STH1, Algèbre générale décembre 2018
Contrôle 3
Calculatrice et documents sont interdits.
Tous les résultats doivent être correctement rédigés et rigoureusement justiés.
Durée de l'épreuve : 1h20.
Le barème est donné à titre indicatif : 4 - 6 - 10.
Exercice : racines cubiques
Soit ω= 2 + 11i ∈C. On souhaite déterminer les racines cubiques de ω dans C. 1. Donner la forme polaire de ω. Commenter.
2. Calculer (2 + i)3.
3. En déduire des expressions calculables des trois racines cubiques de ω et les représenter dans le plan complexe.
Problème : mécanisme de Peaucellier
1. Préliminaires : géométrie complexe et trigonométrie
(a) Soit θ ∈[0, π]. Représenter dans le plan le point d'axe z = 1 + eiθ.
(b) Déterminer l'écriture polaire de z. On pourra commencer par trouver son argument.
(c) Déterminer l'écriture algébrique de z0 = 5/z.
(d) En utilisant les variations de la fonction cosinus, déterminer l'ensemble E ={θ ∈[0, π]| cos(θ2)> 12}.
(e) Représenter l'ensemble F ={1 + eiθ ; θ∈E}.
(f) Déterminer l'ensemble G={tan(θ2) ; θ ∈E} (oùtan désigne la fonction tangente).
2. Le mécanisme de Peaucellier
Le mécanisme de Peaucellier est un système mécanique constitué de tiges rigides liées entre elles et dont le but est de transformer un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne.
Décrivons et modélisons son fonctionnement à l'aide des deux gures représentant le système dans deux positions diérentes :
Les points O et O0 sont xes d'axes 0et 1.
Le point M est en rotation autour du point O0. Le reste du système se déplace avec M. Notre objectif est de décrire la position du point N en fonction de celle de M. Les longueurs des tiges sont données par
OO0 =O0M = 1 OA=OB = 3 M A=AN =N B =BM = 2.
Le seul paramètre libre du système est l'angle θ formé par (O0M) et l'axe des abs- cisses.
On note I le centre du losangeM AN B.
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O O0 M A N
B
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O O0 M
N A
B θ
I
Pour chaque point X du problème, on notera zX son axe dans le plan complexe.
Remarque : certains calculs ont été faits dans les préliminaires, il est inutile de les refaire !
(a) Donner l'axe de M et justier que OM = 2 cos(θ2).
(b) Montrer, à l'aide d'arguments géométriques, que les points O, M etN sont alignés.
(c) En déduire l'argument de zN.
(d) On admet l'égalité d'Al-Kashi :
Dans un triangle dont les côtés ont pour longueurs a, b et c, avec un angle α opposé au côté de longueur a, on a
cos(α) = b2+c2−a2
2bc . α
b
c a
Notons α l'angle M OA\. Montrer que cos(α) = 5 + 4 cos2(θ2) 12 cos(θ2) .
(e) En déduire le module |zI| en utilisant une projection orthogonale du point A sur la droite (OM).
(f) En déduire le module |zI−zM|, puis |zN|.
(g) Conclure que zN = 5
2 cos(θ2)eiθ/2 et que N est situé sur une certaine droite verticale que l'on précisera.
Terminons en précisant le lieu exact des points N obtenus lorsqu'on met en mouve- ment le mécanisme.
Il n'est pas possible de faire tourner le point M autant qu'on le souhaite. On est contraint par l'inégalité triangulaire dans le triangle OAM : OA6OM +M A. (h) À l'aide des préliminaires, déterminer l'ensemble des angles θ ∈ [0, π] pour lesquels
OA6OM +M A.
(i) Déterminer les parties imaginaires des pointsN correspondant à ces valeurs de θ et en déduire le lieu des points N lorsqu'on fait tourner le mécanisme.
