Bac, Nouvelle Calédonie, 2004 - Corrigé

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html

Baccalauréat STT ACC - ACA Nouvelle--Calédonie Novembre 2004 -

^CORRIGE

Exercice 1

1) a) D'après l'énoncé, 80% des clients ont bénéficié des conseils d'un vendeur.

Cela représente 80% 5000 4000× = personnes.

b) Parmi les clients ayant bénéficié des conseils d'un vendeur (ils sont 4000), 70% ont effectué un achat.

Soit 70% 4000 2800× = des personnes conseillées ont acheté.

c) Vu que 20% seulement des clients qui n'ont pas bénéficié des conseils d'un vendeur ont effectué un achat, il y a 20% 1000 200× = personnes des gens non conseillés qui ont effectué un achat.

On en déduit le tableau suivant :

2) On considère les évènements suivants :

A : « le client a bénéficié des conseils d'un vendeur », B : « le client a effectué un achat ».

a) → 4000 personnes ont été conseillées parmi 5000 au total. Par conséquent

( )

⁴⁰⁰⁰₅₀₀₀ ⁴₅

(

^80%

)

p A = = = (prévisible, vu les données de l’énoncé).

→ 3000 personnes ont effectué un achat parmi 5000 au total. Par conséquent

( )

^{3000 3}_{5000 5}

(

^60%

)

p B = = = (prévisible, vu les données de l’énoncé).

b) → L’évènement A B représente l’évènement « le client a bénéficié des conseils d’un vendeur et il a acheté ».

→ L’évènement A B représente l’évènement « le client a bénéficié des conseils d’un vendeur ou il a acheté ».

c) → Pour calculer la probabilité ^{p A B}

( )

, on doit regarder dans le tableau combien de clients ont bénéficié des conseils et ont acheté :

Il y en a 2800 parmi les 5000 clients, donc^{p A B}

( )

⁼ ²⁸⁰⁰₅₀₀₀ ⁼ ²⁸₅₀

(

⁼^56%

)

^.

Ont effectué un achat N’ont pas effectué d’achat Total

Ont été conseillés 2800 1200 4000

N’ont pas été conseillés 200 800 1000

Total 3000 2000 5000

(2)

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→ Pour calculer la probabilité^{p A B}

( )

, on utilise la formule ^{p A B}

( )

⁼ ^{p A}^{( )}⁺ ^{p B}^{( )}⁻ ^{p A B}⁽ ⁾^.

On a

( )

4000 3000 2800 4200 84%

5000 5000 5000 5000

p A B = + − = = .

3) On interroge au hasard un des clients qui a effectué un achat et on admet qu'il y a équiprobabilité.

On ne considère ici que les clients qui ont effectué un achat : il y en a 3000.

Total 3000 2000 5000

Parmi ces 3000, 2800 ont été conseillés.

Parmi les clients qui ont effectué un achat, la probabilité qu'il ait bénéficié des conseils d'un vendeur est donc de ^{2800 14} 93,3%

3000 15= ≈ .

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Problème

On note ^x le nombre de tables fabriquées chaque semaine, x étant an nombre entier compris entre 3 et 12.

Le coût total de production de ces x tables, exprimé en centaine d'euros, est donné par : C_T 0, 25x² x 20, 25.

Partie A : Étude de fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 3 ; 12 par : f x( ) 0.25= x² + +x 20.25. 1) → Les règles de dérivation donnent f x'( ) 0,5= x+1.

→ METHODE : Pour montrer que f est croissante sur [3 ;12], on doit montrer que sa dérivée f ‘ est positive sur [3 ;12].

Inutile de faire un tableau de signe ici : comme x est supérieur à 3, 0,5x≥0 et f x'( ) 0,5= x+ ≥1 0 comme somme de deux nombres positifs.

Ainsi, sur [3 ;12], f x'( ) 0≥ donc f est croissante sur l’intervalle.

2) A l’aide de a calculatrice, on complète le tableau suivant :

Par exemple : f^{(3) 0.25 3}= ×

( )

² + +3 20.25 25.5= .

3) Pour tracer la représentation graphique C de la fonction f (respecter les consignes d’unités – je l’ai pas fait sur ce

graphique), on place les points de la courbe à l’aide du tableau de valeurs précédent, et on les relie de manière régulière (mais pas suivant des segments de droite).

Partie B : Recherche d'un prix de vente

Toutes les tables fabriquées sont vendues et l'entreprise doit fixer le prix de son produit.

On note R(x) la recette, en centaine d'euros, occasionnée par la vente de x tables.

1) Une table est vendue 550 euros par table.

x 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x) 25.5 28.25 31.5 35.25 39.5 44.25 49.5 55.25 61.5 68.25

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

0 1

5

x y

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a) PIEGE SUR LES UNITES (fréquent) : attention, la recette est exprimée en centaines d’Euros, pas en Euros.

Comme 550€ 5,5= centaines d’euros, R(10) 5,5 10 55= × = .

b) La vente de x tables assurera une recette R x( ) 5,5= x (centaines d’Euros).

c) À l'aide de la question 2 de la partie A, expliquons pourquoi ce prix de vente ne peut pas convenir sur le plan commercial.

La fonction recette est croissante (fonction affine avec coefficient directeur positif) : la fonction coût l’est aussi (voir Q.A.1) : or pour 10 chaises vendues, la recette (5500€) est inférieur au coût (5525€).

Donc pour moins de 10 vendues, l’entreprise est forcément déficitaire.

Or nous avons :

Nous constatons, qu’à ce prix de vente, l’entreprise est déficitaire quelque soit sa production.

2) La seconde proposition est un prix unitaire de 630 euros, soit 6.3 centaines d’euros.

a) Dans ce cas, R x( ) 6.3= x.

b) Pour tracer la droite d'équation : y=6.3x, deux points suffisent.

→La droite passe par l’origine puisque pour x = 0, y = 0.

→ La droite passe par A(10 ;63) puisque pour x = 10, y = 63.

c) → METHODE : Pour résoudre graphiquement l’inéquation R x( )>C x( ), on détermine les x pour lesquels la courbe recette est au dessus de la courbe coût.

On constate graphiquement, que la courbe recette est au dessus de la courbe coût pour plus de 5 tables vendues.

Cela signifie que l’entreprise est rentable pour une fabrication comprise entre 5 et 12 tables.

X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x) 25.5 28.25 31.5 35.25 39.5 44.25 49.5 55.25 61.5 68.25 R(x) × × × × × × × 55 60.5 66

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

0 1

5

x y

(5)

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3) Dans cette question, nous allons tenter de vérifier par le calcul l’observation faite en Q.B.2c.

a) Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût :

(

²

)

²

( ) ( ) ( ) 6.3 0.25 20.25 0.25 5.3 20.25

B x =R x −C x = x− x + +x = − x + x− .

b) →Par conséquent, B x'( )= −0.5x+5.3.

→ METHODE : Pour connaître les variations de B, il faut déterminer le signe de B’.

'( ) 0 0.5 5.3 0 5.3 10.6

B x = ⇔ − x+ = ⇔ =x 0.5 = . On nous demande le tableau de variation sur [5 ; 12] :

c) La valeur de x procurant un bénéfice maximum est x = 10.6.

Comme cela correspond à un nombre de chaises, nous avons le choix entre x = 10 et x = 11.

Or B(10) 7,75= et B(11) 7,8= : le bénéfice maximum est donc assuré par la vente de 11 chaises : il sera de 780€.

x 5 10.6 12 B ’(x) + 0 - B (x)

0

7.84

7.35