v uxyxy :(,)2 ֏ −− DB ⊂ (0,0),2 x

Jeudi 19 décembre 2013.

Durée : 1 h 30.

Correction du test n° 2 – Groupe 19 –

Soit

f

la fonction à deux variables

x

et

y

définie sur

g

par :

2

( , ) e

x y

f x y

xy

− − −

=

.

Partie A 1) a)

y

o 1 2

0.5 1 1.5 2

b) * On a :

D

f

= { ^{( , )} x y ∈ ℝ

²

^/ x > ⁰ } { ∩ ^{( , )} x y ∈ ℝ

²

^/ y > ⁰ } { ∩ ^{( , )} x y ∈ ℝ

²

^/ y < − + x ² }

_.

Donc,

D

_fest convexe en tant qu’intersection de trois demi-plans.

* On a :

D

_f

⊂ B ( (0, 0), 2 )

. Donc

D

_fest borné.

2) On a

( )

2

1 1

( , ) ln ( , ) ln 2 ln( ) ln( )

2 2

e

x y

g x y f x y x y x y

xy

− − −

 

= =     = − − − − −

 

^.

* L’application

v : ( , ) x y ֏ 2 − − x y

étant affine et la fonction racine étant concave, l’application

1

: ( , ) 2

u x y ֏ − − x y

, est concave.

* La fonction

ln

est concave. Donc, d’après le lemme d’extension les applications

2

: ( , ) ln( ) u x y ֏ x

_et

3

: ( , ) ln( )

u x y ֏ y

sont concaves.

* Comme ₁

1

₂

1

₃

2 2

g = − u − u − u

, on en déduit que

g

est convexe.

3) a) * En tant qu’application affine,

v ∈ C

²

( ) D

f . De plus,

v

est à valeurs dans

ℝ

^*₊et la fonction racine est de classe

C

²sur

ℝ

^*₊. Par composée d’applications de classe

C

², on en déduit

que

u

1

∈ C

²

( ) D

f .

* De même, les fonctions affines

( , ) x y ֏ x

_et

( , ) x y ֏ y

sont de classe

C

²sur

D

_fet à valeurs dans

ℝ

^*₊. Comme la fonction

ln

est de classe

C

²sur

ℝ

^*₊, les applications

u

₂et

u

₃sont de classe

C

2sur

D

_fen tant que composées de fonctions de classe

C

².

* Finalement, en tant que somme de fonctions de classe

C

²sur

D

_f,

g

est de classe

C

²sur

D

_f.

b)

1 1

( , ) 2 2 2 g x y

x x y x

∂ = −

∂ − −

^;

1 1

( , ) 2 2 2 g x y

y x y y

∂ = −

∂ − −

^.

Jeudi 19 décembre 2013.

Durée : 1 h 30.

c) Soit

( , ) x y

est un point critique de

g

. On a donc :

( , ) (0, 0) g x y

∇ =

1 1

2 0 2 2

1 1

2 0 2 2

x y x x y y

 − =

 − −

⇒  

 − =

 − −



1 1

2

1 1

2 x y x x y y

 =

 − −

⇒  

 =

 − −

 2

2

x x y

y x y

 = − −

⇒  

= − −



d) On en déduit que si

( , ) x y

est un point critique de

g

, alors

x = y

et remplaçant dans

l’équation

x = 2 − − x y

, on obtient

x = 2 2 − x

. Comme

2 2 − x > 0

, il vient

x

²

= − 2 2 x

, ou encore

x

²

+ 2 x − = 2 0

.

Cette équation possède deux solutions :

− − 1 3

et

− + 1 3

. Comme

x > 0

,

g

possède un unique point critique, à savoir

( ^{− + 1 3, 1 − + 3} )

^.

4) * D’après 2),

g = ln( ) f

est convexe. On en déduit que

f

est convexe.

* D’après 3),

g

possède un point critique. Comme

g = ln( ) f

et que la fonction

ln

est continue et strictement croissante,

f

possède un point critique. Etant convexe,

f

possède un minimum global.

Partie B

5) * Nous avons

1

²

( , )

( , )

w x y xye

x y

f x y

= =

− − .

*

2

2 2

( , )

2 2

2 2 2

x y

x y x y

y xy

w y xy e

x y e e

x x x y x x y

− −

− − − −

 

∂ ∂ = − − − =    − − −   

^.

*

w x y ( , ) = w y x ( , )

. Donc,

2

( , ) ( , )

2 2

w w x xy e

x y

x y y x

y x y x y

 

− −

∂ ∂

= =   −  

∂ ∂  − − 

^.

6) a) *

2 1 1 2 2 1

1 1 1

( ) 2 2 4 2

w A = × e

^{− −}

= e = e

.

*

2 1 1 2 2 1

1 1

1 1

2 4

( ) 1 1

1 2 1 1 2 4 2 2 2 4

2 2 2

w e e e e

x A

− −

 

   

∂ ∂ =    − − −    =    −    =    −    =

 

.

* _{2 2 2 2}

( ) 4 4 1

( ) ( )

2 4

w e e

f A x A e

e

x w A e e e

− ∂ − −

∂ = ∂ = = = − = −

∂  

   

.

Jeudi 19 décembre 2013.

Durée : 1 h 30.

b) * _/

( ) 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

( ) 2 2 2 2 4

f x

f A

f e

e A x A w A

f A x e

∂

∂ ∂

= × = × × = − × × = −

∂

^.

* Comme

f x y ( , ) = f y x ( , )

, on a

f ( , ) f ( , )

x y y x

y x

∂ ∂

∂ = ∂

et en particulier

1 1

, ( )

2 2

f f

y x A

∂   ∂

  =

∂   ∂

^.

Donc, _{/ /}

1

( ) ( )

f y f x

4

e A = e A = −

.

c) Une approximation de l’accroissement relatif de

f

au voisinage de

A

lorsque

x

décroît de 6 % et

y

croît de 4 %est donnée par _{/ /}

1 1

( ) ( 6) ( ) 4 ( 6) 4 1,5 1 0,5%

4 4

f x f y

e A × − + e A × = − × − − × = − =

.

7) a)

2 1 1

1

1 1

( ) ( ,1)

1 ( )

x x

x

e e

h x f x

x x xe u x

− − − − −

= = = =

−

=

×

^avec

( )

1 ^x

u x = xe

⁻ .

b) *

1

^{1 1}

1

¹

( ) 2 2 1 2 2 1

x

x

x

x

x

u x e e e

x x x x

− −

 

−

′ = − − =    − −   

^.

* ₂

( )

( ) ( ) h x u x

u x

− ′

′ =

. Donc,

h x ′ ( ) = 0 ⇔ u x ′ ( ) = 0

1

1

2 2 1 0 x

x

x x e

 

−

⇔    − −    =

1 1

x

x x

⇔ =

− 1

x x

⇔ = −

2

1 0

x x

⇔ + − =

*

^{1 5} ] [ ^0,1

2

− + ∈

est une solution de cette équation, et donc

h

possède un point critique.

* Comme

f

est convexe (cf 4)), sa surface représentative est au-dessus de ses plans tangents. On en déduit que la courbe représentative de

h

est au-dessus de ses tangentes et est donc convexe.

* Finalement,

h

possède un minimum global.