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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Nouvelle Calédonie, 2004
Sujet
On considère la fonction f définie sur IR, par f(x) = x
ex - x .On note Cf sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (O ; i→ ; j→), (unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées) Partie A.
Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = ex − x − 1.
1. Etudier les variations de la fonction g sur IR. En déduire le signe de g(x).
2. Montrer que, pour tout x, (ex − x) est strictement positif.
Partie B.
1. a. Calculer les limites de la fonction f en −∞ et +∞.
b. Interpréter graphiquement les résultats précédents.
2. a. Calculer f’(x), f’ désignant la fonction dérivée de f.
b. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse 0.
b. A l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe Cf par rapport à la droite (T).
4. Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe Cf.
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x ex - x .
On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (O ; i→ ; j→) d’unité 2 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées.
Partie A Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = ex − x − 1.
1. Etudions les variations de g sur IR.
g est dérivable sur IR comme somme de fonctions dérivables sur IR.
g’(x) = ex − 1
g’(x) ≥ 0 ⇔ ex − 1 ≥ 0 ⇔ ex ≥ 1 ⇔ x ≥ 0 donc sur ]−∞ ; 0[, g’(x) < 0 donc g est décroissante sur ]0 ; +∞[, g’(x) > 0 donc g est croissante et donc g(0) = 0 est le minimum de g Puisque 0 est le minimum de g sur IR, ∀ x ∈ IR, g(x) ≥ 0
2. Justifions que pour tout x, (ex − x) est strictement positif.
On vient de voir que ∀ x ∈ IR, g(x) ≥ 0 c’est à dire ex − x − 1 ≥ 0. On en déduit que ex − x (≥ 1) > 0.
Partie B 1. Sur IR, f(x) = x
ex - x
1a. Calculons les limites de f en +∞ et en −∞.
Quand x → −∞ : ex → 0 donc ex − x → +∞ et alors : f(x) prend la forme indéterminée « ∞/∞ » Mais f(x) = x
x(ex/x - 1) = 1
ex/x - 1 et comme ex/x → 0 on a ex/x − 1 → −1 d’où limx→-∞ f(x) = −1.
Quand x → +∞ : ex → +∞ donc ex − x prend la forme indéterminée « ∞/∞ » Or f(x) = 1
ex/x - 1 et puisque ex/x → +∞ on a ex/x − 1 → +∞ d’où limx→+∞ f(x) = 0.
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1b. On déduit des limites précédentes que : la droite d’équation y = −1 et l’axe des abscisses sont asymptotes à C, respectivement en −∞ et +∞ .
2a. Calculons la dérivée f ’ de f.
f est dérivable sur IR comme quotient de fonctions dérivables sur IR.
f ’(x) = (x)'(ex - x) - x(ex - x)'
(ex - x)² = ex - x - x(ex - 1)
(ex - x)² = ex(1 - x) (ex - x)²
2b. Etudions le sens de variation de f et dressons son tableau de variation.
On a f ’(x) = ex(1 - x)
(ex - x)² . Or, sur IR, ex > 0 et (ex − 1)² > 0 donc f ‘(x) est du signe de 1 − x.
Par conséquent sur ]−∞ ; 1[, f ’(x) > 0 donc f est croissante sur ]1 ; +∞[, f ’(x) < 0 donc f est décroissante f(1) = 1/(e−1) est le maximum de f(x)
3a. La tangente (T) à C au point d’abscisse 0 a pour équation : y = f ’(0)(x − 0) + f(0).
Comme f’(0) = 1 et f(0) = 0, (T) a pour équation y = x.
3b. La position de C par rapport à (T) est donnée par le signe de f(x) − x.
Or f(x) − x = x
ex - x − x = x - x(ex - x)
ex - x = x(x + 1 - ex)
ex - x = - x g(x) ex - x
On a vu dans la partie A que g(x) ≥ 0 et que ex − x > 0 donc f(x) − x est du signe de −x On sait alors que : sur ]−∞ ; 0[, f(x) − x >0 donc C est au dessus de (T)
sur ]0 ; +∞[, f(x) − x < 0 donc C est en dessous de (T).
et pour x = 0, f(x) − x = 0 on retrouve le point O(0 ; 0) de tangence.
4. Tracé de la droite (T), des asymptotes et de la courbe C.
x −∞ 1 +∞
f ’(x) + 0 − f (x)
−1 1/(e−1) 0
