N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
B RIOSCHI
Solution de la question 350 (Wronski)
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 16 (1857), p. 248-249
<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1857_1_16__248_0>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1857, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
SOLUTION DE LA QUESTION 3 5 0 (WRONSKI)
(Yoir t XV , p. 407) ;
PAR M. BRIOSCHI ( * ) , Professeur à l'université de Pavie.
Étant donnée une fonction homogène complète de degré r entre n variables, racines d'une équation de de- gré n également donnée, les coefficients numériques de la fonction étant tous égaux à l'unité, trouver la valeur de la fonction exprimée en fonction des coefficients de l'équation.
Soient Xi, x2, . . . , xn les racines de l'équation a0xn H- a{ xll~l + . . . - f on = o.
La fonction homogène qui a les propriétés énoncées sera évidemment le coefficient de zr dans le développe- ment suivant les puissances ascendantes de z de l'expres- sion
i j X Z) \1 X Z) ( I
Or, en posant
- 7 - v = J H- A,z-f- A , ; o n a
<p'(z) A, -H 2 A2z •
cp (z) i + A , z + A2z2 - h . . . '
mais
_ y' (A-) _ j?, .r2 < ^
(*) L'illustre analyste est disciple et successeur de M. Bordoni, autear de plusieurs ouvrages très-estimes en Italie et nullement connus au d e - hors de cotte contrée toujours féconde en hommes de talent et digne de meilleures destinées Twk
et
= ï
en conséquence on aura
(•)
où
szz2+. . . = • A, -f- 2 A2Z H - .
L'équation (ï) nous donne les suivantes : A, = st,
a A2= ^ + A, *,,
O A3 £3 -f" A j S-i -f" A j S{ y
rkr = jr + A, sr_x -h A3 sr-2 + . . . 4- Ar_, st, lesquelles multipliées par ar^x, ar_2,..., a0 donnent, en les sommant,
d'où
r a9 Ar - 4 - ( r — 1) d , A , . _ , 4 - . . . - H A , « , .
= — (fl, Àr_,) H- 2fl2 Ar_2 -J-. • . 4 - ^ r
«o Ar 4 - ax Ar_ , 4 - . . . -h « r - i A , -•- ar = o .
On en déduit
a{ a0 o o (ii a{ a0 o
(*) Nous engageons les élevés à faire n = 2 ; tout devient intuitif, et Ta belle démonstration du célèbre analyste subsiste pour n quelconque*
TM.
