯ l .×A KQK. ú ¯ ém.×Q.Ë@ é ªË úÍ@ Èð

B@ É ®Ë@ Q k

@ ú ¯ ÉJ ®JËAK. A J¯Q¢ AëYªK.ð ,éÊJ ª ð éJJ.K éJ ®J»

. l .×A KQ.Ë@ @ Yë ú ¯ è Pñj.mÙÛ@ HAÒÊ¾Ë@ I.Ê «

@ ð

^FreeFem++

Ñë AK. A KQ

¿ X , ÉKAÖÏ@ è Yë Õç'Y ®K ú ¯ ñ mÌ'@ ÉJ.¯ , éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@ A JËðA JK ,ú GAJË@ É ®Ë@ ú ¯ HBXAªÖÏ@ ¨@ñ K@ A JK. Õç' . HQ.Êë H@ZA ¯ð ¬BñK.ñ H@ZA ®» , éÊÔªJÖÏ@ éJ AKQË@ ÕæëA ®ÖÏ@ð H@ðX

B@

, A JKQ¿ YÓ ¨ñ ñÓ ùë ú æË@ éJ¯A JË@ ÉKAÖÏ@ Õç'Y®K ÉJ.¯ ½Ë Xð ,ÐA« É¾ . éJK Qk. HA®J Ó H@ X éJÊ A ®JË@

øYg Qå éËAg úÍ@ A KQå

@ AÒ» , àAÓñJ Kð éJÊ¾KQKX AÒë á ®ÊJ m× á£Qå Im' ½Ë Xð éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@ A Jm.Ì'A«

.

^FreeFem++

l .×A KQK. AîDÊ« YÖ ÞªK ú æË@ éJîD JÖÏ@ QåA JªË@ é®KQ¢. ú GAJË@ É ®Ë@ A JÖÞ kð .¡ÊJ m×

1

(5)

FreeFem++

l .×A KQK. ÈAÔªJAK. éJ¯A K éËAÖÏ éKXYªË@ ÈñÊmÌ'@ éÓY®Ó . AëQ «ð é®Êg , èQK@X ,©K.QÓ HAgA èY« ú ¯ ½Ë Xð , é ®ÊJ m× éÊJÓ@ ém.Ì'AªÖÏ èA J j. ¯ IËAJË@ É ®Ë@ AÓ

FreeFem++ الحلول العددية لمسألة ناقصة بإستعمال برنامج

ùÒÊªË@ ImF.Ë@ð úÍAªË@ ÕæÊª JË@ èP@ Pð

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏ@

QK@ Qm.Ì'@

- éÖßY®Ë@ éJ.®Ë@ -

HAJ AKQË@ Õæ¯

éJ¯A K éË

AÖÏ éKXYªË@ ÈñÊmÌ'@

FreeFem++ l .×A KQK. ÈAÔª JAK.

øñ KAJË@ ÕæÊªJË@ XAJ

@ èXAîD ÉJ JË h.Q m' èQ¿ YÓ : XAJ

B@ ¬@Qå @ Im' : X@Y«@

QK QªË@ YJ.« øQKñ 

YJkð ¬A¢¯

: é ¯A JÖÏ@ é Jm.Ì ¬Q£ áÓ

ÐñK I ¯ñ K A KP

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

@

ámÌ'@ P@ Q«ð -

A ¯QåÓ

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

@

QK QªË@ YJ.« øQKñ  - A ¯A JÓ

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

@

PAÒ« èXñÔg YËð -

Qê ®Ë@

éÓY®Ó

l .×A KQK. Õç'Y ®K

l .×A KQ.Ë@ Õç'Y ®K

l .×A KQ.Ë@ á« éJ m'PAK è YJ. K

IJ.JË@

ÉJ ª Ë@ éJ ®J»

ú ¯ ém.×Q.Ë@ é ªË

HAJ¢ªÖÏ@ ¨@ñ K

@

éJKQË@ ¨@ñ K

B@ éÖ ßA¯

éÊÓA Ë@ H@Q ªJÖÏ@

H.AmÌ'@

Yg@ð Q ªJÓ H@ X ©K.@ñJË@

áKQ ªJÓ H@ X ©K.@ñJË@

Èð@Ym.Ì'@

h.@Q kB@ ð ÈA gXB@

HA KAJJ.Ë@ Q«

½J. Ë@ ¨@ñ K

@

éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

¬BñK.ñ ZA  ¯

¬BñK.ñ H@ZA  ¯

HQ.Êë H@ZA  ¯ Èñk Q» YK

éJK Qk. HA®J Ó H@ X éJÊ A ®JË@ HBXAªÖÏ@

éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

èXQm.ÙÛ@ éKQKA ªJË@ éË

AÖÏ@

éJ.KQË@ áÓ éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

éJ.KQ®JË@ éË

AÖÏ@

YªJ.Ë@ ú ¯ éJîD JÖÏ@ QåA JªË@

YªJ.Ë@ ú ¯ éJîD JÖÏ@ QåA JªË@

HA KAJJ.Ë@

ÉKAÖÏ@ ªJ.Ë éKXYªË@ ÈñÊmÌ'@

ÈAJÓ

ÈAJÓ

ÈAJÓ

éÖßA g

©k.@QÖÏ@

éÓY®Ó

­ð ú ¯ éJA

@ è@X

A¿ ,

Qå« áÓAJË@ àQ®Ë@ ú ¯ éJK Qk. HA®J Ó H@ X éJÊ A ®JË@ HBXAªÖÏ@ HQê £ Y®Ë , ùªK.A JË@ ÉJÊmFË@ð ú æ AKQË@ ÉJÊmFË@ ú ¯ éJA

B@ H@ðX

B@ QKñ¢ ú ¯ IÒëA AÒ» ,Që@ñ ¢Ë@ áÓ YKYªË@

éJKPñ ¯ ÉJÊm'ð éJÊ A ®JË@ éY JìÛ@ Iª ð AëPðYK. ú æË@ð ¬BñK.ñ ÈAÔ«

@ Ym. ' H@ðX

B@ è Yë áÖÞ  áÓð ú æË@ð , HAªK PñJË@ ú ¯ èQîDË@ éJKQ ¢ JK. QKP@ñ  ÑëA AÒ» , éJ®JJ.¢JË@ HAJ AKQË@ð øXYªË@ ÉJÊmFË@ úÍ@

. HAªK PñJË@ éKQ ¢ Pñê £ ÉJ.¯ éÒîD.Ó I KA¿ ú æË@ HAJÊÔªË@ áÓ YKYªË@ HPQK.

QJºË@ ú ¯ ,AîDm.Ì'AªÖÏ Q£ èY« Pñê £ úÍ@ AìÛñÊg á« ImF.Ë@ð HBXAªÖÏ@ áÓ ¨ñ JË@ @ YîE. ÐAÖÞëB@ øX

@ éËAÖÏ@ áÓ ÈñmFÊË Aª ¯@X I KA¿ HAK.ñªË@ è Yë , éË

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏ@

HAJ AKQË@ Õæ¯

éJ¯A K éË

AÖÏ éKXYªË@ ÈñÊmÌ'@

FreeFem++ l .×A KQK. ÈAÔª JAK.

øñ KAJË@ ÕæÊªJË@ XAJ

@ èXAîD ÉJ JË h.Q m' èQ¿ YÓ : XAJ

B@ ¬@Qå@ Im' : X@Y«@

QK QªË@ YJ.« øQKñ

: é ¯A JÖÏ@ é Jm.Ì ¬Q£ áÓ

ÐñK I ¯ñ K A KP

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

ámÌ'@ P@ Q«ð -

A ¯QåÓ

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

QK QªË@ YJ.« øQKñ - A ¯A JÓ

è YKACË AJÊªË@ éPYÖÏAK. XAJ

Qê ®Ë@

ÉJ ª Ë@ éJ ®J»

éJKQË@ ¨@ñ K

éÊÓA Ë@ H@Q ªJÖÏ@

H.AmÌ'@

HA KAJJ.Ë@ Q«

½J. Ë@ ¨@ñ K

éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

¬BñK.ñ ZA ¯

¬BñK.ñ H@ZA ¯

HQ.Êë H@ZA ¯ Èñk Q» YK

éJK Qk. HA®J Ó H@ X éJÊ A ®JË@ HBXAªÖÏ@

éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

AÖÏ@

éJ.KQË@ áÓ éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@

AÖÏ@

YªJ.Ë@ ú ¯ éJîD JÖÏ@ QåA JªË@

YªJ.Ë@ ú ¯ éJîD JÖÏ@ QåA JªË@

ÉKAÖÏ@ ªJ.Ë éKXYªË@ ÈñÊmÌ'@

ð ú ¯ éJA

Qå« áÓAJË@ àQ®Ë@ ú ¯ éJK Qk. HA®J Ó H@ X éJÊ A ®JË@ HBXAªÖÏ@ HQê £ Y®Ë , ùªK.A JË@ ÉJÊmFË@ð ú æ AKQË@ ÉJÊmFË@ ú ¯ éJA

B@ QKñ¢ ú ¯ IÒëA AÒ» ,Që@ñ ¢Ë@ áÓ YKYªË@

éJKPñ ¯ ÉJÊm'ð éJÊ A ®JË@ éY JìÛ@ Iª ð AëPðYK. ú æË@ð ¬BñK.ñ ÈAÔ«

B@ è Yë áÖÞ áÓð ú æË@ð , HAªK PñJË@ ú ¯ èQîDË@ éJKQ ¢ JK. QKP@ñ ÑëA AÒ» , éJ®JJ.¢JË@ HAJ AKQË@ð øXYªË@ ÉJÊmFË@ úÍ@

QJºË@ ú ¯ ,AîDm.Ì'AªÖÏ Q£ èY« Pñê £ úÍ@ AìÛñÊg á« ImF.Ë@ð HBXAªÖÏ@ áÓ ¨ñ JË@ @ YîE. ÐAÖÞëB@ øX

@ éËAÖÏ@ áÓ ÈñmFÊË Aª ¯@X I KA¿ HAK.ñªË@ è Yë , éË

AÒÊË J¯YË@ ÉmÌ'@ úÎ« ÈñmÌ'@ I.ª àAJk B@ áÓ . I.KQ ®JË@ ú ¯ I.ºKQÖÏ@

A¢ mÌ'@ Qåkð øXYªË@ ÉmÌ'@ á« ImF.Ë@ Q£ð , éJ.KQ®JË@ éË

AÖÏ@ úÍ@ é®J¯YË@

è Yë áÓ , ÉmÌ'@ úÎ« ÈñmÌ'@ éJÊÔ« ÉîD l .×@QK. èY« HQê £ ,ø XYªË@ Ém Ì'@ úÎ« ÈñmÌ'@ PA£@ ú ¯ ÉmÌ'@ úÎ« ÈñmÌ'@ éJ ®J» A JËðA JK è Yë A JKQ¿ YÓ ú ¯ð ,

l .×A KQK. ÈAÔªJAK. éJ¯A K éËAÖÏ ø XYªË@

: Èñ ¯ HCK úÍ@ A JÊÔ« A JÖÞ ¯ Y¯ð , l .×A KQ.Ë@ á« éJ m'PAK è YJ. K Õç' ,éA k Ñë

B@ É ®Ë@ Q k

@ ú ¯ ÉJ ®JËAK. A J¯Q¢ AëYªK.ð ,éÊJ ª ð éJJ.K éJ ®J»

¿ X , ÉKAÖÏ@ è Yë Õç'Y ®K ú ¯ ñ mÌ'@ ÉJ.¯ , éJ¯A JË@ éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@ A JËðA JK ,ú GAJË@ É ®Ë@ ú ¯ HBXAªÖÏ@ ¨@ñ K@ A JK. Õç' . HQ.Êë H@ZA ¯ð ¬BñK.ñ H@ZA ®» , éÊÔªJÖÏ@ éJ AKQË@ ÕæëA ®ÖÏ@ð H@ðX

, A JKQ¿ YÓ ¨ñ ñÓ ùë ú æË@ éJ¯A JË@ ÉKAÖÏ@ Õç'Y®K ÉJ.¯ ½Ë Xð ,ÐA« É¾ . éJK Qk. HA®J Ó H@ X éJÊ A ®JË@

@ AÒ» , àAÓñJ Kð éJÊ¾KQKX AÒë á ®ÊJ m× á£Qå Im' ½Ë Xð éKYmÌ'@ ÉKAÖÏ@ A Jm.Ì'A«

l .×A KQK. AîDÊ« YÖ ÞªK ú æË@ éJîD JÖÏ@ QåA JªË@ é®KQ¢. ú GAJË@ É ®Ë@ A JÖÞ kð .¡ÊJ m×

l .×A KQK. ÈAÔªJAK. éJ¯A K éËAÖÏ éKXYªË@ ÈñÊmÌ'@ éÓY®Ó . AëQ «ð é®Êg , èQK@X ,©K.QÓ HAgA èY« ú ¯ ½Ë Xð , é ®ÊJ m× éÊJÓ@ ém.Ì'AªÖÏ èA J j. ¯ IËAJË@ É ®Ë@ AÓ

@ éJ KAJJ.Ë@ ÈñÊmÌ'@ A J Q«ð l.×A KQ.Ë@ A JkQåð , éË

AÓ É¾Ë ¯@ñÖÏ@

AÒÊË