Solution d'une question de géométrie donnée au concours général en 1887

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

F. F ^ARJON

Solution d’une question de géométrie donnée au concours général en 1887

Nouvelles annales de mathématiques 3

série, tome 11

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SOLUTION D Ï M QL'ESTIOX DE («EOUETR1E DOiMVÊE Al COXCOIRS GÉNÉRAL EK 1 8 8 7 ;

Put M. F. FVRJON.

Il s'agit de trouver Ja condition à laquelle doivent satisfaite deux coniques F et ƒ pour qu'un quadrilatère puisse être à la fois circonscrit a la première et inscrit dans la seconde.

Nous nous servirons des notations de \ 1 . Salmon.

Supposons la condition réalisée et soient L, M, N les diagonales du quadrilatère, les quatre côtés seront L ± M ± N . L'équation générale des coniques inscrites est

<j> = ^lj— fx( L*H- AP— N * ) H - M * = o ( i )

et celle des coniques circonscrites

? = (L -+- M -+- X) ( L H- M—M )

— v ( L — M - h ÎN ) ( L — iM — IN ) = o .

Si ces deux équations comprennent les deux coui bes F iilf, rapportées au triangle de référence LMJV, en égalant à zéro les deux discriminants de f—W et de o — )^I>, on obtiendra deux équations en X qui devront avoir Jes mêmes racines.

Soient Af, A'n O1? B^ Jes invariants du système <!>», A, A^;, 6 , Q^f ceux du système F / , on a

SALMON, trad. \AUCHEKET, Sect. con., % 287.

( 536 par ( onséqueiit

ft' ( 'X — i ) - ( v — i )'- — 1 u%

et en éliminant entre ces trois relations les paramètres 'X et v, on aura la condition cherchée.

On lire de la première

'X { v — I ) A

V H " "'

de la troisième

substituant dans la seconde, on trou\e finalement

< •) ) jAen' = e:i-+- 8 A2A ' .

Cette condition est évidemment nécessaire, puisque, si elle n'était pas remplie, les trois relations (i) seraient incompatibles. Je dis de plus qu'elle est suffisant!*.

D'un point \ pris sur f menons les deux tangentes à F , lesquelles rencontrent ƒ aux points B et C. De ces points menons deux nom elles tangentes à F , lesquelles se coupent en I); il faut prouver que, si la condition (2) est remplie, le point 1) est aussi sur/".

Rapportons F et ƒ au triangle de référence LMX formé par les diagonales du quadrilatère ABCD, F prendra la forme <I> et, pour identifier ƒ et <p, on aura cinq condi- tions, qui se réduisent à deux, les deux courbes ayant déjà les trois points A, B, C communs. L'équation (2) qui existe, par hypothèse, pour les deux systèmes $>f

<!>ƒ permet de satisfaire à une quatrième condition. La cinquième déterminera la valeur de v. c. Q. F. D.

( 53- )

Remarquons que le point A est un point quelconque de ƒ, d'où il suit que, lorsque la condition (2) est rem- plie, il existe une infinité de quadrilatères circonscrits à F et inscrits à j . Poncelet a depuis longtemps établi ri»tte propriété pour un polygone quelconque.

Application. — L'ellipse

7 t le cercle

ƒ = (x — c)2 + tv2— -x(a*+ e*)= o (M.

On a

A = — a'+b'+. A' = — ^ ( «2- + - e'2),

S =— \a'+l/\ e' = — w2^2- 4 «'•

el la condition ( 2 ) est vérifiée*.